专题复习球与球体

1、2016 年高考专题复习 -球与球体01.25典型例题 1球的截面例 1 球面上有三点 A 、 B 、 C 组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，其中 AB 18 ， BC 24 、 AC 30，球心到这个截面的距离为球半径的一半，求球的表面积【练习】过球 O 表面上一点 A 引三条长度相等的弦 AB 、AC 、 AD ，且两两夹角都为 60 ，若球半径为 R ，求弦 AB 的长度精品文库典型例题 2球面距离例 2 过球面上两点作球的大圆，可能的个数是（）A有且只有一个B一个或无穷多个C无数个D以上均不正确例 3 球面上有 3 个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的 1 ，经过 3

2、个点的小圆的周长为 4 ，求这个球的半径6例 4 A 、 B 是半径为 R 的球 O 的球面上两点，它们的球面距离为 R ，求过 A 、 B 的平面中，与球心的最大距离是多少？2欢迎下载2精品文库典型例题 3其它问题例 5自半径为 R 的球面上一点 M ，引球的三条两两垂直的弦MA, MB,MC ，求 MA 2MB 2MC 2 的值例 6试比较等体积的球与正方体的表面积的大小典型例题 4球与几何体的切、接问题例 7 一个倒圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在容器内注入水，并放入一个半径为 r 的铁球，这时水面恰好和球面相切问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？欢迎下载3精品文库例 8设

3、正四面体中，第一个球是它的内切球，第二个球是它的外接球，求这两个球的表面积之比及体积之比例 9把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上，使它两两外切，然后在它们上面放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离例 10如图 1 所示，在棱长为 1 的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切（1）求两球半径之和；（2）球的半径为多少时，两球体积之和最小欢迎下载4精品文库作业 1. 正三棱锥的高为 1，底面边长为 2 6 ，正三棱锥内有一个球与其四个面相切求球的表面积与体积2. 求球与它的外切圆柱、外切等边圆锥的体积之比3 在球心同侧有相距9cm 的两个平行截面，它们的面积分

4、别为49 cm2 和 400 cm2 求球的表面积【高考真题】1.（2010 四川理数）（11）半径为 R 的球 O 的直径 AB 垂直于平面，垂足为 B ， BCD 是平面内边长为 R 的正三角形， 线段 AC 、 AD 分别与球面交于点 M，N，那么 M、N 两点间的球面距离是（A） Rarccos17（ ） Rarccos18（ ） 1R（ ） 4R25Bw_w_w C3D15252.（2010 湖北文数） 14.圆柱形容器内盛有高度为 3cm的水，若放入三个相同的珠（球的半么与圆柱的底面半径相同）后，水恰好淹没最上面的球，则球的半径是cm.3.（2009 全国卷文） 已知 OA 为球

5、O 的半径，过 OA 的中点 M 且垂直欢迎下载5精品文库于 OA 的平面截球面得到圆 M ，若圆 M 的面积为 3，则球 O 的表面积等于 _.4.（ 2009 陕西卷文） 如图球 O 的半径为 2，圆 O1 是一小圆，OO12 ，A、B 是圆 O1 上两点，若AO1B =，则 A,BO1B2A两点间的球面距离为.O5. （安徽卷理 16 文 16）已知 A, B, C, D在同一个球面上 , AB平面BCD, BCCD , 若 AB6, AC2 13, AD8,则 B,C 两点间的球面距离是6.（江西卷文 15）连结球面上两点的线段称为球的弦半径为 4 的球的两条弦 AB、 CD 的长度分

6、别等于 2 7 、4 3 ，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为7.（辽宁卷理 14 文 14）在体积为 4 3 的球的表面上有A，B，C三点，2 ， ，C两点的球面距离为3 ，则球心到平面 ABC的AB=1 BC=A3距离为 _8.（天津卷理12）一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为 43，则该正方体的表面积为.9.（浙江卷理 14 文 15）如图，已知球 O 点面上四点 A、DB、C、D，DA平面 ABC，ABBC，DA=AB=BC=3 ，则A球 O 点体积等于 _。CB欢迎下载6精品文库2016 年高考专题复习 -球与球体例 1 分析：求球的表面积的关

7、键是求球的半径， 本题的条件涉及球的截面， ABC 是截面的内接三角形，由此可利用三角形求截面圆的半径，球心到截面的距离为球半径的一半， 从而可由关系式 r 2 R2 d 2 求出球半径 R 解： AB 18， BC 24， AC 30， AB 2BC 2AC 2 ，ABC 是以 AC 为斜边的直角三角形ABC 的外接圆的半径为 15 ，即截面圆的半径r15 ，又球心到截面的距离为 d1R， R2(1R)2152 ，得 R103 22球的表面积为 S 4 R24(10 3) 21200说明：涉及到球的截面的问题，总是使用关系式rR2d 2解题，我们可以通过两个量求第三个量，也可能是抓三个量之间

8、的其它关系，求三个量【练习】 由条件可抓住ABCD 是正四面体，A 、 B 、 C 、 D 为球上四点，则球心在正四面体中心，设ABa ，则截面 BCD 与球心的距离 d6 aR ， 过 点 B 、 C 、 D 的 截 面 圆半 径 r3 a ， 所 以33(3 a)2R2(6 a R)2 得 a2 6R333例 2 分析： 对球面上两点及球心这三点的位置关系进行讨论当三点不共线时，可以作一个大圆；当三点共线时，可作无数个大圆，故选 B例 3 分析：利用球的概念性质和球面距离的知识求解欢迎下载R ，转化为球心角2精品文库设球的半径为 R ，小圆的半径为 r ，则 2r 4 ， r 2 如图所示

9、，设三点 A 、 B 、 C ， O 为球心，AOBBOC2又 OA OB ， AOB 是等边三角形，COA63同样， BOC 、 COA 都是等边三角形，得ABC 为等边三角形，边长等于球半径 R r 为 ABC 的外接圆半径， r3 AB3 R ，33R3 r2 33说明：本题是近年来球这部分所出的最为综合全面的一道题，除了考查常规的与多面体综合外，还考查了球面距离， 几乎涵盖了球这部分所有的主要知识点，是一道不可多得的好题例 4分析： A 、 B 是球面上两点，球面距离为AOB，从而 AB2R ，由关系式 r 2R2d 2 ，r 越小， d 越大， r 是2过 A 、 B 的球的截面圆的

10、半径，所以AB 为圆的直径， r 最小解： 球面上 A 、 B 两点的球面的距离为R AOB，22 AB2R 当 AB 成为圆的直径时， r 取最小值，此时 r1 AB2 R ，22d 取最大值， dR 2r 22 R ，即球心与过 A 、B 的截面圆距离2最大值为2 R 2说明：利用关系式 r 2 R2 d 2 不仅可以知二求一， 而且可以借此分析截面的半径 r 与球心到截面的距离 d 之间的变化规律此外本题还涉及到球面距离的使用，球面距离直接与两点的球心角AOB 有关，而球心角AOB 又直接与 AB 长度发生联系，这是使用或者求球面距离欢迎下载8精品文库的一条基本线索例 5分析： 此题欲计

11、算所求值，应首先把它们放在一个封闭的图形内进行计算，所以应引导学生构造熟悉的几何体并与球有密切的关系，便于将球的条件与之相联解：以 MA, MB , MC 为从一个顶点出发的三条棱，将三棱锥M ABC 补成一个长方体，则另外四个顶点必在球面上，故长方体是球的内接长方体，则长方体的对角线长是球的直径MA2MB2MC 2=(2R)24R2说明：此题突出构造法的使用， 以及渗透利用分割补形的方法解决立体几何中体积计算例 6分析： 首先抓好球与正方体的基本量半径和棱长，找出等量关系，再转化为其面积的大小关系解：设球的半径为r ，正方体的棱长为a ，它们的体积均为V ，则由4333V， r33V，由 a

12、3V, 得 a3VrV , r443S球 4 r 24(33V )234 V 2 S正方体6a 26(3 V )263V2 3 216V2 4421634 V 23216V 2 ，即 S球S正方体 例 7 分析：先作出轴截面，弄清楚圆锥和球相切时的位置特征，利用铁球取出后， 锥内下降部分 (圆台 )的体积等于球的体积， 列式求解解：如图作轴截面，设球未取出时水面高 PC h ，球取出后，水面高 PHx AC3r， PC3r ，则以 AB 为底面直径的圆锥容积为V圆锥1AC2 PC1(3r ) 2 3r3 r 3 ，球取出后水面下降到 EF ，水体33欢迎下载9精品文库积为 V水1EH2 PH1

13、( PH tan 30 ) 2 PH1x3 3V球，则133 r 349又 V水V圆锥x3r 3 ，解得 x3 15r 93例 8 分析：此题求解的第一个关键是搞清两个球的半径与正四面体的关系，第二个关键是两个球的半径之间的关系， 依靠体积分割的方法来解决的解：如图，正四面体 ABCD 的中心为 O ， BCD 的中心为 O1 ，则第一个球半径为正四面体的中心到各面的距离，第二个球的半径为正四面体中心到顶点的距离设OO1r ,OAR ，正四面体的一个面的面积为 S 依题意得1(r) ，又VA BCDS RVA BCD 4VO BCD 4 1 r S3Rr4r 即 R 3r 34内切球的表面积4

14、r 21内切球的体积r31所以3外接球的表面积4 R 29外接球的体积4327R3说明：正四面体与球的接切问题，可通过线面关系证出，内切球和外接球的两个球心是重合的， 为正四面体高的四等分点， 即定有内切球的半径 r 1 h ( h 为正四面体的高 )，且外接球的半径 R 3r 4例 9分析： 关键在于能根据要求构造出相应的几何体，由于四个球半径相等，故四个球一定组成正四面体的四个顶点且正四面体的棱长为两球半径之和 2解：四球心组成棱长为 2 的正四面体的四个顶点， 则正四面体的高 h22(23) 22 6 .而第四个球的最高点到第四个球的球心距33离为求的半径1，且三个球心到桌面的距离都为1

15、，故第四个球的最欢迎下载10精品文库高点与桌面的距离为226 3例 10分析：此题的关键在于作截面，一个球在正方体内，学生一般知道作对角面， 而两个球的球心连线也应在正方体的体对角线上，故仍需作正方体的对角面，得如图 2 的截面图，在图2 中，观察 R 与 r 和棱长间的关系即可解：如图 2，球心 O1 和 O2 在 AC 上，过 O1 ， O2 分别作AD,BC的垂线交于E,F 则由AB1,AC3得AO13r , CO 23R r R 3( r R)3 ，R r33 3 312（1）设两球体积之和为 V ，图 2则4( R3r3)4(r)(R2Rrr2 )V3R3= 433 ( Rr ) 2

16、3rR43 3(3 3)23R(3 3R)323222= 4333R 23(323) R( 33 ) 2322当 R3 3 时，V 有最小值 当 Rr33 时，体积之和有最小值44作业解：如图，球 O 是正三棱锥 PABC 的内切球， O 到正三棱锥四个面的距离都是球的半径R PH 是正三棱锥的高，即PH1E是 BC边中点， H 在AE上，A B C的边长为 26 ， HE32 62 PE36可以得到 S PABS PACSPBC 1BCPE32 SABC3 ( 26)26 324欢迎下载11精品文库由等体积法， VPABCVO PABVOPACVO PBCVOABC 16 3 113 2R

17、316 3 R得： R22 36 2 ，33333 球4 24(62)28(526 )球4R342)3SRV3( 63说明：球心是决定球的位置关键点，本题利用球心到正三棱锥四个面的距离相等且为球半径R 来求出 R ，以球心的位置特点来抓球的基本量，这是解决球有关问题常用的方法2.分析：首先画出球及它的外切圆柱、等边圆锥，它们公共的轴截面，然后寻找几何体与几何体之间元素的关系解： 如图，等边SAB 为圆锥的轴截面，此截面截圆柱得正方形C1CDD1 ，截球面得球的大圆圆O1 设球的半径OO1R ，则它的外切圆柱的高为2R，底面半径为 R；OBO1O cot 303R ，SO OB tan 603R

18、3 3R，V球4 R3，V柱R22R 2R3，13V锥( 3R)2 3R3 R3，3 V球V柱V锥 4693.分析：可画出球的轴截面，利用球的截面性质，求球的半径解：如图为球的轴截面， 由球的截面性质知， AO1 / BO2 ，且若 O1、 O2 分别为两截面圆的圆心，则 OO1AO1 ，OO2BO2 设球的半径为 R O2 B249， O2B7(cm)同 理O1 A2400， O1A20(cm)设OO1xcm ， 则OO2( x 9)cm 在 Rt OO1 A 中 ， R2x22； 在 Rt OO2 B 中 ，2 0R2( x 9) 272 ， x220 72(x9)2 ，解得x 15， R

19、2x2202252 ，欢迎下载12精品文库R 25S球4R22500 (cm2 ) 球的表面积为 2500cm2 【高考真题】 1.解析：由已知， AB2R, BCR, 故 tanBAC 12cosBAC 25连结 OM，则 OAM 为等腰三角形5AM4 5 R，同理 AN4 5R，且 MNCD w_w_w.2AOcosBAC55A而 AC5 R, CDR 故 MN：CDAN: AC w_MN 4R ，5连结 OM、ON，有 OMONRON于是 cosMON OM 2ON 2MN 2172OM ON2517所以 M、N 两点间的球面距离是R arccos25MDBCw_w_w.答案： A2.【答案】4【解析】设球半径为 r ，则由 3V球V水V柱 可得34r 3r 2 8r 2 6r ,解得 r=4.33.【解析】本小题考查球的截面圆性质、球的表面积，基础题。解：设球半径为 R ，圆 M 的半径为r ，则 r 23 ，即 r 23由题得R2( R)23 ，所以 R244 R216。24. 答案:2解析由 12,OA OB =2由勾股定理在 圆O 中13:OO则有 O1AO1B2, 又 AO1B=则 AB2 所以在 AOB中 ，2OA OB AB 2 ，则 AOB为等