概率论与数理统计课后答案北邮版

1、习题二1.将一硬币抛掷三次， 以X表示在三次中出现正面的次数，以Y表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值 .试写出X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:X012310c3 八口=32 2 2 8_2 111C3 / x x 3/ 82 2 20318001111 X X = 2 2 2 82.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取 4只球，以X表示取到黑球的只 数，以Y表示取到红球的只数.求X和Y的联合分布律.【解】X和Y的联合分布律如表:0123000C2gC2 _ 3C； 一35C3 敦2 c；3510c；gc；q2 _ 6c；一35c3gC12g212C

2、；35c；q； _ 2C； 352P(0黑,2红,2白)= c2 §c2 / c4 = 35c3q2 政6c；35一2 一 29头=皂c；3503. 设二维随机变量（X, Y）的联合分布函数为sin xsin y, 0 壬 x _ ,0 £ y _ F （x, y） *"220,其他.求二维随机变量（X, Y）在长方形域日0<x< " y"卜内的概率.4昭，3,一 .冗 冗冗【解】如图P0X苴,<Y苴公式(3.2)4 63F( -, 3"(M, ?-F(0,丹-F(0,-)4 34 636兀兀兀 兀兀兀=sin si

3、n -sin sin - sin 0 sin sin 0sin 434636= !(、.3 -1).4说明：也可先求出密度函数，再求概率。(X, Y)的分布密度4. 设随机变量23f (x, y)= <Ae3x*y), x0,yA0,其他.0,求：(1)(2)(3)常数A;随机变量(X, Y)的分布函数；P0 X1 , 0寸<2).二 二二 二 (3x -4y)A由 f(x,y)dxdy= Ae dxdy =10012得(2)A=12由定义，有y xF(x,y) f(u,v)dudvy y12e*3u 4v)dudv0,(3) P0 爻 X ： 1,0 UY : 2)(1-e

4、9;x)(1-eiy)y 0,x 0,0, 其他=P0 X £1,0 ：Y £2)12, 、c-=o o 12e® 4y)dxdy = (1-e侦)(1-e') 0.9499.5.设随机变量(X, Y)的概率密度为k(6-x-y), 0 x ：2,2 ： y 4,0,其他.(1)(2)(3)(4)确定常数k;求 P Xv 1, Yv 3);求 PX<1.5);求 PX+YV 4).【解】(1)由性质有2 4I f(x, y)dxdy ! ! k(6 - x - y)dydx =8k =1,1故R=-813(2) PX : 1,Y ：3=匕二f(x,y

5、)dydx1 31 ,小、3=-o 2 次6 - x-y)dydx88 PX <1.5 = U f(x,y)dxdy如图 a yf(x, y)dxdyx :：1,5D11.54127= dx (6 x-y)dy02 832 PX+YM4= ff f(x,y)dxdy如图 b = f (x, y)dxdyX Y<4D2题5图6.设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在（0, 0.2）上服从均匀分布,Y的密度函数为fY (y)BL0,y 0,其他.求：（1） X与Y的联合分布密度；（2） PY<X.y,题6图【解】（1）因X在（0, 0.2）上服从均匀分布，所以 X的密度函数为1,

6、0 x 0.2,fX(x)= 0.2'0,其他.列y °,其他.5e fY(y)=°，所以5e列 =0.20,25e列°,0 ： x ： 0.2fly0,其他.f (x,y X Y独立 fx x(f y ()(2) P(Y 壬 X) =f (x, y)dxdy如图 Jf25ydxdyyD0.2 x0.2=o dx o 25e ydy = ° (-5e5)dx=e-1 0.3679.7.设二维随机变量(X, Y)的联合分布函数为x 0, y0,其他.C/A_4x、“_2y、F (x, y)(1e )(1e ),=?0,求(X, Y)的联合分布密度【

7、解】f (x, y)=r2F(x, y):x :y如4E)0,x 0, y 0, 其他.8.设二维随机变量(X, Y)的概率密度为f (x, y)4.8y(2x), 0 壬x&1,0 土 y £x,0,其他.求边缘概率密度.【解】fx(x) = J-f (x, y)dy-QUf xr 24.8y(2-x)dy2.4x2(2-x),=4 0=I。，9fY(yW- f (x, y) dx。三x%1,其他., 14.8y(2 -x)dx= y0,2.4y(3-4y y2), 0£y£1,0,其他.题8图Y）的概率密度为题9图9.设二维随机变量（X,f (x,其他

8、.e", 0：x：y, y)=0,-x e0,x 0,其他.求边缘概率密度.【解】fx(x) = j f (x, y)dyr 土=x e%y =0,fY(y) = J-f (x, y)dx=°e%x =0,ye", y 0,0, 其他.题10图10.设二维随机变量（X,Y）的概率密度为x <y <1,其他.2cx y, f (x, y)=0,（1）试确定常数c;（2）求边缘概率密度."bo "bo【解】（1） 顼 Lcf（x, y）dxdy如图 f f （x,y）dxdyf-f-D1124=j/xJ/Cx ydy =节=1.21 c

9、 .4fx(x) = J-f(x, y)dy24、x (1-x ), 一1 三 x £ 1,1 21 o 21、3xydy二有其他.0,0,"bofY(y) = i-f(x, y)dx30,2lx2ydx750,其他.11.设随机变量(X, Y)的概率密度为1, y ： x, 0 ： x ： 1, s y)“0,其他.求条件概率密度fYlx (yl x), fx Y (x I y).题11图0 ： x 1, 其他.【解】fx(x) = f (x, y)dy x1dy =2x,一 二0,fy(y)=,1f 1dx = 1+y, J1f(x,y)dx = "1dx=1

10、 y,_oQy0,其他.所以1fy|x(y |x)f(x,y) , y"*：1,fx(x)=2x【0,其他.fx* y)=f(x, y)fy(y)11-y0,y ： x ： 1,-y x ：1,其他.12.袋中有五个号码1, 2, 3, 4, 5,从中任取三个，记这三个号码中最小的号码为X,最大的号码为Y.(1) 求X与Y的联合概率分布；(2) X与Y是否相互独立？【解】(1) X与Y的联合分布律如下表345PX = x1113 c510223c510333"C3106102011""T = C51022"TT =C510旦1030011_2_

11、C510110py = y)110里10_6_10(2)因 P(X =1中Y =3 =§乂上=-。1 = PX =1,Y = 310 10 100 10(1) 求关于X和关于Y的边缘分布;(2) X与Y是否相互独立？故X与Y不独立13.设二维随机变量(X, Y)的联合分布律为2580.40.150.300.350.80.050.120.03(2)因 PX =2pY =0.4 =0.2x0.8=0.16#0.15 = P(X =2,Y = 0.4),故X与Y不独立.14. 设X和Y是两个相互独立的随机变量，X在(0, 1)上服从均匀分布， Y的概率密度为1 _y/2八3 E ,第.(1

12、) 求X和Y的联合概率密度；(2) 设含有a的二次方程为a2+2Xa+Y=0，试求a有实根的概率. l1, 0：x：1,【解】(1)因fX(x)0,其他；fY(y = < 2-e , y 1,0,其他.1 我/2故 f(x,y)X,Y独立 fX(x)gfY(y)=2e0,0 ： x ： 1,y . 0,其他.题14图 方程a2 +2Xa +Y = 0有实根的条件是故从而方程有实根的概率为:一 2_* =(2X) -4Y_0X2幺，P X2 _ Y = f (x, y)dxdyx2 _y1 x 1_y/2=dx - e dy0- 0 2=1 -、云、(1)- 巾(0)= 0.1445.15

13、. 设X和Y分别表示两个不同电子器件的寿命(以小时计) ，并设X和Y相互独立，且服 从同一分布，其概率密度为f(x)=罕，x 1000,0, 其他.求Z=X/Y的概率密度.X【解】如图,Z的分布函数FZ(z) = PZ壬z = P4zY(1)当 zvo时，FZ(z)=0(2) 当 0<z<1 时，(这时当 x=1000 时,y= 1°°° )(如图 a)z106: yz 106Fz (z) =dxdy = io3 dy 103dxxX y10 x y题15图(3)当zAl时，(这时当y=103时，x=103z)(如图b)106: zy 106Fz =d

14、xdy =dy 103dx工 x y1010 x yz产 Ho3 106,板厅斗2z3zy二1 -11, zA,2z即fZ(z) = <，,0<z<1,20,其他.z-1,0 z ：1,其他.12z2 1 fz(z)=仁， 20,16. 设某种型号的电子管的寿命 (以小时计)近似地服从N( 160, 202)分布.随机地选取4 只, 求其中没有一只寿命小于 180h的概率.【解】设这四只寿命为Xi(i=l,2,3,4),则XiN ( 160, 202),从而P(min( X1,X2,X3,X4)芝 180Xj之间独立 PX1 芝 180gPX2 芝180PX3 _180_PX

15、4 _180=1 -P ： ： 1 8 0)册 X :18 0P X : - 1 8P)4X 118 044180-160=1 -PX ：180)4 = 1 -：-2044=1-："1) =(0.158) = 0.00063.17. 设X, Y是相互独立的随机变量，其分布律分别为PX=k)=p (k), k=0, 1, 2,，PY=r)=q (r), r=0, 1, 2, .证明随机变量 Z=X+Y的分布律为PZ=i)=，p(k)q(i -k) , i=0, 1, 2, .【证明】因X和Y所有可能值都是非负整数， 所以Z =i) =X Y =i)= X=0,Y=i) X=1,Y=i-

16、1 X=i,Y=0)于是PZ=i)=£ PX =k,Y =i kX,Y 相互独立 Z P x = k射Y = i k) k =0k=0=' p(k)q(i -k) k =018. 设X, Y是相互独立的随机变量，它们都服从参数为 n, p的二项分布.证明Z=X+Y服从参数为2n, p的二项分布.【证明】方法一：X+Y可能取值为0, 1, 2，2n.kPX Y =k) =' PX =i,Y =k -i) i =0k=' P(X =i)_PY = k -ii -0k=£i £piqk=wi封k 2n_k p q2n方法二：设 S(J2,卬；膜再

17、，卬均服从两点分布(参数为 p),则X="!J2+如 Y= P1M +出'， X+Y= 肉+ 但+.+ 宙+ 凹'血，+bn，,所以，X+Y服从参数为(2n,p)的二项分布.19.设随机变量(X, Y)的分布律为000.010.030.050.070.0910.010.020.040.050.060.0820.010.030.050.050.050.0630.010.020.040.060.060.05(1)求 PX=2 | Y=2 , PY=3 | X=0;(2) 求V=max (X, Y)的分布律；(3) 求U=min (X, Y)的分布律；(4) 求W=X+Y的

18、分布律.【解】(1)PX =2|Y =2PX =2,Y =2PY = 2PX =2,Y =2 -5' PX =i,Y =2i =00.050.25PY =3| X =0=PY =3, X =0PX =00.010.03PX =0,Y =33' PX =0,Y = jj=0(2) PV =i =Pmax( X,Y) =iPX = i ,Y : i PX ?,Y =ii 4i=、PX =i,Y =k 、PX =k,Y =i, i = 0 , 1, 2,3, 4, k =0k =0所以V的分布律为V=max(X,Y)012345P00.040.160.280.240.28PU=i =

19、Pmin( X,Y) =i= PX =i,Y _i PX i,Y=ii =0, 1, 2, 335=L PX =i,Y =k 、 PX =k,Y = ik 4k 4 1题20图曰 正U=min(X,Y)0123P0.280.300.250.17(4)类似上述过程，有W=X+Y012345678P00.020.060.130.190.240.190.120.0520.雷达的圆形屏幕半径为R,设目标出现点(X, Y)在屏幕上服从均匀分布(1)求 PY>0 | Y>X;(2) 设 M=maxX, Y,求 PM > 0.【解】因(X, Y)的联合概率密度为f(x,y) = <

20、tR2'0,x2 y2 £ R2,其他.(1) PY 0|Y X=PY °,Y XPY X.f(x,y)d。y 0y x.f(x,y)d。y x冗R 1d 2 rdr或 P放212 rdr tR25 itR4 d id 403/8 31/2 一4 P(M 0 =Pmax( X,Y) . 0 = 1 - Pmax( X ,Y)三 013= 1 PX £0,Y £0 = 1 f(x,y)d；=1x. 四4 4y.£021,设平面区域D由曲线y=1/x及直线y=0, x=1,x=e2所围成，二维随机变量(X, Y) 在区域D上服从均匀分布，求

21、(X, Y)关于X的边缘概率密度在 x=2处的值为多少？题21图【解】区域D的面积为 80=( dx = lnx： =2. (X,Y)的联合密度函数为1 x其他.1 f(x,y)= 2 0,(X, Y)关于X的边缘密度函数为fX (x)=1/x 10萨=12x0,1三x三e2, 其他.22.设随机变量X和Y相互独立，下表列出了二维随机变量( X, Y)联合分布律及关于 X和Y的边缘分布律中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处.y1y2y3PX=xi=pix1x21/81/8PY=yj=Pj1/612【解】因 PY =yj =Pj = .： PX =xi,Y =yj,i =1故 PY = y

22、1 = PX = x1,Y = y1 PX = x2,Y = y*.111从而 PX = x1,Y = y16 8 24而X与Y独立，故PX =为丫 = 乂 =PX =为,丫=必, 一一 1从而 PX = Xi = PX = Xi,Y = y=.624s111即：P X = x/.24 6 4又 PX =加=PX =为,丫 =山 PX =X1，Y=y2 PX =入,丫 =)3,5 111即 - P(X f,Y = y3,4 24 81从而 P( X =x1,Y = y3121 3问理 PY = y2), PX = x2,Y = y2)=2 8又 £ PY=yj=1,故 pY = y3

23、=1_-_-=J.j 4j6 233同理 P(X =x2=.4从而r、，、 r、111PX =x2,Y =y3 =PY = y3 - PX =x,Y =y33 12 4故y1V2y3PX=X = Px124-811214x2-838-434PY = yj=pj-6-2-3123.设某班车起点站上客人数 X服从参数为 N»0）的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p （0<p<1 ），且中途下车与否相互独立，以 Y表示在中途下车的人数，求： （1）在发 车时有n个乘客的条件下，中途有 m人下车的概率；（2）二维随机变量（X, Y）的概 率分布.【解】 PY =m|X = n

24、 =Cmpm(1 p)n4m,0 竺mn,n = 0,1,2".(2) PX =n,Y =m =PX =nFY =m|X =nm mn _m e n= Cnp (1 p)，n £ m £ n,n = 0,1,2".一 、一 一 r i 2i 十、24.设随机变量X和Y独立，其中X的概率分布为 X0 3 07 ，而丫的概率笞度为f(y)，求随机变量U=X+Y的概率密度g(u).【解】设F (y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知 U=X+Y的分布函数为G(u) =PX Y £u =0.3PX Y 壬 u|X =1 0.7P(X Y 土 u|X =

25、2= 0.3PY £u 1| X =1 0.7PY 三 u 2| X = 2由于X和Y独立，可见G(u) =0.3PY 立 u -1 0.7PY £ u 2= 0.3F(u -1) 0.7F(u -2).由此，得U的概率密度为g(u) =G (u) =0.3F (u -1) 0.7F (u -2)= 0.3f(u -1) 0.7f(u -2).25.设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间0,3上的均匀分布，求 PmaxX,Yv 1.解：因为随即变量服从0, 3上的均匀分布，于是有因为X,1 f(x)= 3,0,丫相互独立，所以x 0,x 3;1f(y)=3,°r

26、急0, y 0,y 3.,0Wx三3,0壬 y3,f (x, y) = 90, x ：0,y ： 0,x 3,y 3.,、1推得Pmax X,Y三 1926.设二维随机变量(X, Y)的概率分布为-101丫 -1a00.200.1b0.2100.1c其中a,b,c为常数，且 X的数学期望 E(X)= -0.2,PY<(X<0=0.5,记Z=X+Y.求:(1) a,b,c 的值；(2) Z的概率分布；(3) PX=Z.解 (1)由概率分布的性质知，即 a+b+c = 0.4.a+b+c +0.6=1由 E(X) = 0.2,可得a c - -0.1.再由PY 苴0 X0=PX

27、63;0,Y 壬 0P X £ 0a b 0.1 =0.5 , a b 0.5a b =0.3.解以上关于a, b, c的三个方程得a =0.2,b =0.1,c = 0.1 .Z的可能取值为-2, 1, 0, 1, 2,PZ - -2 =PX - -1,Y - -1 =0.2 ,PZ =1 =PX - -1,Y =0 PX =0,Y - -1 =0.1 ,PZ =0 =PX - -1,Y =1 PX =0,Y =0 PX =1,Y - -1 =0.3 ,PZ =1 =PX =1,Y =0 PX =0,Y =1 =0.3,PZ =2 = PX =1,Y =1 =0.1 ,即Z的概率分

28、布为Z-2012P0.20.10.30.30.1PX =Z =PY =0 =0.1 b 0.2 =0.1 0.1 0.2 =0.4 .27.设随机变量X,Y独立同分布，且X的分布函数为F(x),求Z=maxX,Y的分布函数解：因为X,Y独立同分布，所以<z - PY < z= :F (z) 1 2.Fx (z) =Fy(z),则 Fz (z) =PZ < z=PX < z, Y < z=Px28.设随机变量X与Y相互独立，X的概率分布为 ,、1PX=i , i =1,0,1,3 1一(1) 求 PZ< |X =0;2(2) 求Z的概率密度fz(z)分析解题(1)可用条件概率的公式求解.题(2)可先求Z的分布函数，再求导得密度函数,1"1|X=0=生2P X = 0,1PX =0,Y 顶P X = 0(2) FZ(z) =PZ <z = P(X+Y <z=P X Y £ z X= 1F X Y £,z XP P X Y壬，z X=P Y _ z 1, X = -1 PY _