二项式定理公开课教案

1、二项式定理公开课教案1、重点：二项式定理的发现、理解和初步应用。2、难点：二项式定理的发现。三、教学过程1、情景设置问题 1：若今天是星期一，再过30 天后是星期几？怎么算？预期回答：星期三，将问题转化为求“30 被 7 除后算余数”是多少。问题 2：若今天是星期一，再过8n (nN ) 天后是星期几？怎么算？预期回答：将问题转化为求“8n(71) n 被 7除后算余数”是多少，也就是研究(a b)n (nN ) 的展开式是什么？这就是本节课要学的内容，学完本课后，此题就不难求解了。2、新授第一步：让学生展开(a b) 1ab( a b) 2a22ab b2 ；( a b) 3(ab)2 (a

2、 b)a33a2 b 3ab 2b3 ；( a b) 4(a b)3 (a b) a44a 3b 6a 2b24ab 3b4( a b) 5(ab)5 (a b)a55a 4b 10a3b 210a 2b35ab 4b 5教师将以上各展开式的系数整理成如下模型1112113311464115101051问题 1：请你找出以上数据上下行之间的规律。预期回答：下一行中间的各个数分别等于上一行对应位置的相邻两数之和。问题2：以 (ab)5 的展开式为例，说出各项字母排列的规律；项数与乘方指数的关系；展开式第二项的系数与乘方指数的关系。预期回答：展开式每一项的次数按某一字母降幂排列、另一字母升幂排列，

3、且两个字母的和等于乘方指数；展开式的项数比乘方指数多1 项；展开式中第二项的系数等于乘方指数。初步归纳出下式：( a b) na na n 1ba n 2b 2a n 3b 3bn（）（设计意图：以上呈现给学生的由系数排成的“三角形”，起到了“先行组织者”的作用，虽然，教师将此“三角形”模型以定论的形式呈现给学生，但是，它毕竟不是最后的结果，而是一种寻找系数规律的有效工具，便于学生将新的学习材料同自己原有的认知结构联系起来，并纳入到原有认知结构中而出现意义。这样的学习是有意义的而不是机械的，是主动建构的而不是被动死记的心理过程。）练习：展开(ab)7教师作阶段性评价，告诉学生以上的系数表是我国

4、宋代数学家杨辉的杰作，称为杨辉三角形，这项发明比欧洲人帕斯卡三角早400 多年。你们今天做了与杨辉同样的探索，以鼓励学生探究的热情，并激发作为一名文明古国的后代的民族自豪感和爱国热情。第二步：继续设疑如何展开 (ab)100 以及 (ab) n ( nN )呢？（设计意图：让学生感到仅掌握杨辉三角形是不够的，激发学生继续学习新的更简捷的方法的欲望。 ）继续新授师：为了寻找规律， 我们将 () 4(a b)(ab)(ab)(a)a bb 中第一个括号中的字母分别记成a1 ,b1 ；第二个括号中的字母分别记成a2 ,b2 ；依次类推。 请再次用多项式乘法运算法则计算：( a b) 4(a1 b1

5、)(a2b2 )(a3b3 )(a4b4 )a1a2a3 a4 a 4a1a2 a3 b4a1a2 a4 b3a1a3 a4 b2a2 a3a4b1 a3ba1a2b3b4a1a3b2b4a1 a4b2b3a2 a3 b1b4a2 a4 b1 b3a3 a4b1b2 a2b 2a1b2 b3b4a2b1b3b4a3 b1b2 b4a4b1b2b3 ab 3b1b2b3b4 b 4（设计意图：上述呈现内容是为了搭建“认知桥梁”，用以激活学生认知结构中已有的知识与经验，便于学生进行类比学习，用已有的知识与经验同化当前学习的新知识，并迁移到陌生的情境之中。 ）问题 1：以 a2b 2 项为例，有几种

6、情况相乘均可得到a 2b2 项？这里的字母 a,b 各来自哪个括号？问题 2：既然以上的字母a,b 分别来自 4 个不同的括号， a 2b2项的系数你能用组合数来表示吗？问题 3：你能将问题2 所述的意思改编成一个排列组合的命题吗？（预期答案：有 4 个括号，每个括号中有两个字母，一个是a 、一个是 b 。每个括号只能取一个字母，任取两个a 、两个 b ，然后相乘，问不同的取法有几种？）问题 4：请用类比的方法，求出二项展开式中的其它各项系数，并将式子：( ab) 4(ab)( ab)(ab)(ab)a 4a 3 ba 2b2ab3b 4括号中的系数全部用组合数的形式进行填写。呈现二项式定理板

7、书课题：(ab) nC n0a nC 1n a n 1bC n2 an 2 b 2C nr a n r b rC nn bn ( nN ) 。3、深化认识请学生总结：二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有代表性？由此，学生得出二项式定理、二项展开式、二项式系数、项的系数、二项展开式的通项等概念，这是本课的重点。（设计意图：教师用边讲边问的形式，通过让学生自己总结、发现规律，挖掘学习材料潜在的意义，从而使学习成为有意义的学习。）4、巩固应用【例 1】展开 (11) 4 ( 2 x1) 6xx【例 2】求 (12x) 7 的展开式的第4 项的

8、系数及第4 项的二项式系数。求 ( x1) 9 的展开式中含x3 项的系数。x变式：在二项式定理中，令a1,bx ，得到怎样的公式？(1x) n1C 1n xC n2 x2C nr xrC nn x n思考： Cn0C 1nC n2C nrC nn? 为什么？Cn1C n2C nrC nn?【例 3】解决起始问题：8n(7 1) nC n0 7nC n1 7n 1C nn 1 7 C nn ，前面是 7 的倍数，因此余数为C nn1，故应该为星期二。说明：解决某些整除性问题是二项式定理又一方面应用。四、课堂小结本节课我们主要学习了二项式的展开，有两种方法，一是杨辉三角形，二是二项式定理，两种方

9、法各有千秋。二项式定理的表达式以及展开式的通项，要正确区别“项的系数”和“二项式系数” ，将二项式定理中的字母赋上适当的值，就可以求一些特殊的组合多项式的值。二项式定理由多项式乘法法则得 (a+b)2 的展开式：(a+b)2=(a+b)(a+b)=a2+2ab+b2；从上述过程中可以发现， (a+b)n 是 n 个(a+b)相乘，根据多项式乘法法则，每个 (a+b)相乘时有两个选择，选 a 或选 b，而且每个 (a+b)中的 a 或 b 选定后，才能得到展开式的一项，由分步乘法计数原理，可以得到这样的项的项数，然后合并同类项。探索 (a+b)4 的展开式的形式。4 个括号中取 a 和取 b 的

10、个数和为 4，即每一项的形式是a4-kbk，（1）k=0 时， a4-k bk=a4，四个括号中全都取a，相当于取0 个 b，有 C40 项440a，即 a 的系数为得： C4；133（2）k=1 时，四个括号中有1 个取 b，剩下的3 个取 a，得： Cba·C43（3）k=1 时，四个括号中有2 个取 b，剩下的2 个取 a，得： C42222a·C2b（4）k=3 时，四个括号中有3 个取 b，剩下的 1 个取 a，得： C43· 11b344aC（5）k=4 时，四个括号中全都取b，得： C4 b4041322233444a +C ab+Cab +Cab

11、+Cb(a+b) = C4444(a+b)n 的展开式又是什么呢 ？猜想：() n0n1n 1kn kbknn (n N*)a bC n aC nabCnaC n b证明：对（ a+b）n 分类，按 b 可以分 n+1 类，0n；不取 b：Cna取 1 个 b： Cn 1an-1 b；取 2 个 b： Cn 1an-2 b2；nk an-k bk；(k+1)取 k 个 b：C取nn(n+1)n 个 b：C然后将上述过程合起来，就得到二项展开式，(a+b) n= Cn0 an+ C n1 an-1 b+ + C nk an-k bk + + C nn bn (n N +)这就是二项式定理。它有

12、n+1 项，各项的系数 Cnr (r0,1,n) 叫二项式系数， Cnr an r br叫二项展开式的通项，用 Tr 1 表示，即通项为展开式的第k+1 项：Tr 1Cnr an r br 二项式定理中，设a1,bx ，则 (1x) n1C1n xCnr xrxn你怎么记忆这个公式？项数 : 共 n+1 项, 是关于 a 与 b 的 n 次齐次多项式；指数 :a 的指数从 n 逐项递减到 0，是降幂排列；b的指数从 0 逐项递增到 n，是升幂排列。例 1求 (2x1 ) 6 的展开式解： (2x1 )613 (2 x 1)6xxx161(2 x)524332(2 x)2113 (2 x)C6C

13、6 (2 x)C6 (2 x)C6C6 (2 x)x6012164 x3 192 x2240x160xx2x3例 2 （1）求 (12x)7 的展开式的第 4 项的系数；（2）求 ( x1) 9 的展开式中 x3 的系数及二项式系数x解： (1+2x)7 的展开式的第四项是 T3 1 C73 (2 x)3280x3， (1+2x) 7 的展开式的第四项的系数是280（ 2 ） ( x1 )9 的展开 式的 通项是 Tr 1C9r x9 r (1) r( 1)r C9r x9 2 r ， 9-2r=3,r=3 ，xx x3 的系数 ( 1)3C9384 ，x3 的二项式系数 C9384例 3求

14、( xa)12的展开式中的倒数第4 项；求 ( x3 )9 的展开式常数3x项；解： ( x a)12的展开式中共13 项，它的倒数第4 项是第 10 项，T91C129x12 9 a9C123 x3 a9220x3a9 C9r ( x)9 r( 3 ) rC9r9 3 r Tr 132 r 9 x 2 ，3x当 93 r 0, r6 时展开式是常数项，即常数项为 T7C96 332268 ；2“杨辉三角”( a b)1 11( ab) 2 121( ab) 3 1331( ab)4 14641( ab)5 15101051( ab) 6 1615201561这个表叫做二项式系数表，也称“杨辉

15、三角”。“杨辉三角”的特征：表中每行两端都是 1，而且除 1 以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。当 n 不大时，可以根据这个表来求二项式系数。设表中不为 1 的数 Crn+1,那么它肩上的两个数分别为Cnn-1，Cnr，所以Cr= Cn-1rn+ Cn 。n+1详解九章算术中的“杨辉三角”如右图。二项式系数的性质( ab) n 展开式的二项式系数依次是C 0n ,C1n , C 2n , C nn从函数角度看，C rn 可看成是以 r 为自变量的函数f(x) ，其定义域是 0 ,1, 2 , n ，对于确定的n，还可以画出它的图象；例如，当 n=6时，其图象是 7 个孤立的点（如图）对称性与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （ C nmCnn m ）直线 rn 是图象的对称轴2增减性与最大值 Cnk n