人教版九年级数学下二次函数最全的中考二次函数知识点总结

1、人教版九年级数学二次函数在中考中知识点总结一、相关概念及定义1 二次函数的概念： 一般地，形如 y ax2bxc（ a ，b ，c 是常数， a0 ）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a 0 ，而 b ，c可以为零二次函数的定义域是全体实数2 二次函数 y ax2bx c 的结构特征：（ 1）等号左边是函数，右边是关于自变量 x 的二次式， x 的最高次数是 2（ 2） a ，b ，c 是常数， a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项二、二次函数各种形式之间的变换1二次函数 yax 2bx c 用配方法可化成：ya xh 2k 的形式，其中hb ，

2、 k4ac b2.2a4aax 2 ； y ax 22二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：yk ； y a x h 2 ； ya x h 2k ； y ax 2bx c .三、二次函数解析式的表示方法1 一般式：2 顶点式：3 两根式：yax2bxc （ a ， b ， c 为常数， a0 ）；ya( xh)2k （ a ， h ， k 为常数， a0）；ya( xx1 )( xx2 ) （ a 0 ， x1 ， x2 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标） .4 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即 b2 4

3、ac 0 时，抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.四、二次函数 y ax2bx c 图象的画法1 五点绘图法：利用配方法将二次函数y ax2bx c 化为顶点式 y a( x h )2k ，确定其开口方向、 对称轴及顶点坐标， 然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点 0，c 、以及 0，c 关于对称轴对称的点2h ，c 、与 x 轴的交点 x1 ，0， x2 ，0（若与 x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点） .2 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与 y 轴的交点 .五、二

4、次函数 y ax2 的性质a 的符号开口方顶点坐对称性质向标轴0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，xa0向上0 ，0y 轴y 随 x 的增大而减小； x 0 时， y 有最小值 0 x0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，a0向下0 ，0y 轴y 随 x 的增大而增大； x 0 时， y 有最大值 0 六、二次函数 y ax2c 的性质- 1 -开口方顶点坐对称性质a 的符号向标轴x0 时， y 随 x 的增大而增大； x 0 时，a0向上0 ，cy 轴0 时， y有最小y 随 x 的增大而减小； x值 c x0 时， y 随 x 的增大而减小； x 0 时，a0向下

5、0 ，cy 轴0 时， y有最大y 随 x 的增大而增大； x值 c 七、二次函数 y axh2 的性质：开口方顶点坐对称性质a 的符号向标轴xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，a0向上h ，0X=hh 时， y有最小y 随 x 的增大而减小； x值 0 xh 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时，a0向下h ，0X=hh 时， y有最大y 随 x 的增大而增大； x值 0 八、二次函数 y axh2k 的性质开口方顶点坐对称性质a 的符号向标轴xh 时， y 随 x 的增大而增大； xh 时，a0向上h ，kX=hh 时， y有最小y 随 x 的增大而减小； x值 k x

6、h 时， y 随 x 的增大而减小； xh 时，a0向下h ，kX=hh 时， y有最大y 随 x 的增大而增大； x值 k 九、抛物线 yax2bxc 的三要素：开口方向、对称轴、顶点 .1 a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a0 时，开口向上；当 a0 时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 .- 2 -2对称轴：平行于 y 轴（或重合）的直线记作 xb.特别地， y 轴记作直线 x 0.b22a3b4ac顶点坐标：（，）2a4a4顶点决定抛物线的位置 .几个不同的二次函数，如果二次项系数a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.十、抛物线 yax

7、 2bxc 中， a, b, c 与函数图像的关系1二次项系数a二次函数 yax2bx c中， a 作为二次项系数，显然 a 0 当 a 0 时，抛物线开口向上， a 越大，开口越小，反之 a 的值越小，开口越大； 当 a 0 时，抛物线开口向下， a 越小，开口越小，反之 a 的值越大，开口越大总结起来， a 决定了抛物线开口的大小和方向， a 的正负决定开口方向， a 的大小决定开口的大小2 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下， b 决定了抛物线的对称轴 在 a0 的前提下，当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；2a当 b0 时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a

8、当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2a 在 a 0 的前提下，结论刚好与上述相反，即当 b0时，b0，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当 b0时，b0，即抛物线的对称轴就是y 轴；2a当 b0 时，b0，即抛物线对称轴在 y 轴的左侧2a总结起来，在 a 确定的前提下， b 决定了抛物线对称轴的位置总结：3 常数项 c 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为 0； 当 c0 时，抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方，即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为

9、负总结起来， c 决定了抛物线与y 轴交点的位置总之，只要 a ，b ，c 都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法- 3 -b22b4acb21公式法： y ax24ac bbx c a x4a，顶点是（，），2a2a4a对称轴是直线 xb .2ay a x h 22配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为k 的形式，得到顶点为 ( h , k )，对称轴是直线 x h .3 运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能

10、做到万无一失 . 十二、用待定系数法求二次函数的解析式1 一般式： yax 2bxc .已知图像上三点或三对x 、 y 的值，通常选择一般式 .2 顶点式： ya xh 2k .已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.3 交 点 式 ：已 知图 像 与 x 轴 的交 点 坐标 x1 、 x2 ，通 常选 用 交点 式：y a xx1 x x2 .十三、直线与抛物线的交点1 y 轴与抛物线 y ax 2bxc 得交点为 (0, c ).2 与 y 轴 平行 的 直 线 xh 与 抛 物 线 yax2bx c 有 且 只有 一 个 交 点( h , ah 2bh c ).ax 23 抛物线与 x

11、轴的交点 :二次函数 ybxc 的图像与 x 轴的两个交点的横坐标 x1 、 x2 ，是对应一元二次方程 ax2bxc0 的两个实数根 .抛物线与 x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0 抛物线与 x 轴相交；有一个交点（顶点在 x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 .4 平行于 x 轴的直线与抛物线的交点可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是 ax 2bxc k 的两个实数根 .5 一次函数 ykxn k0 的图像 l 与二次函数 yax 2bxc a0

12、的图像G的交点，由方程组yk x n的解的数目来确定：方程组有两组不同的y2b xa xc解时l 与 G 有两个交点 ; 方程组只有一组解时l 与 G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 .ax26 抛物线与 x 轴两交点之间的距离：若抛物线ybxc 与 x 轴两交点为A x ， B x ，由于x1、 x2 是方程 ax2bxc0 的两个根，故1020x1x2bc, x1x2aa2b2ABxx2xx2xx224x x2b4c4ac11211aaaa十四、二次函数图象的对称:二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1 关于 x 轴对称- 4 -2关于轴对称后，得到的

13、解析式是2；y a xyax bx cb x c xya x2k 关于 x 轴对称后，得到的解析式是yaxh2k；h2 关于 y 轴对称2关于 y 轴对称后，得到的解析式是2；ya xb xyaxbxccya x2k 关于 y 轴对称后，得到的解析式是yax2k；hh3 关于原点对称2关于原点对称后，得到的解析式是2；ya xb xyaxbxcc2关于原点对称后，得到的解析式是2；ya xhkyax hk4 关于顶点对称ya xb xc2b22关于顶点对称后，得到的解析式是yaxbx c；222aya xk 关于顶点对称后，得到的解析式是ya xk hh5 关于点 m，n 对称2k关 于 点

14、m，n 对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是y a x hy a x h22nk2m总结：根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此 a 永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线 （或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式十五、二次函数图象的平移1.平移步骤：2 将抛物线解析式转化成顶点式ya xhk ，确定其顶点坐标h ，k； 保持抛物线 y ax 2 的形状不变， 将其顶点平移到 h，k 处，具体平移方法如下：y

15、=ax2向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位y=ax2+k向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】向右(h>0)【或左(h<0)】平移 |k|个单位平移|k|个单位平移|k|个单位向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位y=a(x-h)2+k2 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移 ”概括成八个字“左加右减，上加下减 ”十六、根据条件确定二次函数表达式的几种基本思路。1.三点式。

16、（ 1）已知抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A （ 3 ，0），B（ 2 3 ，0），C（0，-3）三点，求抛物线的解析式。（ 2）已知抛物线 y=a(x-1) +4 ， 经过点 A （2，3），求抛物线的解析式。- 5 -2.顶点式。（ 1）已知抛物线 y=x2-2ax+a2+b 顶点为 A （ 2， 1），求抛物线的解析式。（ 1）已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（ 3， 1），求抛物线的解析式。3.交点式。（ 1）已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（ 3，0）,(5,0),求抛物线 y=(x-a)(x-b) 的解析式。（ 2）已知抛物线线与 x 轴两个交点（ 4，0），

17、（1，0）求抛物线 y= 1 a(x-2a)(x-b)2的解析式。4.定点式。15 a（ 1）在直角坐标系中， 不论 a 取何值，抛物线y222 经过xxxa22轴上一定点 Q，直线 y(a 2) x 2 经过点 Q,求抛物线的解析式。（ 2）抛物线 y= x2+(2m-1)x-2m 与 x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4 ，求抛物线的解析式。2（ 3） 抛物线 y=ax +ax-2 过直线 y=mx-2m+2 上的定点 A，求抛物线的解析式。（ 1）把抛物线 y= -2x2 向左平移 2 个单位长度，再向下平移 1 个单位长度，得到抛物线 y=a( x-h)2 +k,求此抛物线解析式。

18、（ 2）抛物线23向上平移 ,使抛物线经过点 C(0,2),求抛物线的解析式.yx x6.距离式。（ 1）抛物线 y=ax2+4ax+1(a0)与 x 轴的两个交点间的距离为 2，求抛物线的解析式。（ 2）已知抛物线 y=m x2+3mx-4m(m 0)与 x 轴交于 A 、B 两点，与 轴交于 C点，且 AB=BC, 求此抛物线的解析式。7.对称轴式。（ 1）抛物线 y=x2-2x+(m2-4m+4)与 x 轴有两个交点， 这两点间的距离等于抛物线顶点到 y 轴距离的 2 倍，求抛物线的解析式。（ 2）已知抛物线 y=-x 2+ax+4, 交 x 轴于 A,B（点 A 在点 B 左边）两点，交 y 轴于点 C,且 OB-OA= 3 OC，求此抛物线的解析式。48.对称式。（ 1）平行四边形 ABCD 对角线 AC 在 x 轴上，且 A （-10，0），AC=16，D（2，6）。AD 交 y 轴于 E，将三角形 ABC 沿 x 轴折叠，点 B 到 B1 的位置，求经过 A,B,E 三点的抛物