大学物理实验理论误差与数据处理PPT学习教案

1、会计学1大学物理实验理论误差与数据处理大学物理实验理论误差与数据处理第1页/共61页1.1 测量分类1、按照得到测量结果的方式分2、按照测量条件分第2页/共61页VRAE测量电流 I 为 测量？测量电阻R 为 测量？测量电压V 为 测量？注：注：直接还是间接测量取决于所用仪器，例如电桥测电阻为直接测量。直接直接间接（返回）第3页/共61页对同一物理量在相同条件（指测量仪器、方法、环境、观测者等）下进行的多次测量；在不同测量条件下进行的多次测量。例如：用多档位电流表测电流时，为防止烧坏电表，总是先用大档位粗测电流后，在用小档位细测，这种测量便是不等精度测量。第4页/共61页0 .100 ,0 .

2、1021RR211 . 0? ?,21指测量值x与真值A之间的差异。误差表示方式误差表示方式有两种：（1）绝对误差：x-A；有单位，可正可负，不能反映准确度。%100A（2）相对误差： ，无单位，可正可负，能反映准确度。例如：两电阻 ，绝对误差均为 ，无法判断哪一个测量更准确。但从相对误差 便可判断准确度。第5页/共61页在相同条件下多次测量同一物理量时，误差的大小、符号恒定；或在测量条件改变时，误差的大小和符号按一定规律变化。在相同条件下多次测量同一物理量时，由于不可预知的随机因素，出现时大时小、时正时负的误差。第6页/共61页（1）仪器本身的缺陷（如天平不等臂）或安装调试不当（零位不在零点

3、）；（2）实验原理或方法不完善，如伏安法测电阻时未考虑电表电阻引起的误差；（3）环境引起的，如温度产生的零漂；（4）主观误差，由观测者的习惯造成的。第7页/共61页（1）采用不同的测量方法测同一物理量，看结果是否一致；（如伏安法和电桥法）（2）更换不同的仪器、仪表测同一物理量；（3）改变测量步骤；如升温和降温（4）改变实验条件或测量者。第8页/共61页分析理论公式的条件和仪器的使用条件是否与本实验相符。一旦条件不符，必然会出现偏差，甚至是错误（真理的条件性）。系统误差不满足概率分布，因此误差总是偏向一侧。第9页/共61页L1L2xT(1)替代法：对未知量测量后，再用标准量代替未知量所得的结果即

4、为所测量。如图：为不等臂天平，用砝码P代替未知量x，使天平再次平衡，则P即为待测值。当臂长L1和L2测出时，可用力矩修正公式 （此为？测量）21LLTx 第10页/共61页正误差和负误差方向各测一次，取平均；如居里温度测试。将被测量与标准量互换进行两次测量，取平均值；如（1）中的不等臂天平。（4）半周期偶数观测法： 偶数次观测后取平均；如分光计。（5）对称观测法：随时间线性变化的系统误差，可将观测程序相对某时刻对称地再测一次，然后取平均；如灵敏电流计测前和测后分别校对一次零点，然后对零点取平均。（返回）第11页/共61页随机误差是随机因素产生的，因此很难预料，也无法消除，只能按其满足的统计规律

5、进行数学处理。多次测量的误差满足正态分布，具有以下特点：（1）对称性：正负误差出现的概率基本相同；（2）有界性：存在绝对值最大的误差；（3）单峰性：绝对值小的误差出现的概率大，绝 对值大的误差出现的概率小；（4）抵偿性：当测量次数足够多时，绝对值相等 的正负误差出现的概率大致相等，可相互抵消。第12页/共61页- f()-横坐标为误差，纵坐标 为误差概率密度，误差的总概率为1： 。图中称为标准误差， 是曲线拐点的横坐标。 越小，曲线越窄，误差分布越集中，可靠性高（黑线）；反之，可靠性低（蓝线）。1)(df)(f第13页/共61页22221)(ef683. 0)(df经计算 ，说明标准误差即是均

6、方根误差，即22)(dfniinniinAxnn12121lim1lim第14页/共61页AxnAxnnniinniinniin1111101limlimlimnxxxxn21一组测量数据 的算术平均值为： nxxx,21算术平均值是真值的最佳近似值，因为第15页/共61页xxviiniiiniiiinnAxv11112112121niiniiniinvniinii1221niiniinnv12121niiniinvn1212111niixvn1211对上式平方求和整理得：又考虑到正态分布的对称性，故类比标准误差，定义标准偏差为表示这组数与其平均值的离散性。第16页/共61页niixxxxnn

7、n12) 1(1第17页/共61页xAxtxtn234567891015 20t1.841.32 1.201.141.111.091.081.071.061.04 1.031下面给出测量次数与t因子的对应关系：（返回）第18页/共61页理论问题，在物理实验中仅是一中简化表示。第19页/共61页Sxx0SSxSx00,直接测量不确定度分为：A类不确定度：B类不确定度：由观测数列用统计方法评定的；由观测数列用非统计方法评定的。第20页/共61页xxxxxxxASAS 当测量次数较少时，仍需将不确定度 乘以一个t因子。（返回）第21页/共61页第22页/共61页例如：一标值为1000gg，该值的不确

8、定度按三倍标准差为240mg”。则该值的B类标准不确定度SB=240mg/3=80mg。例如，标值为10的标准电阻，标准证书给出“在23时，为10.000742+129m(P=O.99)”。则置信率为99，所以129m不是标准不确定度，它是展伸不确定度（即置信率不是的不确定度，它是由标准不确定度乘以一个称作包含因子的系数KP得到的。第23页/共61页P50%68.3% 90%95%99%99.7%KP0.6745 11.6451.962.5763许多仪器给出的不是不确定度，而是误差限，则B类标准不确定度为 。其中系数K视的概率分布而定，若为正态分布，则K=3；若为均匀分布，则 ；若为三角分布

9、。高级别的仪器可视为正态分布，通常均视为均匀分布。KSB3K6K由表可知，129m是由标准不确定度乘以2.576得到的，所以电阻R的B类标准不确定度SB=129mg/2.576=50mg。第24页/共61页22BASSS第25页/共61页),(21NXXXfY),(21Nxxxfy)(ixS)(yS)(ixS21122211212)()()(NiiiNiBiiNiAiiSxfxSxfxSxfyS21122211212ln)(ln)(ln)(NiiiNiBiiNiAiiSxfxSxfxSxfyyS或第26页/共61页1n123456789100分 4-3156-2-7-3-10169125364

10、4991ixxxi2xxi72601360426082602360336052600260426062607260 x1502xxi解：算术平均值为7260101101iixx第27页/共61页3 . 1) 110(10150) 1(112niiAxxnnS该分光计的误差限 =1分，故 85 . 03BSA类和B类不确定度的合成为24 . 122BASSS相对不确定度为%039. 072604 . 1E对三棱镜顶角的测量结果表示为 %039. 0%)3 .68( 27260EP注：通常绝对不确定度只保留一位有效数字，对于中间过程可保留两位,比如求E时的S便取两位。而相对不确定度通常取两位。 第

11、28页/共61页mm87. 5dmm104 . 9) 13( 3)(33123iidAddtSB类不确定度测量次数123数值mm5.885.865.88钢球直径平均值为A类不确定度mm102 . 1302. 02dBS注：上式中3次测量的因子 ，今后无特别说明t都取为1。32. 13t第29页/共61页322mm9 . 081. 0015. 09 . 51 . 3212ddVSdSdVS钢球体积的不确定度为333mm9 .105687. 5142. 36dV（返回）mm02. 0105 . 1222dBdAdSSS)%3 .68( mm02. 087. 5Pd钢球体积为钢球体积的测量结果为 m

12、m9 . 09 .1053V注意注意：作为中间量，所取的有效位应比最终结果多一位；同理，直径的不确定度作为中间变量也应取两位有效数字。如何决定有效数字的位数将在下面的章节中作详细说明。即直径的测量结果为第30页/共61页图a测量的有效数字为cm图b测量的有效数字为cm注：存疑数字与不确定度数对齐，多余位需舍弃。第31页/共61页 不确定度一般只保留一位有效数字。为了保险，多采用全入的办法。对相对不确定度，通常保留两位有效数字，结尾部分按下面一般数据的舍入规则进行舍入。 第32页/共61页例如：对下面数保留4位有效数字。第33页/共61页 “0” 在其他数字之间或之后为有效数字，在之前则不是有效

13、数字。例如：和0.03都是一位有效数字，而103.00则是五位有效数字。 2、单位换算对有效数字的影响 非十进制单位换算时，有效数字位数可以改变。例如时间 为两位有效数字，误差位在O.1min=6s位上。若以秒为单位，应写成： s，误差位仍在秒位上，并未改变数据的精度，但180为三位有效数字。 ) 1 . 08 . 1 (t)6180(t第34页/共61页第35页/共61页2、加减运算f =x+y+z （1）运算结果的有效数字的末位应与小数点位最高的分量末位对齐。 （2）由传递公式计算不确定度，中间过程取两位，最终取一位。 （3）最后由不确定度决定结果的末位有效数字。第36页/共61页而故最终

14、结果为4位有效数字cm)08. 036. 4(,cm)006. 0238. 6(zycm)3 . 06 .189(xcm4 . 031. 0222zyxfSSSScm5 .19136. 424. 66 .189fcm)4 . 05 .191(f注意注意：若 时，则cm1fScm) 1192(f第37页/共61页（2）若分量给出了不确定度，则（1）的结果还要多保留一位或多位，再用传递公式计算不确定度；（3）由不确定度决定最终结果的有效数字位数。第38页/共61页2tlfmm02. 086.12ls01. 053. 1t222mm/s748. 1)53. 1 (142. 386.12tlf2222

15、322232222mm/s103103 . 253. 1142. 301. 086.12253. 1142. 302. 021tltlfStlStStfSlfS第39页/共61页2mm/s03. 075. 1f若 ，则 ； 2mm/s003. 0fS2mm/s003. 0748. 1f若 ，则 。 2mm/s3 . 0fS2mm/s3 . 07 . 1f第40页/共61页（1）通常函数的有效数字同自变量的；（2）若自变量给出了不确定度，则（1）的结果多保留一位或几位，再用传递公式计算函数的不确定度；（3）由不确定度决定最终有效数字位数。 另外，自变量未给出不确定度，还可以用近似不确定度的办法确

16、定函数的有效数字位数。自变量的近似不确定度即为量具的最小分度值。第41页/共61页6011801xS44102104 . 1601800509. 1cosxySxyS86787. 00509. 1sin3160siny110)002. 0679. 8 (y注意：若x未给出不确定度，可取其近似不确定度为量具的最小分度值1分，进而可求出y的不确定度，最后决定y的有效数字位数，如例2。已知 ，计算 。13160 xxysin第42页/共61页已知 ，计算 。4 .25xxyln1 . 0 xS004. 00039. 04 .251 . 0 xSSxySxxy235. 34 .25lnlnxy 由y的

17、不确定度决定了y的有效数字需保留到小数点后3位。通常对数的小数点后的位数与真数的有效位数相同。第43页/共61页（返回） 当分量给出不确定度时：首先由传递公式求出不确定度，再由不确定度决定结果的有效位数。第44页/共61页（1）作图法（2）逐差法（3）最小二乘法第45页/共61页1、概念：一组测量数据以及物理量之间的关系在一固定坐标系内以图线的形式表示出来。2、作图规则（1）根据不同需要， 选取合适的坐标纸。（2）选择和标定坐标轴。一般以横轴表示自变量，纵轴表示因变量。坐标轴一定要标明所代表物理量的名称及量度单位。坐标轴标定要利于读数，通常以l代表1，2，4，5，8个单位值，而不要代表3，7，

18、9个单位值。原点坐标可根据实际需要确定，不一定均为(0，0)，这样可使图线协调。 第46页/共61页(5)一定要标明图线的名称及获得此图线的实验条件，如可能最好将所测得数据以表格形式列在图纸的适当位置。 第47页/共61页1、确定直线的斜率和截距。 例如：电阻温度关系 ，由测量 数据得到的直线的纵轴截距即为 ，而直线的斜率为 ，从而可得到电阻温度系数 。过 、 两点直线的斜率为： ，其相对误差为 。tRRRt000R0R),(11yx),(22yx1212xxyyK1212xxyyK第48页/共61页例如：单摆的周期T与摆长L的关系在0级近似下为 ，二者并非线性，但令 ，则X与L成为线性关系，

19、可用图解法处理。或者对上式两边取对数得： ，从而对数lnT与lnL变成了线性关系。XT 2224TgLTgLln24lnln2（返回）第49页/共61页 例如：伸长法测钢丝绳的杨氏模量数据如下加码质量（kg）标尺读数（mm）逐次相减（mm）等间隔减（mm）增码减码平均值099.099.4L0=99.2L1 -L0=14.3L1= L3 -L0 =43.12113.0114.0L1=113.5L2 L1=14.84128.0128.5L2=128.3 L3 L2=14.0 L2 = L4 L1 =43.56142.0142.5L3=142.3 L4 L3=14.78156.0158.0L4=15

20、7.0 L5 L4=13.0 L3 = L5 L2 =41.710170.0L5=170.0第50页/共61页 任取两个数据就可以求出杨氏模量，不过这样不能充分利用数据去抵消掉一部分测量误差的影响。但利用逐次相减值求平均也不行。因为，这样的平均值：实际上仍然只用了两个数据，误差较大。 )(51)()()()()(51054534231201LLLLLLLLLLLLL 逐差法是将数据分成L0、 L1、L2和 L3、 L4、L5两组，然后求两组间隔最大的差值，然后再取差值的平均值，即mmLLLLLLL9 .423)()()(251403第51页/共61页 由于对L只相当于测了三次，所以需要引入t因子，查得在n=3时，t，因而L的置信区间应为 。 m/N1030. 780. 900. 6109 .4243mgLKLmm6 . 055. 0) 13(3)()()(232221LLLLLLSLmm8 . 073. 032. 155. 0tSL（返回）第52页/共61页3.1 原理 设 是某一待测量的各次测得值，假设存在一个 ，各测值与 的偏差记为 ，计入所有偏差 （为