多元函数的极值及其求法74968PPT学习教案

1、会计学1多元函数的极值及其求法多元函数的极值及其求法74968【实例】【实例】某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价某商店卖两种牌子的果汁，本地牌子每瓶进价1 1元元，外地牌子每瓶进价，外地牌子每瓶进价1.2元，店主估计，如果本地牌子的每元，店主估计，如果本地牌子的每瓶卖瓶卖x元，外地牌子的每瓶卖元，外地牌子的每瓶卖y元，则每天可卖出元，则每天可卖出70 5x+4y瓶瓶本地牌子的果汁本地牌子的果汁，80+6x 7y瓶外地牌子的果汁，问：店主瓶外地牌子的果汁，问：店主每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天以什么价格卖两种牌子的果汁可取得最大收益？每天的收益为每天的收益为 ),(yx

2、f)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即为求求最大收益即为求二元函数的最大值二元函数的最大值. .进价：进价：1元元售价：售价：x元元进价：进价：1.2元元售价：售价：y 元元收益：收益：x 1元元/ /瓶瓶收益：收益：y 1.2元元/ /瓶瓶第1页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 播放播放【实例实例】1 1、【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】第2页/共37页设设函数函数),(yxfz 在点在点),(00yx的某邻域内有定义，的某邻域内有定义， 对于该邻域内异于对于该邻域内异于),(00yx的点的点),(yx：若满足不等式：若

3、满足不等式 ),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极大值极大值；若若 满足满足),(),(00yxfyxf ，则称函数在，则称函数在),(00yx有有极小值极小值； 极大值、极小值统称为极大值、极小值统称为极值极值，使函数取得极值的使函数取得极值的点点称为称为极值点极值点. . 【二元函数极值的定义二元函数极值的定义】【例【例1】处处有有极极小小值值在在函函数数)0 , 0(4322yxz 椭圆抛物面椭圆抛物面(1)xyzO第3页/共37页(2)(3)【例【例2】处有极大值处有极大值在在函数函数)0 , 0(22yxz 【例【例3】处无极值处无极值在在函数函数

4、)0 , 0(xyz 圆锥面圆锥面双曲抛物面（马鞍面）双曲抛物面（马鞍面）xyzOOxyzxyz 11第4页/共37页2、【多元函数取得极值的条件多元函数取得极值的条件】【定理定理 1】（必要条件）（必要条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx具具有偏导数，且在点有偏导数，且在点),(00yx处有极值，则它在该点的偏处有极值，则它在该点的偏导数必然为零：导数必然为零：0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. . 【证证】第5页/共37页仿照一元函数，凡能使一阶偏导数仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零同时为零的点，的点，均称为函数的均称为函数的驻点驻点. .驻点驻

5、点可偏导函数极值点可偏导函数极值点【问题】【问题】如何判定一个驻点是否为极值点如何判定一个驻点是否为极值点？【注意】【注意】驻点驻点极值点极值点举例举例【推广】【推广】如果三元函数如果三元函数),(zyxfu 在点在点),(000zyxP具具有偏导数，则它在有偏导数，则它在),(000zyxP有极值的必要条件为有极值的必要条件为 0),(000 zyxfx，0),(000 zyxfy，0),(000 zyxfz. 第6页/共37页【定理定理 2】 （充分条件）（充分条件） 设函数设函数),(yxfz 在点在点),(00yx的的 某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，某邻域内连续，有一阶及二阶连

6、续偏导数， 二元函数极值的判定定理二元函数极值的判定定理第7页/共37页 0422204222yyxxzzzyzzzx【解】【解】（此为隐函数的极值问题）（此为隐函数的极值问题）【教材例【教材例4自阅】自阅】第8页/共37页,21|, 0|,21|zzCzBzzAPyyPxyPxx 【此即高等数学学习指导【此即高等数学学习指导P146 (32)题】题】第9页/共37页, 0),( yxfx0),( yxfy第10页/共37页（1）有界闭区域上的连续函数有界闭区域上的连续函数求最值的一般方法求最值的一般方法 将函数在将函数在D内内的所有驻点处的函数值及在的所有驻点处的函数值及在D的的边边界界上的

7、最大值和最小值相互比较，其中最大者即为上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值最大值，最小者即为最小值. . 与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值来求函数的最大值和最小值. .3、【二元函数的最值二元函数的最值】分分为为(1) 有界闭区域上的连续函数求最值有界闭区域上的连续函数求最值(2) 实际问题求最值实际问题求最值第11页/共37页【补例【补例 5】 求二元函数求二元函数 )4(),(2yxyxyxfz 在直线在直线6 yx，x轴和轴和y轴所围成的闭区域轴所围成的闭区域D上的上的最大值与最小值最大

8、值与最小值. . 【解】【解】xyo6 yxDD如图如图, , 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx第12页/共37页, 2| )6(4 xxy,64)2 , 4( fxyo6 yxD【此即高等数学学习指导【此即高等数学学习指导P146 (34)题】题】)6 , 0( x第13页/共37页, 0)1()(2)1(22222 yxyxxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy【解【解】由由【补例【补例6】 ,21)21,21( z,21)21,21( z( (夹逼准则夹逼准则) )第14页/共37页（2）实际问题求最值）实际问题求最值实

9、际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在实际问题中，若据问题的性质，知道最值一定在D的内部取得，而在的内部取得，而在D内只有一个驻点，则可断定内只有一个驻点，则可断定该驻点处的函数值就是实际所求的最值该驻点处的函数值就是实际所求的最值【教材例教材例5】某厂要用铁板做成一个体积为某厂要用铁板做成一个体积为 2 m3 的有盖长方的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省体水箱。问长、宽、高各取怎样的尺寸，才能用料最省. .【解】【解】; 米米米、米、设水箱的长、宽分为设水箱的长、宽分为yx米米则高为则高为xy2 水箱用材料面积为水箱用材料面积为)22(2xyxxyyxyA 即即)0

10、, 0( )22(2 yxyxxyA目标函数目标函数即在定义域内有唯一驻点即在定义域内有唯一驻点)2, 2(33. 2 3米时，用料最省米时，用料最省故长、宽、高均为故长、宽、高均为（课本（课本P112例例6自阅）自阅）第15页/共37页实例实例小王有小王有200 元钱，他决定用来购买两种急需的物元钱，他决定用来购买两种急需的物品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买品：计算机磁盘和录音磁带，设他购买x张磁盘，张磁盘， y盒录盒录音磁带达到最佳效果，效果函数音磁带达到最佳效果，效果函数 ，每，每张磁盘张磁盘8元，每盒磁带元，每盒磁带10元，问他如何分配这元，问他如何分配这200元以达到元以达到最佳效

11、果最佳效果yxyxUlnln),( 问题的实质问题的实质求求 在条件在条件 下的极值下的极值yxyxUlnln),( 200108 yx(1)【无条件极值无条件极值】对自变量除了限制在定义域内外，对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件。并无其他条件。1、【无条件极值与条件极值无条件极值与条件极值】y盒录音磁带盒录音磁带单价：单价：10元元x张磁盘张磁盘单价：单价：8 8元元(2)【条件极值条件极值】对自变量有附加条件的极值。对自变量有附加条件的极值。第16页/共37页条件极值的求法条件极值的求法法法:化为无条件极值化为无条件极值如教材例如教材例5和补例和补例5法法:拉格朗日乘数法拉格朗日乘

12、数法对三元以上的函数特别有用对三元以上的函数特别有用2、【拉格朗日乘数法】【拉格朗日乘数法】第17页/共37页 引进辅助函数引进辅助函数),(),(),(yxyxfyxL 0 的三个偏导数为的三个偏导数为、则上式恰为该函数对则上式恰为该函数对 yx 拉格朗日乘子（乘数）拉格朗日乘子（乘数）【总结【总结拉格朗日乘数法】拉格朗日乘数法】称为拉格称为拉格朗日函数朗日函数第18页/共37页乘数法的推广乘数法的推广（条件与自变量均多于两个的情况）（条件与自变量均多于两个的情况）第19页/共37页【解【解】 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx .691224623max u则则第2

13、0页/共37页【解】【解】第21页/共37页 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz, 02xax ，02yby ，02zcz ,第22页/共37页),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,( (转化为求转化为求u的最大值的最大值) )第23页/共37页可得可得即即30ax 30by ，30cz （课本（课本P58-59例例7、例、例8自阅）自阅）第24页/共37页多元函数的极值多元函数的极值拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法条件极值条件极值（取得极值的（取得极值的必要必要条件、条件、充分充分条件）条件）多元函数的最值多元函数的最

14、值条件极值的求法条件极值的求法法法:化为无条件极值化为无条件极值法法:拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法第25页/共37页【思考题】【思考题】【思考题解答】【思考题解答】不是不是. . 0)0 ,(2yxxf 0), 0(2xyyf第26页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第27页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第28页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第29页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第30页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第31页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第32页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值第33页/共37页的图形的图形观察二元函数观察二元函数22yxexyz 二、多元函数的极值和最值二、多元函数的极值和最值