复变函数讲解解析函数PPT学习教案

1、会计学1复变函数讲解解析函数复变函数讲解解析函数1 复变函数的导数2 解析函数第1页/共90页000( )() lim zzf zf zzz (1) 导数的定义 定义2.1设 是定义在区域D上的( )wf z 存在，则称 在 点可导, 并把这个极( )f z0zz 限值称为 在 点的导数，记做 0().fz ( )f z0zz 复变函数, z0是区域D内的定点. 若极限 第2页/共90页 定义中的极限式可以写为 000()() lim, zf zzf zz 即当 在 点可导时, ( )f z0zz 0000( )()()limzzf zf zfzzz 注意0(0)zzz 的方式是任意的.000

2、()()lim.zf zzf zz 第3页/共90页 此时，对D内任意一点z, 有 0()( )( )lim.zf zzf zfzz 也可用 dd ( ), ddwf zzz等表示 在z点的导数. ( )f z若 在区域 D内每一点都可导, 则称 ( )f z( )f z在区域 D内可导.第4页/共90页则 例2.1设 2( ),f zz ( )f z在复平面内处处可导，且 ( )2 .fzz 解因为zzfzzfzfz )()(lim)(0zzzzz 220)(lim0lim(2).zzz 22 .zz 所以第5页/共90页例2.2证明 ( )2f zxyi 在复面内处处连续，但处处不可导.

3、证明对复平面内任意点z, 有 ()( )f zzf z 2.xyi ()2()2xxyy ixyi 故 0lim ()( )0.zf zzf z 这说明 ( )2f zxyi 在复面内处处连续. 第6页/共90页()( )f zzf zz ()2()2xxyy ixyixyi 2.xyixyi xyoz0 y但是, 设 沿着平行于x 轴的z 方向趋向于 0, 即0, 0.xy 第7页/共90页xyoz 0 y0002limlim1.xxyxyixxyix 0 x002limxyxyixyi 02lim2.yyiyi 所以( )2f zxyi的导数不存在.设 沿着平行于y 轴的方向趋向于 0,

4、即z 0, 0,xy 第8页/共90页(2) 可导与连续的关系 函数f (z)在z0处可导，则在z0处一定连续, 但函数f (z)在z0处连续不一定在z0处可导. 第9页/共90页(3) 求导法则 复变函数中导数的定义与一元实函数导数的定义在形式上完全一致，同时，复变函数中的极限运算法则也和实函数中一样，因而实函数中的求导法则可推广到复变函数中，且证明方法相同.求导公式与法则:(1)( )0, c 其中c为复常数.(2)1(),nnznz 其中n为正整数.第10页/共90页 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf 2( )( ) (

5、)( )( )(5),( ( )0).( )( )f zfz g zf z g zg zg zgz 1(7)( ),()fzw (6) ( )( )( ),f g zfw g z ( ).wg z 其中其中( )wf z 与( )zw 是两个互为反函数的单值函数, 且( )0.w 第11页/共90页定义2.2 设 在区域D有定义. f z(1) 设 , 若存在 的一个邻域，使得 0zD 0z在此邻域内处处可导, 则称 在 处解析,( )f z0z( )f z也称 是 的解析点. 0z( )f z(2) 若 在区域D内每一点都解析，则称 ( )f z在区域D内解析, 或者称 是区域D内的( )f

6、 z( )f z解析函数. 第12页/共90页(3) 设G是一个区域，若闭区域 ,DG 且 在G内解析，则称 在闭区域 上 ( )f z( )f zD解析. 函数 在 处解析和在 处可导意义( )f z0z0z不同，前者指的是在 的某一邻域内可导, 0z但后者只要求在 处可导. 0z第13页/共90页 复变函数在区域内解析与在该区域内可导是等价的. 事实上，复变函数在区域内解析显然在该区域内可导. 反之, 设函数 在区域D内可导, 则对( )f z任意 存在z的某一个邻域U, 使得U D,zD 由 在D内可导, 可知 在U内可导, 即( )f z( )f z在z处解析.( )f z第14页/共

7、90页若函数 在 处不解析，则称 是 ( )f z0z0z( )f z的奇点. 若 是 的奇点, 但在 的某邻域内, 0z( )f z0z除 外, 没有其他的奇点，则称 是函数 0z0z( )f z的孤立奇点. 由例2.1和例2.2知, 函数 是全2( )f zz 平面内的解析函数，但是函数 ( )2f zxyi 是处处不解析的连续函数. 第15页/共90页根据求导法则，易得到下面的结论.设函数 在区域D内解析, 则 ( ), ( )f zg z( )( ), ( ) ( )f zg zf z g z 也在D内解析. 当 时, 是00, ()0zD g z0z f zg z的解析点. 特别地,

8、 多项式P(z)在全平面内解析,有理分式在复平面内除分母为零的点之外解析, 分母为零的点是有理分式的孤立奇点. 第16页/共90页例2.3证明 在 处可导, 2( )f zz z 0z 但处处不解析. 证明根据导数的定义, 200( )(0)limlim0.zzf zfzz 因此 在 处可导，且 ( )f z0z (0)0.f 当 时, 由 得 00z 22000, zzzzz z 22000( )()f zf zz zz z 22220000()().z zz zz zz z第17页/共90页故2000000( )()().f zf zzzzzzzzzzz 虽然020000lim()22,z

9、zzz zz zz 但是当 z分别从平行于x, y轴方向趋于z0时， 分别 00zzzz 以1和-1为极限，因此 不存在. 又因为 000limzzzzzz 00,z 所以 不存在，即 000( )()limzzf zf zzz ( )f z在 时不可导, 从而在复平面内处处不解析. 0z 第18页/共90页2 函数可导的充要条件1 函数可微的概念第19页/共90页 复变函数可微的概念在形式上与一元实变函数的微分概念完全一致. 复变函数可微与可导是否也具有一元实变函数可微与可导的关系？00()(), f zzf zAzz 定义2.3设函数 在 的某邻域内有定义, ( )f z0z若存在复常数A

10、, 使得 其中 则称 在 点可微. 0lim0,z ( )f z0z第20页/共90页000()() lim. zf zzf zAz 引理复变函数 在点 可导的充分必要( )f z0z条件是 在 点可微，且( )f z0z0().Afz 证明若 存在，设 则 0()fz 0()Afz ，令 则00()() ,f zzf zAz 00()(), f zzf zAzz 且 . 0lim 0 z第21页/共90页反之，如果 00()(), f zzf zAzz 则 00()().f zzf zAz 令 则 存在. 0,z 0()fzA 这个引理表明, 函数 在 可导与在( )f z0z0z可微等价.

11、第22页/共90页与一元实函数类似, 记 000d ()()() d ,f zfzzfzz d ( )( ) d .f zfzz 称之为 在 处的微分. ( )f z0z如果函数 在区域D内处处可微, 则称( )f z( )f z在区域D内可微, 并记为第23页/共90页定理2.1复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在点 处可微 ( 即可导 ) 的充分必要 000zxiy条件是二元函数 在 处都 ( , ), ( , )u x y v x y00(,)xy可微，并且满足Cauchy-Riemann方程, .uvuvxyyx 此时 000( )( , ).uvf z

12、ix yxx 第24页/共90页证明必要性. 若 存在，设 0()fz 0()fzaib (a, b是实常数). 由 , 000()()()f zzf zfzzz 12()()()()aibxi yixi y 12()a xb yxy 21(,i b xa yxy 其中 12Re , Im . 第25页/共90页显然, 当 时，0z 120, 0. 0000(,)(,),uu xx yyu xy 0000(,)(,),vv xx yyv xy 则 于是有 00()().f zzf zui v 12()ui va xb yxy 21().i b xa yxy 由两个复数相等的条件可得设第26页/

13、共90页21.vb xa yxy 12,ua xb yxy 因此， 在 处可微，且 ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy.vubxy ,uvaxy 充分性. 若 在 处可微, ( , ), ( , )u x yv x y00(,)xy且满足Cauchy-Riemann方程. 令 , ,uvvuabxyxy 第27页/共90页则1,ua xb y 2,vb xa y 其中 且当 时， 22,xyz 0 120,0. 于是 00()()f zzf zui v 12()a xb yi b xa y 12()()()axi yb i xyi 12()().abizi 第28页/共

14、90页由 可得 22,xyz 12() 0 .iozz 由 , 可知 在 处可微, 且 ( )f z0z 000(),.uvfzaibixyxx 0( ).uvuuvvvuf ziiiixxxyyxyy 并有如下结论成立第29页/共90页定理2.2复变函数 ( )( , )( , )f zu x yiv x y 在区域D内解析的充分必要条件是 ( , ), ( , )u x y v x y在区域 D 内可微, 且在D内满足Cauchy-Riemann方程 , .uvvuxyxy 在区域 D内 ( ).uvuuvvyuf ziiiixxxyyxyy 第30页/共90页解析函数的判定方法: (1)

15、 如果能够用求导公式或求导法则验证复变函数f (z)的导数在区域D内处处存在, 则可直接断定f (z) 在区域D内解析. (2) 如果复变函数f (z)=u(x,y)+iv(x,y)中的函数 u(x,y)和 v(x,y)在区域D内各个一阶偏导数连续 (因而u(x,y)和v(x,y)在区域D内可微), 并且满足Cauchy-Riemann方程, 则由解析函数的充要条件可以断定函数f (z)在区域D解析.第31页/共90页).sin(cos)( (3). ;|(2). ;Re.12yiyezfzwzwx）（第32页/共90页，且，）因为解：（01vxu0 0 0 , 1yvxvyuxu.,Re从而

16、不解析导可在整个复平面内处处不所以立，方程在整个复平面不成所以zwRC第33页/共90页且，所以、, 0|)2(22222vyxuyxzw0 02y ,2yvxvyuxux不解析。，因此，在整个复平面上不可导。，；可导，在方程成立，所以处只有在点)()(00)( 0)()0 , 0(zfzfzzfzzfR第34页/共90页且，所以因为,sincos)sin(cos)( (3).yevyeuyiyezfxxxcosy, siny, siny, ,cosyxyvxxvxyuxxueeee在整个复平面内解析；方程成立，所以四个偏导数连续，并且)(R-Czf).()sin(cos)( zfyiyexv

17、ixuzfx事实上，第35页/共90页为常数）、（常数；、；、| )(|3)(Re)2( 0)( ) 1 (zfzfzf第36页/共90页得，、由证明：0)( ) 1 (yvyuxvxuiizf )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu，0yvxvyuxu第37页/共90页方程知：，由常数，所以、因为RCuyuxu)2(，0yvxvyuxu )(内为常数；在均为常数，从而、由数学分析的结论知，Dzfvu第38页/共90页，00yvyuxvxuvuvu导数得：求、常数，分别对、因为yxzf2| )(|)3(，方程得：解析，所以由因为00 )(yuxuyuxuuvvuRCzf

18、。，所以0)(0)(2222yuxuvuvu22()00( )0vuvfzxu当时，故，x结论成立。第39页/共90页 和 在全平面内处处可微，但 ( , )u x y( , )v x y2 , 2 , 2 , 2 .uuvvxyyxxyxy只有在实轴 上满足Cauchy-Riemann方程, 0y 所以 在实轴上可微. 但在任何一点的邻域( )f z内都有不可微的点，因此， 处处不解析. ( )f z例2.6设 问 22( )2,f zxyxyi( )f z在何处可微? 是否解析? 解记 显然, 函数 22,2.uxy vxy第40页/共90页例2.7设 2222( )(),f zxaxyb

19、yi cxdxyy其中 a, b, c, d是常数，问它们取何值时, 函数 f (z) 在复平面上解析. 解显然， 22,uxaxyby在全平面可微，且 22vcxdxyy第41页/共90页2, 2 .vvcxdydxyxy2, 2,uuxayaxbyxy 容易看出, 当 时, 函数2, 1, 1, 2abcd ( , ), ( , )u x yv x y满足Cauchy-Riemann方程, 这时 函数 在全平面解析. ( )f z第42页/共90页 Cauchy-Riemann方程在解析函数论及力学、物理学等的应用中具有根本性的意义, 特别是在流体力学和静电场理论中，起到重要作用.第43页

20、/共90页一、调和函数的定义二、解析函数与调和函数的关系2.2.3 解析函数与调和函数的关系 第44页/共90页并且满足拉普拉斯方程并且满足拉普拉斯方程有二阶连续偏导数有二阶连续偏导数内具内具在区域在区域如果二元实变函数如果二元实变函数 , ),( Dyx 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中有很重要的应用.2222xy 称为Laplace算子注：. ),( 内的调和函数内的调和函数为区域为区域那么称那么称Dyx 0, 2222 yx 第45页/共90页1. 两者的关系证 ,)( 内的一个解析函数内的一个解析函数为为设设Divuzfw . , xvyuyvxu 根据解析函数高阶导数定理（

21、后面我们会提到）, . 数数具有任意阶的连续偏导具有任意阶的连续偏导与与vu则满足CR方程 ( )( , )( , ), wf zu x yiv x yD 设为区域内的一个函数理一解析定.D则它的实部和虚部都是区域 内的调和函数第46页/共90页, 22yxvxyv , 0 2222 yuxu从而从而. 0 2222 yvxv同理同理 . 都是调和函数都是调和函数与与因此因此vu证毕例如:设 f(z)=x-iy,则u(x,y),v(x,y)都是z平面上的调和函数,但f(z)=x-iy在z平面上处处不解析.注：定理反之不正确; , 222222yxvyuxyvxu 从而从而xvyuyvxu ,

22、第47页/共90页.,:的共轭调和函数不一定是的共轭调和函数是即如果换性共轭调和函数不具有交注vuuv三、共轭调和函数的定义 , uvuvxyyx 设函数u(x,y)及v(x,y)均为区域D内的调和函数，且满足C-R方程则称v是u的共轭调和函数。第48页/共90页l显然，解析函数的虚部是实部的共轭调和函数。l反过来，由具有共轭性质的两个调和函数构造的一个复变函数一定是解析的吗？二、解析函数与调和函数的关系2. 两者的关系定理二 复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充分必要条件是在区域D内，f(z)的虚部v(x,y)是实部u(x,y)的共轭调和函数。第49页/共90页四

23、、解析函数的构造l由上面定理可知，给定一个调和函数u(x,y) （或v(x,y)） ，我们可以利用C-R方程求出对应的v(x,y) （或u(x,y)） ，从而可以构造出一个以u(x,y)为实部，以v(x,y)为虚部的解析函数。第50页/共90页例3 32( , )3, ( , )( ),(0).u x yxxyzu x yf zfi验证是 平面上的调和函数并求以为实部的解析函数使2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解,z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数( , )vvdv x ydxdyxy由有( ,

24、 )(0,0)x y,uudxdyyx 6xydx, c22(33)xydy( , )v x y原函数法第51页/共90页( ,0)22(0,0)6(33)xxydxxydy( , )22( ,0)6(33)x yxxydxxydyc220(33)yxydyc233x yyc( )wf zuiv故32(3)xxy3,zic23(3)ix yyc (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第52页/共90页2233,uxyx22 6 ,uxx 6,uxyy 22 6 ,uxy 解(法二),z因为在 平面上, 0 2222 yuxu于是于是( , ).u x y故为z平面上的调和函数yxCR

25、vu由方程中一个得( , )v x y22(33)( )xydyx233( )x yyx偏积分法第53页/共90页xyCRvu 再由方程中另一个得23( , )3( )v x yx yyx6( )xyx6,xy( )0,x故( ),xc即23( , )3,v x yx yyc因此( )wf zuiv故32(3)xxy23(3)ix yy3,zic (0),fi由 1,c 得3( ).f zzi故第54页/共90页例4 . 0)0( ,)( , )sincos(),( fivuzfyxyxyyeyxvx使使求一解析函数求一解析函数和函数和函数为调为调已知已知解, 1)sinsincos( yyx

26、yyexvx, 1)cossin(cos yxyyyeyvxyvxu 由由, 1)cossin(cos yxyyyex xyxyyyeuxd1)cossin(cos 得得),()sincos(ygxyyyxex 第55页/共90页 , 得得由由yuxv 1)sinsincos( yyxyyex),()sincossin(ygyyyyxex ( ),g yyC ,)sincos(Cyxyyyxeux 于是于是,)1(Czizez ivuzf )(Ciiyixeiyeexeiyxiyx )1()1( , 0)0( f由由, 0 C 得得所求解析函数为.)1()(zizezfz 第56页/共90页1

27、 指数函数2 对数函数3 幂函数4 三角函数和双曲函数第57页/共90页由( )(cossin )xf zeyiy在z平面上解析，且 当z为实数, 即 ( )( ).fzf z 当 y=0时, 与通常实指数函数一致, 因此 ( )xf ze 给出下面定义. 定义2.4假设 则由 ,zxiy(cossin )xeyiy 可知, 函数第58页/共90页定义复指数函数，记 exp( )(cossin ),xzeyiy或简记为(cossin ).zxeeyiy显然Re(exp( )cos , xzey Im(exp( )sin ,xzey exp( ),xze Arg(exp( )2 (0,1, 2,

28、). zykk 第59页/共90页定理2.3 设 为指数函数，则 在全平面zeze解析， 且 ,zzee 从而 其中n正整数;(1)1212,zzzzeee (),znnzee 0,ze (2)当 时, 其中 Im( )0z ( ),xf ze Re( );xz (3)ze是周期函数, 其周期是 n非零整数, 2,Tn i (4)1ze 的充分必要条件是 n为整数. 2,zn i 2;zn izee 即第60页/共90页证明只证明(1) . 令 111,zxiy 222.zxiy 由指数函数定义 1211221212() ()()()zzxiyxiyxxi yyeee12.zzee121212

29、cos()sin()xxeyyiyy 121212(coscossinsin)xxe eyyyy1212(sincoscossin)iyyyy121122(cossin) (cossin)xxeyiyeyiy第61页/共90页例2.8求 的实部与虚部. exp()ze解令 因为 ,zxiycossinzxxeeyiey，所以cosexp()cos(sin )sin(sin ).xzeyxxeeeyiey从而有cosReexp()cos(sin ),xzeyxeeey cosImexp()sin(sin ).xzeyxeeey 第62页/共90页定义2.5指数函数的反函数称为对数函数,即把满足方

30、程 的函数 称 (0)wez z( )wf z 为z的对数函数，记作 Ln .wz 令 则由 , ,iwuiv zre (0),wez z 可得 从而由复数的相等的定义知, ,u iviere , 2,uer vk即 其ln , 2,ur vk 中k为整数, 或 ln, Arg .uzvz 第63页/共90页所以LnlnArgln(arg2)wzzizzizk 0, 1, 2,.k 由于 是多值的，所以 是多值函数. ArgzLnz如果记 则对数函数可写为 lnlnarg ,zziz Lnln2 0, 1, 2,.zzikk 对应某个确定的k, 称为对数函数的第k个 个分支, 对应 k=0 的

31、分支，称为对数函数主支.第64页/共90页于是 即是对数主支, 称lnlnargzziz lnz为对数函数的主值. 对数函数各分支之间，其虚部仅差 的 2 倍数，因此，当给定特殊分支 (即给定 k的值)时, 的值就被确定. Argz例如, 如果给定分支的虚部落在区间 (, ) 中，那么 即取 k=0 的那Ln(1)ln2,4ii 个对数分支. 第65页/共90页如果给定分支的虚部落在区间 中, ( ,3 ) 那么 即取 k=1 的那个9Ln(1)ln2,4ii 对数分支. 这可在 ln22 (0, 1, 2)4ikk Ln(1)ln 1Arg(1)iiiiln 2arg(1)2iii k 中取

32、 k=1 得到. 第66页/共90页函数单值与多值xlnzLnzln单值多值单值定义域所有正实数所有非零复数所有非零复数注解一个单值时，0 xzxln为zln分支为第67页/共90页 利用复数的乘积与商的辐角公式易证，复变函数的对数函数保持了实对数函数的乘积与商的相应公式 1 212Ln()LnLn ,z zzz 121212Ln( )LnLn (,0).zzzzz z 在实函数对数中，负数不存在对数；但在复变数对数中，负数的对数是有意义的. 例如 (21) (0, 1, 2,).ki k Ln( 1)ln1arg( 1)2ii k 第68页/共90页对数函数的解析性:对于对数主支 lnlna

33、rg ,zziz 其实部 ln z在除原点外的复平面上处处连续; 但其虚部 arg(, ,z 在原点与负实轴上都不连续, 因为对于负实轴上的点 (0),zx x 有 00limarg, limarg.yyzz 所以, 在0,0,Cxiy yx 即在除去原点与负实轴的复平面上, lnz处处连续. 第69页/共90页定理2.4对数主支 lnlnargzziz 在 区域 0,0DCxiy yx 上解析(如图), 并且 1ln.zz 证明记 ( )ln , ( )(),f zz w hf zh 则 0lim( )( ).hw hf z 由 ( ),f zez 对任意的 0,h 有xyoD第70页/共9

34、0页()( )00()( )()( )limlimf z hf zhhf zhf zf zhf zhee ()( )( )( )( )( )( )111lim.w hfzf zeew hf zw hf zez 对于其他各给定的对数分支，因为 Lnln2zzik (k确定),所以也有 1Ln (ln2).zzikz 因此，对于确定的 k, 称 Lnz为一个单值解析分支. 第71页/共90页例2.9求 ln( 1)(1)ii 的值. 解因为 3ln( 1)ln2,4ii ln(1)ln 2,4ii 所以Ln( 1)(1)ii 3ln 2ln 22,44iik i 第72页/共90页Ln( 1)(1

35、)2ln 22iiik i ln2(21).ki 于是ln( 1)(1)ln2.iii 事实上，以上结果还可以由ln( 1)(1)ln( 2)ln2iii 直接得到第73页/共90页az)0(Lnzezwzaa第74页/共90页,2时是正整数、当n性，幂函数一般是、由于对数函数的多值1. 0|arg)2(arg|lnLnzinnkziznznnezeezw是一个单值函数；第75页/共90页,)(31时是正整数、当nn)2(arg|lnLn111kzizznnneezw值函数；是一个n).1, 2 , 1 , 0( |2arg1nkeznkzni第76页/共90页,04时是、当; 10Lnz00

36、eez）：的整数，为互素与是有理数时，即、当0(5qqpqppkizkzizqqpqpqpqpeeez2ln)2(arg|lnLnz1取，当为互素，所以不难看到与由于kqp个不同的值，即这时，得到，qq 1,210值的函数；时幂函数是一个q第77页/共90页多值函数；函数是无穷是无理数或复数时，幂、当6是无理数时，有事实上，当kizkzizeeez2ln)2(arg|lnLnz时，有当)0( bbia)2(arg|)ln()2(arg|lnLnzkzizbiakzizeeez)2(arg|ln)2(arg|)ln(kzazbikzzbae例如), 2, 1, 0(2)2(arg1lnLni2k

37、eeeikkiiiii第78页/共90页ikkieee222ln2)22(arg2ln2Ln2222) ,2,1,0,(k )2lnsin2ln(cos2 2iek)22)ln1()22(arg2)ln1(Ln2)1(12ikikiiiieee)22(ln)22(ln22ln22ln kikkiikee), 2, 1, 0( 2 222keik上解析，、幂函数在0Re, 0Im7zzC第79页/共90页因为cossin ,iyeyiy,sincos yiyeiy 将两式相加与相减, 得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy 定义2.7定义三角函数与双曲函数如下: 正弦函数 sin;2izizeezi 余弦函数 cos;2izizeez 第80页/共90页双曲正弦函数 sh;2zzeez 双曲余弦函数ch.2zzeez 当z是实变数时，它们与实的正弦、余弦、双曲正弦、双曲余弦函数是一致的. 由于 , zizee在复平面上是