复变函数与积分变换—复变函数PPT学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换复变函数与积分变换复变函数复变函数1. 复数项级数2. 幂级数3. 泰勒级数4. 洛朗级数5. 第四章小结与习题第1页/共36页Dz.r0z.K. 问题的引入1泰勒定理2小结与思考5典型例题4将函数展开成泰勒级数3第2页/共36页问题: 任一个解析函数能否用幂级数来表达？DKz.内任意点 ( ) ,f zD设设函函数数在在区区域域内内解解析析0 , Dz为为内内以以为为中中心心的的任任一一圆圆周周如图:r0z.Krz 0 圆周圆周. 0rz , , DK它它与与它它的的内内部部全全包包含含于于记记为为第3页/共36页由柯西积分公式 , 有 Kzfizf,d)(21)(

2、 其中 K 取正方向. , ,KzK 因因为为积积分分变变量量取取在在圆圆周周上上 点点在在的的内内部部00 1.zzz 所所以以0001111zzzzz 则第4页/共36页 200000)()(11zzzzzzz nzzz)(00 0010.)()(1nnnzzz 101001( )d ( )()2()NnnnKff zzziz 于于是是 KNnnnzzzfi.d)()()(21010 第5页/共36页由高阶导数公式, 上式又可写成 1000)()()(!)()(NnNnnzRzznzfzf其中 KNnnnNzzzfizR d)()()(21)(010 lim( )0,NNRz 若若可知在K

3、内 000)()(!)()(nnnzznzfzf第6页/共36页qrzzzzz 000 ( ) ,f zK即即在在内内可可以以用用幂幂级级数数来来表表示示令( ) () , f zD KD 在在内内解解析析则在K上连续, ( ) ,fK 因因此此在在上上也也连连续续, )(上有界上有界在在 Kf ,01,qq 是是与与积积分分变变量量 无无关关的的量量 且且第7页/共36页即存在一个正常数M, ( ).KfM 在在上上szzzfzRKNnnnNd)()()(21)(010 KNnnszzzzfd)(21000 NnnrqrM221.1qMqn 第8页/共36页0lim nNqK0)(lim z

4、RNN在内成立,从而在K内 圆周K的半径可以任意增大,只要K内成立.D在 000)()(!)()(nnnzznzfzf的泰勒展开式,)(zf在0z泰勒级数第9页/共36页如果0z到D的边界上各点的最短距离为,d0z那末)(zf在的泰勒展开式在内成立dzz 0因为凡满足dzz 0的z必能使.dR 即即由上讨论得重要定理泰勒展开定理)(zf在0z的泰勒级数的收敛半径R至少等于，d但成立，成立， 000)()(!)()(nnnzznzfzf第10页/共36页, 2, 1 , 0),(!10)( nzfncnn其中泰勒级数泰勒展开式定理设)(zf在区域D内解析,0z为D 内的一d为0z到D的边界上各点

5、的最短距离, 那末点,dzz 0时, 00)()(nnnzzczf成立,当泰勒介绍第11页/共36页说明:1.复变函数展开为泰勒级数的条件要比实函数时弱得多; (想一想, 为什么?); , , )( . 200zdzdDzf 即即之间的距离之间的距离一个奇点一个奇点到最近到最近等于等于则则内有奇点内有奇点在在如果如果;,0. 30级数称为麦克劳林级数级数称为麦克劳林级数时时当当 z4.任何解析函数在一点的泰勒级数是唯一的. (为什么?)第12页/共36页 )( zf因为解析，可以保证无限次可各阶导数的连续性; 所以复变函数展为泰勒级数的实用范围就要比实变函数广阔的多.注意问题：利用泰勒级数可以

6、将函数展开为幂级数，展开式是否唯一？第13页/共36页 : )( 0已已被被展展开开成成幂幂级级数数在在设设zzf 202010)()()(zzazzaazf,)(0 nnzza那末,)(00azf ,)(10azf 即, )(!10)(zfnann 因此, 任何解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的.第14页/共36页常用方法: 直接法和间接法.1.直接法:,2,1 ,0, )(!10)( nzfncnn. )( 0展开成幂级数展开成幂级数在在将函数将函数zzf由泰勒展开定理计算系数第15页/共36页例如，. 0 的泰勒展开式的泰勒展开式在在求求 zez),2,1 ,0(,1

7、)(0)( neznz故有 02! 21nnnznznzzze, 在复平面内处处解析在复平面内处处解析因为因为ze. R所以级数的收敛半径所以级数的收敛半径,)( )(znzee 因为因为第16页/共36页仿照上例 , ,)!12()1(! 5! 3sin1253 nzzzzznn)( R,)!2()1(! 4! 21cos242 nzzzznn)( R. 0 cos sin 的的泰泰勒勒展展开开式式在在与与可可得得 zzz第17页/共36页2. 间接展开法 : 借助于一些已知函数的展开式，结合解析函数的性质，幂级数运算性质（逐项求导，积分等）和其它数学技巧（代换等），求函数的泰勒展开式.间接

8、法的优点: 不需要求各阶导数与收敛半径，因而比直接展开更为简洁，使用范围也更为广泛 .第18页/共36页例如， . 0 sin 的泰勒展开式的泰勒展开式在在利用间接展开法求利用间接展开法求 zz)(21sinizizeeiz 012)!12()1(nnnnz 00!)(!)(21nnnnniznizi第19页/共36页附: 常见函数的泰勒展开式,! 21)102 nnnznznzzze,111)202 nnnzzzzz,) 1() 1(111)302 nnnnnzzzzz,)!12()1(! 5! 3sin)41253 nzzzzznn)1( z)1( z)( z)( z第20页/共36页,)

9、!2()1(! 4! 21cos)5242 nzzzznn)( z,1)1(32)1ln()6132 nzzzzznn 011)1(nnnnz)1( z 32! 3)2)(1(! 2)1(1)1( )7zzzz ,!)1()1( nznn )1( z第21页/共36页例1. )1 (1 2的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zz 解 nnzzzz) 1(11121 z, 11)1(12 zzz上有一奇点上有一奇点在在由于由于,1内处处解析内处处解析且在且在 z,的幂级数的幂级数可展开成可展开成 z第22页/共36页 zz11)1 (12. 1,)1(321112 znzzznn上式两边逐项

10、求导,第23页/共36页, 1 , 1 )1ln( 是它的一个奇点是它的一个奇点平面内是解析的平面内是解析的向左沿负实轴剪开的向左沿负实轴剪开的在从在从 z例2. 0 )1ln( 泰勒展开式泰勒展开式处的处的在在求对数函数的主值求对数函数的主值 zz分析. 1 的幂级数的幂级数内可以展开成内可以展开成所以它在所以它在zz 如图,1 Ro1 1xy第24页/共36页zzzzzznnnd)1(d11000 即 1)1(32)1ln(132nzzzzznn1 z 将展开式两端沿 C 逐项积分, 得解zz 11)1ln( 02) 1() 1(1nnnnnzzzz)1( z, 0 1 的曲线的曲线到到内

11、从内从为收敛圆为收敛圆设设zzC 第25页/共36页例3. 231)( 的的幂幂级级数数展展开开成成把把函函数数zzzf 解231121231zz )23()23(231 212 nzzz 1322223232321nnnzzz,2301 nnnnz. 32, 123 zz即即第26页/共36页例4 .0arctan的的幂幂级级数数展展开开式式在在求求 zz解,1darctan02 zzzz因为因为1,)()1(11 022 zzznnn且且 zzzz021darctan所以所以 znnnzz002d)()1(. 1,12)1(012 znznnn第27页/共36页例5.cos2的的幂幂级级数

12、数求求z解),2cos1(21cos2zz 因为因为 ! 6)2(! 4)2(! 2)2(12cos642zzzz zzzz! 62! 42! 221664422)2cos1(21cos2zz 所以所以 zzzz! 62! 42! 22165432第28页/共36页例6.1展展为为麦麦克克劳劳林林级级数数将将zez 解,1)(zezfz 令令即微分方程0)()()1( zzfzfz对微分方程逐次求导得:, 1所以收敛半径为所以收敛半径为, 1 内内进进行行展展开开可可在在 z, 11 zzez的的唯唯一一奇奇点点为为因因为为求求导导得得对对)(zf,1)(zzezfz 第29页/共36页, 2)0(, 1)0(, 0)0(, 1)0( ffff得得由由的的麦麦克克劳劳林林级级数数为为所所以以)(zf. 1,31211132 zzzzez0)()()1()()1( zfzfzzfz0)()2()()1( zfzzfz第30页/共36页 通过本课的学习，应理解泰勒展开定理，熟记五个基本函数的泰勒展开式，掌握将函数展开成泰勒级数的方法，能比较熟练的把一些解析函数展开成泰勒级数.第31页/共36页奇、偶函数的泰勒级数有什么特点?思考题第