导数在研究函数中的应用PPT学习教案

1、会计学1导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用(一一)知识与技能知识与技能 通过对实例的观察和研究，发现函数的单调性与导数之间的关系，加深对函数的导数的理解通过对实例的观察和研究，发现函数的单调性与导数之间的关系，加深对函数的导数的理解.掌握函数极值的定义掌握函数极值的定义,了解函数的极值点的必要条件和充分条件了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 . (二二)过程与方法过程与方法结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。结合实例，借助几何直观感知并探索函数的极值与导数的关系。

2、 (三三)情感、态度、与价值观情感、态度、与价值观 感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质。感受导数在研究函数性质中一般性和有效性，通过学习让学生体会极值是函数的局部性质。 教学目标：教学目标：第1页/共43页yx0abc( )0f x ( )0f x 第2页/共43页例例2、判断下列函数的单调性，并求出、判断下列函数的单调性，并求出 单调区间：单调区间：(1) f(x)=x3+3x ;解：解： =3x2+3=3(x2+1)0)(xf从而函数从而函数f(x)=x3+3x在在xR上单调递增，上单调递增，见右图。见右图。第3页/共43页(2) f(x)=x2

3、-2x-3 ;解： =2x-2=2(x-1)0)(xf图象见右图。当 0，即x1时，函数单调递增；)(xf当 0，即x1时，函数单调递减；)(xf.1 ,1)(）单调递减区间为（），的单调递增区间为（xf第4页/共43页(3) f(x)=sinx- -x ; x(0,p)p)解：解： =cosx- -10)(xf当当 0，即即 时，时，函数单调递增；函数单调递增；)(xf21712171xx或第6页/共43页图象见右图。图象见右图。当当 0，即即 时，时，函数单调递减；函数单调递减；21712171x)(xf第7页/共43页)2171,21712171,2171,)(单调递减区间为（），（）为

4、（的单调递增区间xf第8页/共43页第9页/共43页4、函数的极值定义、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. (极值即极值即峰谷处峰谷处的值）的值）使函数取得极值的使函数取得极值的点点x0称为称为极值点极值点第10页/共43页 1.下图是函数下图是函数 的图象的图象, 指出哪些是极大值指出哪些是极大值点

5、点, 哪些是极小值点哪些是极小值点.)(xfy 三、三、 函数极值的应用函数极值的应用ybxx1Ox2x3x4x5x6)(xfy x0a2.2.思考：思考：（1 1）极值点唯一吗）极值点唯一吗（2 2）极大值一定比极小值大吗）极大值一定比极小值大吗第11页/共43页 （3）极大值与极小值没有必然关系，极大值与极小值没有必然关系， 极大值可能比极小值还小极大值可能比极小值还小. 注意：注意：（1）极值是某一点附近的小区间而言极值是某一点附近的小区间而言的的,是函数的局部性质是函数的局部性质,不是整体的最值不是整体的最值;（2）函数的极值不一定唯一函数的极值不一定唯一,在整个定义区间在整个定义区间

6、内可能有多个极大值和极小值；内可能有多个极大值和极小值；第12页/共43页 f (x)0 yxOx1aby f(x)极大值点两侧极大值点两侧极小值点两侧极小值点两侧 f (x)0 f (x)0极值点两侧极值点两侧导数正负符号导数正负符号有何规律有何规律?x2注意注意1:f (x0) =0， x0不一定是极值点不一定是极值点,只能说是只能说是可疑可疑点点2:只有只有f (x0) =0且且x0两侧单调性不同不同 ， x0才是极值点才是极值点. 3:求求极值点，极值点，可以先求可以先求f (x0) =0的点，的点，再再列表判断单调性列表判断单调性结论：结论：极值点处，极值点处，f (x) =0第13

7、页/共43页 abxy)(xfyO abxy)(xfyOA A.1.1 B B.2.2 C C.3.3 D. D. 4 4 函数函数 的定义域为开区间的定义域为开区间 , ,导函数导函数 )(xf 内的图像如图所示，则函数内的图像如图所示，则函数 在开区间在开区间 内有（内有（ ）个极小值点。）个极小值点。 )(xf ),(ba),(ba),(ba)(xfA Af f ( (x x) 0) 0) 0f f ( (x x) =0) =0注意：注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别数形结合以及原函数与导函数图像的区别拓展：拓展：第14页/共43页x(, 2)2(2, 2)2( 2, +)00f

8、 (x) )31443fxxx 例例1： 求函数求函数 的极值的极值当当 x = 2 时时, f (x)有极大值：有极大值：当当 x = 2 时时, f (x)有极小值有极小值 ：328)2(f34)2(f. 2x解解:. 4)(2xxf令令 解得解得 或或, 0)( xf, 2x当当 , 即即 , 或或 ;当当 , 即即 .0)( xf0)( xf2x2x22x当当 x 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:)(xf )(xf -+ +单调递增单调递增单调递减单调递减单调递增单调递增28343步骤2：解方程f f ( (x x)=0)=0步骤1：确定定义域，求导步骤3：列表第15

9、页/共43页2.求极值的步骤求极值的步骤确定定义域确定定义域求求f(x)=0的根的根并列成表格并列成表格用方程用方程f(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干的根，顺次将函数的定义域分成若干个开个开 区间，并列成表格由区间，并列成表格由f(x)在方程在方程f(x)=0的根左的根左右的符号，来判断右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况在这个根处取极值的情况求导求导求极点求极点列表列表求极值求极值+-x0-+x0第16页/共43页巩固练习巩固练习1：求函数求函数 的极值的极值 )33f xxx x )fx )f x), 1 )1,1)1,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, 有

10、极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为2)(xf)(xf当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2.2.1x1x x解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。 当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： )33f xxx )0fx )23 3fxx )23 30fxx 1x 1.x )0fx 11x 1x 1x ) ),fxf x可以省略第17页/共43页函数的最值函数的最值x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y y

11、 观察右边一个定义观察右边一个定义在区间在区间a,b上的函数上的函数y=f(x)的图象，你能的图象，你能找出函数找出函数y=f（x）在）在区间区间a，b上的最大上的最大值、最小值吗？值、最小值吗？发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是是极大值，在区间上的函数的最大值是极大值，在区间上的函数的最大值是_，最小，最小值是值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出怎样才能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ 第18页/共43页 在在闭区间闭区间a,b

12、a,b上的函数上的函数y=f(x)y=f(x)的图象是一的图象是一条条连续不断连续不断的曲线的曲线, ,则它则它必有必有最大值和最小值最大值和最小值. .x xy y0a ab bx x1 1x x2 2x x3 3x x4 4f(a)f(a)f(xf(x3 3) )f(b)f(b)f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )gg由图可见，最大值点与最小值点由图可见，最大值点与最小值点出现在区间端点或者极值点处。出现在区间端点或者极值点处。第19页/共43页例例1 1、求函数求函数 在在00，33上的最大值与最小上的最大值与最小值值. .4431)(3 xxxf解：解：)2)(2(42 x

13、xxy当当x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表：yy , 令令 ，解得，解得2, 221 xx0 y+04y2(0，2)0 xy (23)，34 极小值极小值31因此函数因此函数 在在00，33上的最大值为上的最大值为4 4，最，最小值为小值为 . .4431)(3 xxxf34 第20页/共43页因为可导函数的最值点在由导数为零的点和区间的两个端点组成的集合里面因为可导函数的最值点在由导数为零的点和区间的两个端点组成的集合里面. .首先首先,求出所有求出所有导数为零的点导数为零的点然后然后,比较区比较区间端点处的间端点处的函数值及所函数值及所有导数为零有导数为零的点的函数的

14、点的函数值值.最后最后,下结论其中最大下结论其中最大的为最大值的为最大值,最小的为最小的为最小值最小值.试概括用导数求最值的方法步骤试概括用导数求最值的方法步骤. .第21页/共43页注：极值点不一定是最值点，注：极值点不一定是最值点，最值点若在区间内部必是最值点若在区间内部必是极值点极值点. .第22页/共43页练习练习1 1、求函数、求函数f( (x)=)=x2 2-4-4x+6+6在区间在区间11，55内的最大值和最小值内的最大值和最小值 . 故函数故函数f( (x) )在区间在区间1,51,5内的最大值为内的最大值为11,11,最小值为最小值为2. 2. (比较函数值比较函数值)法一法

15、一: :将二次函数将二次函数f( (x)=)=x2 2-4-4x+6+6配方配方, ,利用二次函数单调性处理利用二次函数单调性处理(2)2,(1)3,(5)11fff第23页/共43页二，课前热身二，课前热身1.下列求导数运算正确的是x121x2ln1xA.（x+)=1+ B.(log2x)=C.(3x)=3xlog3e D.(x2cosx)=2xsinx32x2231xx 32222xxx32222xxx2.函数y=ln(32xx2)的导数为. B. C. D. A xxay3sin31sin3px4函数在处有极值，则a=_344xxy2,35 函数在区间上的最小值为_ 233.( )2f

16、xxx- 的单调减区间为_ =Bc4(,0)( ,)3和20导导数数的的运运算算求单调区间求单调区间求极值最值求极值最值第24页/共43页2(1)( )369xxfx 解:32( )39(1)( )( )2 23( )2 27( )2 2f xxaf xf xf xf xxx 已知函数求函数的单调减区间（2）求函数在，的极值（ ）若函数在，的最小值是，求在，的最大值( )013xxxf 令 解得或1f x 函数 （）的减区间为（，（3，和）求导求导( )0 xf 得减区间注意表示方法注意表示方法第25页/共43页( ) xf( )0 xf令f x（ ）得x=-1或x=3（舍）X,的变化情况如下

17、表X,-2（-2，-1） -1（-1，2）202+a-5+a22+a( ) xff x（ ）f x（ ）的最小值为-5+a所以-5+a=-7 a =-2 f x（ ）由上表知当x=-1时f x（ ）有极小值-5+a，无极大值的最大值为22+a=20（2.）（3.）由上表知求求 的根的根( )0 xf列表列表求极值求极值求最值求最值第26页/共43页典例精析，深化提高1ln(1) 12xx例1.求函数f(x)=的单调区间解解:函数的定义域是函数的定义域是(-1,+),.)1 ( 211121)(xxxxf 由由 即即 得得x1., 0)1 ( 210)( xxxf由由0)( xf解得解得-1x0

18、 (B)0 (B)11a1 (C)1 (D) 01 (D) 0a1 6或a0( ) 0(xxaxaf令则有或舍）1a001a 第37页/共43页3( )32f xaxx第38页/共43页分析：令f(x) x3-3ax+2，讨论方程的解的个数，也就是看函数f(x)的图象与x轴的交点的个数，由此可得，函数在，处取得极大值 在，处取得极小值- 草图如图a3aa3aaaxy解：设f(x) x3-3ax+2， ) )列表讨论如下：可得由导函数axaax,332f(x) x )xf aa，显然极大值必为正，)a,)aa,),a极小值极大值00故只要看极小值的正负即可。 通过讨论函数f(x)的单调性及极大值与极小值，结合图形可得方程解的个数.第39页/共43页,10, 022) 1 (23时即当极小值aa,1, 022)2(23时即当极小值aa,