一元函数微分学

1、第二章一元函数微分学第一节导数的概念教学目的：掌握导数的概念， 会用导数的定义求函数的导数，会用导数描述一些实际问题的变化率。教学重点、难点：导数概念，会用导数的定义求函数的导数，用导数描述一些实际问题的 变化率。教学形式：多媒体教室里的讲授教学时间：9090 分钟 教学过程一、 引入新课微分学是微积分的重要组成部分 ，它的基本概念是导数与微分。在自然科学的许多领域中，当研究运动的各种形式时，都需要从数量上研究函数相对于 自变量的变化快慢程度，如物体运动的速度、电流、线密度、化学反应速度以及生物繁殖率 等，而当物体沿曲线运动时，还需要考虑速度的方向，即曲线的切线问题。所有这些在数量关系上都归结

2、为函数的变化率。二、 新授课1 1 导数概念实例(1) 、变速直线运动的瞬时速度问题设动点M作变速直线运动，其经过的路程s是时间t的函数，即s=s(t)，求它在时刻t0的瞬时速度。如右图所示，假定在某一瞬时to，动点的M位置是S。二s(to),而经过极短的时间间隔At后,即在瞬时tt,动点的位置到达s二s(t0氏)，于是动点M在时间间隔 氏内所走过的路程是：S=S_So=s(to：t)_s(to),动点M在.t这段时间内的平均速度V为-s S(to匚t) - s(to)V =tAt由于时间间隔t较短，它可以大致说明动点M在to时刻的速度，且时间间隔 取得越小，这段时间内的平均速度愈接近to时刻

3、瞬时速度。若令t趋于零，则极限值lim-s(to：t)s(to)精确地反映了动点在to时刻的瞬时速度。Aslim致十旳-S(to)V(to)=讥丁 啊(2) 、切线问题割线的极限位置如图，如果割线 MNMN 绕点 M M 旋转而趋向极限位置 MTMT, 处的切线。极限位置即设割线 MNMN 的斜率为ssos：切线位置(附：FlashFlash 说明)直线 MTMT 就称为曲线 C C 在点 M MN沿齡c那,工TXo,ZW0切线 MTMT 的斜率为2 2.导数的定义上面讨论的两个实例，虽然是不同的具体问题，但是它们在计算时都归结为如下的 极限：limf（X。：X）- f（X。）X：0. X其中

4、f（x：x） - f（x）=竺是函数的增量与自变量的增量之比，表示函数的平均变化率。二XLX定义：设函数y二f（x）在点X。的某个邻域内有定义，当自变量在X。取得增量X时,相应地函数y取得的增量.：y =f （x0： =x） - f （x0）。右极限l.im。y_ ljm f（x。x）-f（x。）存在，则函数f（x）在点Xo处可导，并称此极限值为函数y二f （X）在点X。的导数，记为：关于导数的说明：1点导数是因变量在点处的变化率，它反映了因变量随自变量的变化而变化的快慢 程度。2如果函数在开区间亠内的每点处都可导，就称函数在开区间亠内可导。3对于任意-都对应着一;；|一个确定的导数值。这个函

5、数叫做原来函数;；|的导函数记作,或一:二。即=血弘+心）念）t = hm弘+m或一 、。注意：1 1）.-o2 2）. .导函数（瞬时变化率）是函数平均变化率的逼近函数。其他形式fg y dxu或評。，厂如红1訂仏+国一曲八 ZAx(1)：AA圆面积的平均变化率为；Ar面积A对半径r的变化率为3 3 由定义求导数步骤：（1 1）求增量算比值Ay_Ax+Ax)-/(x)ATAX。（3 3）求极值根据导数的定义求导具有固定的步骤，可以利用 步骤如下：1 1定义函数Mathematica的Limit语句计算,f x=函数表达式2 2根据定义求导Limit( fxh-fx)/h, h 0 例 1 1

6、 设圆的面积为A，半径为r, ,求面积A关于半径r的变化率。AA小啊7T啊二（r二r）2二r222兀r(Ar)+兀(Ar) =limTPir(2 2): :用Mathematica求解ln1)?=A r_ : = n * r2Limit (A【r; + h - Ar ) / h, h 0Out2= 2 r例 2 2 求函数 /W/W = = c c（C C 为常数） 的导数。解（1 1）:=lim二(2r =r) = 2二r-o解（2 2）用Mathematica求解 I I门:二f x_: = CLi mi t (f x + h-f x ) / h, h - 0Out2=课堂练习例 3 3

7、根据导数的定义求y = xn的导数，其中n为正整数。P45P45 第 5 5 题1122面积关于半径函数关系为圆半径r的增量T，则圆面积的增量为A(r)-二r2；2 2A =(r：r)-廩r；3344t(单位：s)后，物体上升高度为s = 10t-丄gt22(单位：m),求下列各值：因此(1(1)：由二项式定理，得Ay =(X + Ax)n_xn=。卜2心 X +C；Xn/(AX)2+ 川 +C：x)n,卫二 C1xnCn2xnx 川Xy二l.im。一y= nxnJ,即(xn) = nxn, ,(2):利用Mathematica的Limit语句计算y =xn,的导数。ln1 = f x_ :

8、= x-1Limit (f x + h - f x ) / hfh0Out牛n(xn) = nxn.般地，对幕函数y=x：C 为实数),(X) =：X利用这一公式，可以求出幕函数的导数。1例如，当 时，212y 二x2=；x(x 0)的导数为1 4 =_X222五1 -=_ x221_J1(x = 0)的导数为x(X，)二x课堂练习 P45P45 第 6 6 (1 1)、( 3 3)、( 5 5)利用导数的定义还能够比较容易地求出1(loga x);xln a(ax)二 axlna;(sin x) =cosx;三、 本节小结：导数定义，和几个常见的导数公式四、课外作业：P45P45 习题 3

9、3 1 1第 3 3 题(1)1=1=2X题(Inx)ex)1_ Jxx=e ;(cosc) _ -sinx.3 3.将一个物体铅直上抛，经过时间(1 1)物体在1 s到(V：t ) s这段时间内的平均速度;(2)(2)物体在1 S时的瞬时速度；(3)(3)物体在t。到t0厶t这段时间内的平均速度；(4)(4)物体在 t to时的瞬时速度；第 4 4 题4 4设y =10 x2，试按导数定义求y lx=j。第二章一元函数微分学第二节导数的概念教学目的：掌握可导与连续关系，求导举例教学重点、难点：几何意义、可导与连续关系教学形式：课堂讲授教学时间：9090 分钟教学过程一、 回顾上次课内容1 1

10、 各种增量比值（变化率）模型：2.2.导数的定义：3 3 传统方式求函数的导数：4.4.用Mathematica的Limit语句求函数的导数：5.5.些已经求出来的基本函数的导数公式。二、 新授课1.1.左导数与右导数定义 2 2 :由于导数为limf（xo%任），则血f（xorx）_f（x。）和XAx3 -Ax|叫.x）-f（X0）分别称为函数f（X）在点x0处的左导数与右导数，分别记为f_（x0）和 f+（Xo）。2.2.可导与连续的关系定理一 函数在y = f（X）点x0处可导的充分必要条件是f （x）在点x处的左导数与右导数都存在且相等。证明略。1 1、函数；二连续，若；丿丄则称点为函

11、数L.i的角点，函数在角点不可 导。-x, x 01判断函数川汁x, x_0，在点X处是否可导例题图）。解由于y=|0 *x| -|0|=|，所以Ly LX|LXlimlimlim 1. . Xx . X. JD .：XLy LX Xlimlimlim1lx.Xfi- X.X P- ,-，X因为左、右极限不等，故极限lim 必Ax不存在，即函数在点X =0处不可导。从几何直观上看，它的图像在点x=0处没有切线。lim Ay= lim/r(x0)Ax+aDx _n再例如,在二I处不可导，I为一：二的角点。定理二凡可导函数都是连续函数。证设函数；二在的点处可导,注意：该定理的逆定理不成立，即若函数

12、f(X)在点Xo处连续，在点Xo处未必可导，即连耐屯二血込竺也Lop LT. ，称函函数在点连续。续是函数可导的必要条件，但不是充分条件。 连续函数不存在导数举例2 2、设函数在点-连续，但数 在点一有无穷导数。( (不可导) )例如，-；匚_，在】-处不可导。3 3、设函数在连续点的左右导数都不存在 （指摆动不定），则点不可导。例如,xsin一*兀工0 =xQ,x = 0在.处不可导。4 4、若二二，且在点的两个单侧导数符号相反，则称点为函数:的尖点（不可导点）。1 （O+AA）sin- -01n叟二=S1n但在r-1-1处有 匚，匚二，叟当 I I 时，匚在-1-1 和 i i 之间振荡而

13、极限不存在，-二|在；处不可导。证明略。，在1处的连续性和可导性。=0。v/(O)=lim/(x) = O1-4 0处连续。解-是有界函数,3 3 导数的几何意义1 1、几何意义表示曲线“-在点2- L.I I 处的切线的斜率，即 :-;倾角）的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方程。解 由导数的几何意义，得切线斜率为所求切线方程为.1 1 ,即；1- =U法线方程为. ，即；_ M M。三、本节小结：连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件1 1、 导数的实质：增量比的极限；2 2、J J 二.二3 3、 导数的几何意义：切线的斜率；4 4、 函数可导一定连续，但连续不一定可导；5 5、

14、求导数最基本的方法：由定义求导数。不连续，一定不可导*-直接期定义；连续彳看左右导数是否存在且相等亠（二为切线方程为法线方程为y-yQ= -（丁一 鬲）曲例 3 3 求等边双曲线1y-x x 在点 v v处的切线6 6、判断可导性外独立完成的作业：推导一遍基本初等函数的导数公式。第二章一元函数微分学第三节导数的运算教学目的：掌握导数的运算法则和基本公式。教学重点、教学形式：难点： 可导函数四则运算的导数法则。 多媒体演示、讲授法教学时间：9090 分钟教学过程一、引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式基本初等函数与初等函数的关系。二、新授课1 1、可导函数的和、差、积、商

15、的求导法则定理三 设函数u(x),v(x)在点x处可导，贝 U U 函数u二V、UV、U U(V = O)在点x处可导，且有:(x：y = xJ1(lOgaX) xl na(ax) =axlna;(sin x) =cosx;(c) =01 x)n ;xe% ex;xcos -sinx.(1)若f(X)u(x) -1v(x)，则f (X)=：U (X)一：v(x),:. J为常数;(2)若f(X)二u(x) v(x)，则f (x) =u(x) v(x)一u(x) v(x),推广：(uvw ) = u vw uv w uvw ;(3)若f(x)二凹,V(x) 7，则f (X)二u(X) V(X)u

16、(2X)V(X)。v(x)证明(1 1):对于自变量x，取得其改变量Ax，从而函数y=f(x)取得改变量Ly =-.U(XLX)-V(XLX)-.U(X)v(x)=：u(xLX) -: u(x) - v(xLX) - v(x)y 二 u(x：-x) y-u(x)：v(x：= x) - ,-v(x) .：u : :v=-+- = oc + p-XXXXXviu c Avy = lim lim (：-)I Ax 2 z Z=:limu:limx7 U：X 二 J0：X二:u(x)v(x)即:u(x)：v(x) =：u(x)：v(x)同理可证：:u(x) -：v(x)u(x) - 2(x)f(x)

17、= * (呛)丰0)设1.;.八 X)= limu(x + i)窝(工)vv(x+ft) v(x)二lim-z h呎X +冏Y(X) Zl (x)v(x+ 为)=lim-iov(x+沟)卩(片)方r讥开+月)7(片)帆片)一讥方)1卩(开)=htn-:-用v(x+A)v(x)A=hm一也-也一20v(x + A)v(x)_u,(x)v(i)-u(x)v，wv(x)2证=丽 在；处可导。推论(1)(1)匸mKi H空fl伽&(x)+-+ZtZW-XWuM例 1 1 求y =2x4-3x37x -8的导数。解：y =(2x4-3x37x -8)= (2x4) -(3x3) (7x) 一(8

18、)=8x39x27课堂练习一：(1)_ 设曲线y =x2 x-2在点M处的切线斜率为3，则点M的坐标为_例 2 2 求f (x) = x2sin x的导数。解：f(x)=(x2sinx)= (x2)sin x x2(sinx)=2xsin x x2cosx课堂练习二：(2)设函数y =x(x -1)(x -2)(x -3)，则y(0) =_；gt皿竺yCOSX(sin x)fcosx-sinx(cos x/ cos x+sin xcosx=sec葢COSCOSX例 4 4 求厂：几的导数。课堂练习三:sf口広（朋打UM宀(tan = secJz同理可得(cotx)r= -cs?xy*二(sec

19、x)f=(-解 - -(cosy _smxcosxcos i = ?ecitanA同理可得(csci)f= -cscxcotx1 _ X(3 3)设v二一，则；1 +x三、 本节小结：1 1、 可导函数的和、差、积、商的求导法则定理三 设函数u(x),v(x)在点X处可导，贝U函数u _v、uv、U(v = O)在点X处可导，且有:v(1 1 )若f(X)=：u(x)一:v(x)，则f (X)=：u(x)一 ：v(x)，:，:为常数；(2)若f(X)二u(x) v(x)，则f (x)二u(x) v(x) _ u(x) v(x),推广：(uvw ) = u vw uv w uvw ；u(x)u(

20、x) v(x) - u(x) v(x)(3)若f (x),v(x) = 0，则f (x)v(x)v(x)2 2、 基本初等函数的导数(1) (ta nx)=seCx;(2) (sex)= secxta nx;2(3) (cotx) - -csc x;(4) (esc) - -cscxcotx.四、 课外作业：P50P50 第 2 2 题(1 1)、 (2 2)、 (3 3)ln4:= ID Log # 据经过求导法则所得到的基本初等函数的导数：2(1)(ta nx) =secx;(2) (secx) =secxta nx;(3) (cot x) = -csc x;(4) (cscx) = -c

21、scxcotx.二、新授课1 1、利用Mathematica求导数在求函数导数的过程中，会遇到大量的运算，需要特别仔细。但是，求函数导数的步骤 却是有规律的，特别符合计算机运算的要求。利用Mathematica求导数的格式为D 函数表达式，求导变量 例1利用Mathematica求解前面的基本初等函数的导数。ln1:= D * x:Out1=乂一丄 + 工Ctln2：= D ozX Out2=0ln3:= D ZLog m丁x J1Out3= - x Log u u第三章一元函数微分学第四节导数的运算教学目的：掌握导数的基本公式，用MathematicaMathematica 软件求函数的导数

22、，会求反函数的导数。教学重点、教学形式：难点： 会用 MathematicaMathematica 软件求函数的导数，会求反函数的导数。 多媒体演示、讲授法教学时间：9090 分钟(c) =0(lOgaX)二1xlnaX)；x(ax) =axlna;ex)Cex;(sin x)=cosx;xcos -sinx.教学过程二、引入新课复习导数的概念，熟悉已经求过的基本初等函数的导数公式In1:= D, x Out1= Ct Log Ctln2:= Dc:x#xOut2=Log e_|Inf4:= D Sin EOutf4=Uon 乂ln5:= D Cos x , x Out5= S Si i 乂l

23、n6:= D Tan x zx Out6= Seo x2ln7： D So x , x Out7= Seux I1a.n ln3: D Cot x , x Out8= CS C X 2ln9:- D Csc? x zx Out9 Co 1r. Cs cz. 注：Loga=lna.Loga=lna.2 2、反函数的导数定理 如果函数一二在某区间内单调、可导且：；一二，那么它的反函数在对应区间-内也可的导，且有即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。证任取一，给以增量:由：；的单调性可知f f ， 于是有- - ，7 7连续,二 AyAy -0-0(Ax- 0)0)又知0(y)点0 05)=说 T

24、斜爲例 i i 求函数上丄二的导数。L6 (j)解丁二在_内单调、可导，且二在一一内有(arcsinx/ =-.,2-(siny)fcos i/l -siny(arccosx)r=一-同理可得(arctan才=打(arccot x)f=-打f ；一 :.我们也可以更快地用MathematicaMathematica 软件求得此二函数的导数ln1 1:= D AiruTmid n x Owt I 1=1丄+ Wln 12:= D貝工 uUq 匕n,X outn 2=丄+涉例 2 2 求函数-!的导数。解 J J 在11内单调、可导，且(巧川喩叫在啓 o,o,啊内有佥=士(lnx/ = -特别地-

25、我们也可以更快地用MathematicaMathematica 软件求得此二函数的导数ln1 3 := O工_.o曰目，xOut1 3=丄K Log Uln14;=D匸0夕*】*JOJt 14=1三、本节小结：1 1、用 MathematicaMathematica 软件求函数的导数D 函数表达式，求导变量 2 2、反函数求导方法四、课外作业：用传统方式求 arctanxarctanx、及 arccotxarccotx 的导数。第三章一元函数微分学第五节导数的运算教学目的：掌握复合函数的求导法则教学重点、难点：复合函数的概念。熟练复合函数的求导教学形式：多媒体讲授、演示教学时间：9090 分钟

26、教学过程一、引入新课默写公式(C) =0,x) = 4 心，(ax) =axl na，ex) ex，1(logax)|，(sinx)二 cosx,xln a(cosx) = -sinx，(tanx) = sec x，2(cotx) = -csc x,(secx) =secxta nx，(cscx) = -cscxcotx，1(arcsinx)J1 -x2(arccosx),1(arcta nx)2,1 + x21(arccot x)2。1+x二、新授课1 1、复合函数的导数定理 如果函数uh 护（X）在点x处可导，函数y = f（u）在对应点U处可导，则复合函数y = f(x)在点x处可导，且

27、d = f (uT (x)，或记为yxyuUxdx证 由“：:在点：可导，7；” 学=他)+4 (lim0)故丄.1则：二/. lim = 1 im /f) +a = /他J km +limalim 推广 设“-L- :；1,二（：则复合函数一上川-的导数为dy _ dy du dvdx du rfv dx例 1 1 求y =(x2 7)11的导数。211ii2解 函数y =(x 7)可以看作由函数y=u和u=x 7复合而成。 由复合函数求导法则，得y = (U1) U厶1L17) uH x(2 ) x 2x2 (7)我们用 MathematicaMathematica 软件求此函数的导数ln

28、24:= D A11 , xOut24=课堂练习：P50P502 2 .求下列各函数的导数：(A/ , , a,b,门为常数)(2)y=x2(2一x)(4 4)y = (2x-1)2(5 5)s = Asin(，t亠 )例 2 2 求y = In In x的导数。解y=lnlix由y=l nu ,u=l nx复合而成，1 11 11所以y=(ln u) (u) = -一 u x ln x xx l nx用 MathematicaMathematica 软件求此函数的导数ln2Gi= E Log Log, kOutt26 =丄Loc耗对复合函数的复合过程熟悉后，可不必写出中间变量， 直接按照复合

29、的次序,层层求导。例 3 3 求y=(1-2x)10的导数。解y = 1 0(1 x9 )-(1x 2 )= 10(1 -2X)9( -2)=20(1 2x)92例 4 4 求y = lnsin x的导数。1解: y2cosx22xsin x由外到里,22 x=2xcot x2用 MathematicaMathematica 求得上面两函数的导数ln27|:=D Pi/6Out2 - -132课堂练习Mathematica求下列各函数在给定点处的导数值求函数的导数。7 7 利用三、本节小结:(1)(2)初等函数的求导问题y =cosxsin x，求yL二，y|1:=tan cos，2求,匸.4

30、1 1、复合函数的求导法则设 = /)，而=災n或“-4-4dy _dy du则复合函数y=fl的导数为丄LJ.利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决。注意：初等函数的导数仍为初等函数。例 1 1 求函数；，_，讨的导数。二-(x+Jx+y 2点(1 + -f f_ (北 +)2_(i+ i厂(i+斗+&+長4 J” + 2y/x+1y = -1/(sin ?)/)说沪伽屮)0($in屮)心新舟产=广妙(汕屮)(rin i*) J矿in /) (sinx*)四、课外作业：P50P502 2、( 1111)y = In(x . x2a2)(1212)y = , cosx2(1313

31、)y =ln(ln(ln x)7 7、利用Mathematica求下列各函数在给定点处的导数值：(1)y =cosxsin x，求Xhx=-64A(2)=:tan亠 cos，求:I . - 2屮訂第二章一元函数微分学第六节隐函数和参数方程所确定的函数的导数教学目的：会求隐函数的导数和由参数方程确定的函数的导数教学重点、难点：求隐函数的导数教学形式：课堂讲授法教学时间：9090 分钟教学过程一、 引入新课变量y与x之间对应的函数关系有不同的表达方式。例如：y =sinx, y = In x 1，直接给出自变量x和因变量y的对应关系，用这种方式表达的函数称为显函数。2x还有另一种表达方式，如x y

32、 -1 =0,e -xy = 0，其中因变量y不一定能用自变量x直接表达出来。这种函数被称为由方程F(x, y)=0所确定的隐函数。 在实际问题 中，有时需要计算隐函数的导数。二、 新授课1 1 隐函数求导法则若F(x, y)=0中y是x的函数，从方程F(x, y)=0出发求y。(1)将F(x, y)两端对x求导。求导过程中视y为x的函数;(2)求导后得到一个关于x的方程，解此方程则得y的表达式，在此表达式中允许含有y。例 1 1 求由方程y = 1 xey确定的隐函数的导数 。dx解 将y =1 xey两端对x求导数：y=(1+xe)：y=0+(xey), ,y = ey+xeyyeyy=戸

33、例 2 2 求曲线y3 X3=2xy上点(1,1)处的切线方程。解方程两端对x求导数，得2 23y y 3x =2y 2xy2解出y，得y2y/3x(3y2-2x = 0)3y2-2xyy h h 斤)一1 1则所求切线方程为y _1 = ( _1)(x _1)即x y -2 = 02.2.利用Mathematica求隐函数的导数求隐函数的导数是由求导和解方程两个步骤组成，因而，在Mathematica中可使用D和Solve语句，求由方程F(x, y) =0所确定的隐函数的导数。例 3 3 求由方程 x x24y4y2=4所确定的隐函数的导数3。dx解 方程两边求导，得tal|:= Dx呛+4

34、yxF2 = 4vxOutl = 2x + 8yxyfx =0从求导结果中解出隐函数的导数In2：= Solve %fyfx。伽缽一為)或者将两个步骤合并为ln3：= Solve DxA2+4yxA2 =血3上一虚)注意 在阻脸说 ifeife 中 D D工、一.意义是一样的，都表示函数的一阶导数。例 4 4 求方程 yeyeSESE+ + lny=10lny=10 所确定的隐函数的导数。解【Ml；二DfyxE c + Logyk = 10,xMfl=ex讥+e网+尊=oln2：= Solve %,yrx3 3、参数方程所确定的函数的导数函数.与自变量 不是直接由 y=f(x)y=f(x) 表

35、示，而是通过一个变量t t 来表示，即x=1）若二为自然数：，则卅=（才严二讪，严 J 耐二o.注意：求 n n 阶导数时，求出 1-31-3 或 4 4 阶后，不要急于合并，分析结果的规律性，写出n n 阶导数。（数学归纳法证明）例 3 3 设-：-，求。解./ = cos(x+) = sm(x+H) =sin(x+2 -例 5 5 设一（a a, b b 为常数），求八。解丁;.1: : 1.厂: :I=严+ 护sin(iz+) arc tan一)（1+z）例 4 4 设，求：。”_ y= 一-y二- -y =-同理可得-/ = J/+护 S 严+ +B产C30X +物=加+护严J/+沪帅

36、（加+2卩）.产=（八屛宀n伽+咧（歼曲町）（2.2.）高阶导数的运算法则：设函数；和：具有“阶导数，则1）- :- . ： - 2） ?：1例 3 3 求y的六阶导数。1 +2x解In 3 : = x , , 6例 4 4 求-.的三阶导数。JF解:一二.Out4f三、本节小结:1 1、 高阶导数的定义；2 2、 高阶导数的运算法则3 3、 n n 阶导数的求法；4 4、 利用Mathematica求高阶导数四、课外作业：P56P564 4 求下列函数的n阶导数:(1)y=xex;(2)y = sin2x;1(3)f(x)=ln ,求f(n)(0);1 -x(4)Out3二46080(1 2x)7第二章一元函数微分学第八节函数的微分教学