双曲线性质选填题难题2

1、(2015秋东莞市朗末)已知双曲线E:二；当=1>0丿b>0)的中心为原点O,左、右焦点分别为FU乃，离心率为參 且过点M(5, ?),又P点是直线x=仝上任意一点，点Q在双曲线E上，且満足445(1) 求双曲线的方程丿(2证明；直线PQ与直线OQ的斜率之积是定值,(3)若点P的纨坐标为1,过点P作动直线1与双曲线右支交于不同的两点'I、N,在线段上取异于点 M、N的点氐满足髡=器，证明点H恒在一条定直线上.1 解；液曲线E；三三=1（a>0），c2=a2+b2 a2由于离心率为亠 即尸4 a 4刊占F+於25即有丁 wM C5> £）代入双曲线的方程

2、可得手辱=1，4丁 16以解得 2=4 » b=3 > c=5 v2 J即有諏曲线的方程为16 9（2）证明,由于点P是直线龙=/=竺上任意一点,5、可设P (1£, t>52 2再由Q为双曲线DL1 点，可设Q (xo 16 9则二-匕1=1，即yo2- Cxo2-16).16 916贝'pFvQF2.=-t) * ( 5-xq » -yo)=0 »9.9即有9-xo*tyosO、即有tyo=9亍co yo yQ 一OP则kpQkcn=16 *JOr o器血2_16)-鞅0-5) 9=f皿-竺X016则直线PQ与直线OQ的斜至之狽是

3、走値2；10(3) 证朋：设点H (x, y)，且过点P(¥，1)的直线1与液曲线E的右支交于不同两点、(小9 yi) , N(K2, y2) 则9xi2-1 6yi2-144 9x22-16y22"144 x22-16>，©即y/=2 (xi2-16) , y22=710 10PN HN XIH=kFfNOn-孑，yi-i)=x(r2-y. y2-i)(x-ri,'一1)=入(X2一X，yi-y) ri-/JC2 = y(l-X)ffi整理，箒yi->j2=i-xi+>Jt2=r(l-X)Vl+Aj2=y(i)®f x 12-

4、厲2 = 1.(1 -z2)x 由x，X©得<2>,Ll2-)-2J22 = (1 -a2)J'将如.昙 <xi2-16) » V22-(X22-16)，代入，10 101 . 77得、皋*匸也：.91。 1-12 将代入01 fWy-x.9.5所以点H恒在定直线9x5y45=0上.【点评】本题考查双曲线的方程和性质，者查平面向ft的数里积的坐标公式，考查直线的斜卒公式的运用，考 直化简整湮的运算能力，属于难题.(2016-武汉模拟)已知双曲线r：告耳=1 (a>0, b>0)经过点P (2, 1),且其中一焦点F到一条渐 a1 b&q

5、uot;近线的距离为1.(I) 求双曲线的方程；(II) 过点P作两条相互垂直的直线PA, PB分别交双曲线F于A、E两点，求点P到直线AB距离的最大值.【解苔】解：（i）将p的坐标代入双曲线的方程，可律4A=i（T /由焦虫F （c，0）到条新逬线丫=龙的柜离为1，abe餡得沪返，即有双曲线F的方程为匚-y2=L；2<11 >当直线PA的斜率存在时，设肓线PA的方程为v-l=k（x-2）， y=kx+l-2k由Q可 I® d= |- =b= 1 9vAjc+I-2/tn nf'肖去y> 得 Cl2k2) x<4k ( l-2k) x-2 (4k-4k

6、2) =0， 1子-2厂=2设A <m. G，可律m=2(4p;%+2),解叫疋尹冲-叱松-1 , 2r-i2r-i2*-1A £A的坐标为(4牛-2, -2亡处-1),2-1 2*-12 识+444 -P-412 同連算出B的坐标为( X，2 -P27因此，lAB的方程为 3-Hw-2_-2F4A1 2L4H4_4L-4 廿 22-P2宀12-*：2?-1化简得(込誓1空竺)(、.-吟1)，-Q-442 -24441 、（2只十4力+4、2-Q 2丄1" 2*Bn8t4+4p+4jt-8 z 2卩-4片+1 . -4尸-4户-4上-4 z 4,-442、即;彳<

7、; V-; > =； < *-）（2 - 匕）（2只-1）2护-1（2-严）（2 护-1）2”-1即（2/+1?十匕2）（厂土二1匕1） = C-k+-k3-k-l）（肿71）2-1 2-1取上=1，化筒得育线AB方程为v=-x+3 5取k=2，化简得直线AB方程为丫=冬-丄直线y*3与直线y芬*交于点F （63）猜想所有的直线九B经迥点P （ 63八 o 4.将P（6,-3）代入宜线方程，潯左右两边相等，.直线AB恒经过走苣P（6, -3）.当直线PA的斜军不存在时，可得A （2,），B （-2,1），此时直线AB的方程为、寺“潯肓线经过上谜的P点.综上所述，可得直銭AB恒经过定点，其坐标为（6,3）.当PM丄AB时，P到直线AB的距离最大，且対（2-6*十（1十3）2=