反冲运动与人船模型的应用

1、过程中，人的位移S2与船的位移B之比,也等于它们的质量的反比，即旦=竺反冲运动与人船模型的应用一. 模型的建立如图1所示，长为L.质量为耐的小船停在静水中，一个质量为叫的人立在船头，若 不计水的粘滞阻力，当人从船头走到船尾的过程中，船和人对地面的位移各是多少选人和船组成的系统为研究对象，由于人从船头走到船尾的过程中，系统在水平方向 不受外力作用，所以水平方向动量守恒。人起步前系统的总动量为零。当人起步加速前进 时，船同时向后加速运动；当人匀速前进时，船同时向后匀速运 动；当人停下来时，船也停下来。设某一时刻人对地的速度为 船对地的速度为V选人前进的方向为正方向，根据动量守恒定律有加片=0 即-

2、 = - oV,耳因为在人从船头走到船尾的整个过程中，每一时刻系统都满足动量守恒定律，所以每一时刻人的速度与船的速度之比，都与图1它们的质量成反比。从而可以得出判斷：在人从船头走到船尾的由图可以看出， s+s2=L由.两式联立解得峙=竺一 L ,比=仝一 Lm + m2 -“ + 叫（一）、人船模型说明：人在静止的船上行走时（不计水的阻力）则有以下结论：（1）由于在运动方向上人船组成的系统动量为零，故人走船行，人停船止；（2）.船长L不是人行走的位移，而是人相对于船的位移；（3）.当人从船的一端走到另一端时，人和船行走的位移与本身的质量成反比。这种人和船具有相对运动而衍生出来的关于动量守恒定律

3、应用的模型称为人船模型。（二）、人船模型特点（1）系统由两部分组成（若为多部分也可以转化为两部分）；（2）.系统总动量守恒且总动童为零；（3）.组成系统的两部分有相对运动；（4）.要求与位移相关的物理量。（三）、人船模型解法（1）画出运动过程中初末位置对比示意图，通过分析找出与位移相关的关系式；（2）列出运动过程中某时刻系统动量守恒的方程，如fniVi=m2V2,再利用微积分的思想将 其转换为与位移相关的方程，如rnX=m2X2；（3）.联合两个与位移相关的方程即可求解。二. 模型的拓展上面.两式是人船模型的两个重要关系式。对于人船模型，可以拓展为：一个原 来处于静止状态的系统，在系统内两个物

4、体发生相对运动的过程中，有一个方向动量守恒 （如水平方向或竖直方向）的情况。拓展后的“人船模型”适用条件是：（1k两个物体组成的系统初态静止；（2）、系统动 量守恒或在某一方向上动量守恒。那么这两个物体在动量守恒方向上的位移一定同时满足 .两式使用、两式应特别注意：（1k B和创是两物体在动量守恒方向上相对同一参照物 的位移；（2）.式中的L为两物体在动童守恒方向上的相对位移。三. 模型的应用例仁如图2所示，光滑水平面上有一小车，小车上固定一杆, 总质量为M;杆顶系一长为L的轻绳，绳另一端系一质量为m的小 球；绳被水平拉直处于静止状态（小球处于最左端）。将小球由静 止释放，小球从最左端摆下并继

5、续摆至最右端的过程中，小车运动 的距离是多少解析：本题球和车组成的系统符合“人船模型”的适用条件， 因此可用、两式求解。但要注意球和车的相对位移为2L.设某一时刻小球速度的水平分量为v （方向向右人小车的連度为V （方向水平向左人选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有MV-= 0,即- = V ms M则小球的水平位移与小车的位移满足工=,又 几+片,=2L% 加c以上两式联立解得 =LM + m例厶质量为m、半径为R的小球，放在质量为臥半径为2R 的圆柱形桶内，圆桶开始静止在光滑水平面上。在小球从如图3所示位置无初速度地沿圆桶内壁滚到最低点的过程中，圓桶移动的距图3R离为一,试求M是m的几倍

6、解析：本题看似与“人船模型”差异很大，但仔细分析，二者本质相同：系统初态挣 止且在水平方向上动量守恒.因此小球和圆桶组成的系统符合“人船模型”的适用条件， 只不过式中的相对位移L应为小球和圆桶在水平方向上的相对位移R,而不是屈。设某一时刻小球速度的水平分量为v （方向向右人圆桶的速度为V （方向水平向左人v M选水平向左为正方向，根据动量守恒定律有：MW少=0,即一=一V ms M則小球的水平位移与圆桶的位移满足亠= ，又 5/w+5w =R % 加以上两式联立解得M=2m,即圆桶的质童M是小球质量m的2倍例3.载人气球原来静止于高h的高空，气球质量为鵜 人的 质量为m,若人沿绳梯滑至地面，则

7、绳梯至少为多长解析：设某一时刻人的速度为w,气球的速度为也，选竖直 向下为正方向.根据动量守恒定律有坷-M2=0 m即 4 =v2 MS M则人的位移&与气球的位移Si满足一= 一52 m而人的位移SFh,代入上式解得S=h M由图4知，绳梯的最短长度为/ =耳+=邑巳 M总之，分析和解答物理问题的过程，就是构建物理模型的过程。也即把物理问题与某 些已有模型进行类比的过程。通过表象.特征、功能等方面的相似性，使物理问題与已有 模型得到沟通，从而迅速确立解题的方向。但在这些过程中.要十分注意模型的本质特征、 约束条件，以便有效.准确地应用模型解题，避免出现差错。【配套练习】仁 如图5所示

8、，质量为乩 半径为R的光滑半圆弧槽静止在光滑水 平面上。有一质童为m的小滑块在与圆心0等高处无初速度滑下，在小滑 块滑到圆弧槽最低点的过程中，圆弧槽产生的位移的大小为2、如图6所示，一个质量为m的玩具蛙蹲在质量为M的小车的细杆上，小车放在光滑图6的水平桌面上。若车长为I,细杆高为h,且位于小车的中点，试求：当 玩具蛭最小以多大的水平速度v跳出时，才能落到桌面上mbM十加_ a)C. M3. 质量为M的斜面体B置于光滑的水平地面上，斜面体底边长为b,在其斜 面上放有一质量为m的与斜面体相似的物块，其上边长为a,且与水平面平行. 系统处于静止状态，如下图所示.在物块A从B的顶端下滑到接触地面的过程

9、中， 斜面体B后退的距离为( )MbM十加a)M十巩4、如图4所示，一带固定支架的小车靜止在光滑的水平地面上，小车及支架的总质 董为M,支架顶端用一不可伸长的轻绳系一质量为m的小球，轻绳长度为L。现将小球拉至 细线处于水平伸直状态，然后由静止释放。求：(1) 、从释放到摆到最低点的过程中小车的位移大小；(2) 、小球摆到最低点时小球和小车的速度大小。5、某人在一只静止的小船上练习射击，船、人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量为 枪内有n颗子弹，每颗子弹的质量为m,枪口到靶的距离为L,子弹水平射出枪口相对于 地的速度为v。，在发射后一发子弹时，前一发子弹已射入牠中，在射完n穎子弹时，小船 后退的距

10、离为（）亠 cmnl小 nml 小mnlA 0:8:C:DM +（” 一 屮“MM +（ + 1”“6. 某人在一只静止的小船上练习射击.已知船.人连同枪（不包括子弹）及靶的总质量 为利 枪内装有n颗子弹，每颗子弹的质量为rn,枪口到靶的距离为L,子弹飞出枪口时相对 于地面的速度为V.若在发射后一颗子弹时，前一颗子弹已陷入固定在船上的靶中，不计水 对船的阻力问（1R射出第一穎子弹时，船的速度多大（2）、发射第n颗子弹时，船的速度多大（3）.发射完颗n子弹后，船一共能向后移动多少距离（4）、若子弹足够多，能在练习打靶的过程中过河吗7、如图所示，人和冰车的总质量为另有一个质量为m的坚固木箱，开始时

11、 人坐在冰车上静止不动，某一时刻人将原来静止在冰面的木箱以相对冰面的連度V。 推向前方的弹性挡板，同时冰车反向滑动.木箱与挡板碰撞后又反向弹回，设碰撞挡 板过程中无机械能损失，人接到木箱后再以同样相对冰面的速度V。将木箱推向挡 板如此反复多次，试分析人推木箱多少次后将不可能再接到木箱.（已知M： m=31 : 2,不计摩擦），答签1mR -2 m n3、C ；M + m'2(M+m)V2h .4、解析：此题与例2非常类似，仍然属于系统在某一方向上动量守恒的题目，只是物 体的运动情形发生了改变，而且是一道具有代表性的题目。、小球在摆到最低点的过程中，初末位置对比示意图如图所示，设小球在水

12、平方向 的分位移大小为X*,小车的位移大小为X*,则有X*+X*=L经分析系统在水平方向上动量守恒而且为零，设在小球下摆过程中，某时刻小球在水 平方向的分速度大小为V*,小车的速度大小为V*,则有mV4=MV<利用微积分思想可得mX*=MX* ,解得X车=一Lm+M(2)、小球摆到聂低点时的速度刚好是水平的，设在最低点时，小球的速度大小为 小车的速度大小为V2,则有m/=MV2而下滑过程中系统机械能也守恒，故有mgL=lmV.2+lMV?2 1 2解得丫严型容V产J 2远Y m+M- v M +Mm5. 解析:设n颗子弹发射的总时间为t,取n颗子弹为整体，由动量守恒得nmvo=Hvi,即

13、nmvot=Mvit;设子弹相对于地面移动的距离为“小船后退的距离为S2,则有：SFVot, S2= Vit ；且 S, + Sj=L解得答案C M+肋6、(1)射岀第一颗子弹时，设船的速度为血 由动量守恒定律得:0 = (J/+力 一 m) 一,*M + (w - l)w(2)每射岀一颗子弹的过程，系统的动量均守叵，而每一颗子弹进入靶中后，船的速 度将为零，故每一颗子弹射岀时，船后退的速度是相同的.M +(H 1)FK(3)每发射一颗子弹的过程实际上经历了三个阶段：第一阶段是击发到子弹射 岀枪瞠为止；笫二个阶段是子弹在空中飞行的阶段；第三个阶段是子弾从击中靶子 到静止为止.三个阶段都遵从动量

14、守恒定律，笫一、第三阶段历对很短，故这两个 阶段船的移动可忽略.因此每发射一颗子弹的过程，只左第二阶段船向后移动.每 发射芫一颗子弹后船冋移型的距离(1) >(2).射出第一颗子弹与射出第n颗子弹时船的速度是一样大的，則动量守恒定律得mv= (n-1) m+MjV, Vattiv/ (n-1) +M(3).这是一个人船模型，设射完n颗子弹后船向后移动的距离为x则 Mx=nm(L-x) x=nmL/ (nm+M)7>人和冰车的总质量为鵜 车上有一木球质量为m,且M: m=31: 2.人坐在 静止于水平冰面的冰车上，以速度V (相对地面)将原来静止的木球沿冰面推向正 前方向的固定挡板。

15、不计一切摩擦阻力，设小球与挡板的碰撞是弹性的，人接住球 后，再以同样的速度V (相对地面)将球推向挡板，求人推多少次后不再能接到球解：设第1次推球后人的速度为匕，有。二於第1次接球后人的速度 为有加1+和二(M+呢)叫；第2次推球(M +阀)X二矽2 和，第2次接球 加2+处二("+型)叫；第n次推球(必+型)必1二於厂枷，由以上各式可 (2n-V)mvv.二 、得M ,当冬二卩时人便接不到球，可得n>,取n=98s如图3所示，一质董为M底边长为厶的斜面体静止在水平地面上，另一质量为m的 小斜面体固定在斜面顶端，其上表面刚好水平且长度为/,现使其由静止开始下滑，不计一 切摩擦。求：从开始下滑到小料面体下端刚好接触地面的过程中斜面体M的位移大小。8、解析：这类题目的物理悄景我们经常遇到，属于系统在某一方