八种经典线性规划例题最全总结(经典)

1、线性规划常见题型及解法由已知条件写出约束条件，并作出可行域，进而通过平移直线在可行域内求线性目标函数的最优解是最常见的题型，除此之外，还有以下六类常见题型。一、求线性目标函数的取值范围x2例 1、若 x 、 y 满 足 约 束 条 件y2， 则 z=x+2y的 取 值 范 围 是（）xy2A、 2,6B、 2 ,5C、 3,6D、（ 3,5解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l ： x+2y 0， 将l 向右上方平移，过点 A（2,0 ）时，有最小值2，过点B（2,2 ）时，有最大值 6，故选 AyBy =22AO2xx + y =2x=2二、求可行域的面积2 xy 60例

2、 2 、不 等 式 组 xy 3 0 表 示 的 平 面 区 域 的 面 积 为（）y2yA、 4B、 1C、 5D、无穷大xy 3 = 0解：如图，作出可行域，ABC的面积即为所求，由梯形 OMBCMBy =2的面积减去梯形 OMAC的面积即可，选 BAOCx2x + y 6= 0三、求可行域中整点个数= 5例 3 、 满 足 |x| |y| 2的 点 （ x ， y ） 中 整 点 （ 横 纵 坐 标 都 是 整 数 ） 有 （）A、9 个B、10 个C、13 个D、14 个xy2( x0, y0)解 ： |x| |y| 2等价于xy2( x0, y0)yxy2( x0, y0)xy2(

3、x0, y0)作出可行域如右图，是正方形内部（包括边界），容易得到整点个数为 13 个，选 DOx四、求线性目标函数中参数的取值范围xy5x y + 5 = 0例 4 、已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件 xyy5 0 ，使 z=x+ay( a>0)x3x + y = 5取 得 最 小 值 的 最 优 解 有 无 数 个 ， 则 a 的 值 为（）A、3B、3C、1D、1Ox=3x解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 线 l ： x+ay 0 ， 要 使 目 标 函 数 z=x+ay(a>0)取 得 最 小 值 的 最 优 解有 无 数 个 ， 则 将

4、 l向 右 上 方 平 移 后 与 直 线x+y 5 重 合 ， 故 a=1 ， 选 D五、求非线性目标函数的最值2 xy20例 5 、 已 知 x 、 y 满 足 以 下 约 束 条 件x2 y403xy30， 则 z=x 2 +y 2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 别 是 （）A、13，1B、 13， 2yC、13， 4D、 13，2 5A55解 ： 如 图 ， 作 出 可 行 域 ,x 2 +y 2 是 点 （ x ，平方，故最大值为点 A（2,3）到原点 |AO| 2 =13 ，最 小 值 为 原 点 到 直 线 2x y y ） 到 原 点 的 距 离 的的距离的平方，即 2=

5、0 的距离的平方，Oxx 2y + 4 = 02x + y - 2= 03x y 3 = 0= 5即为4，选 C5六、求约束条件中参数的取值范围例 6 、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 区 域 包 含 点（ 0,0）和（ 1,1），则 m 的 取 值 范 围 是（）A、（ -3,6 ）B、（ 0,6 ）C、（ 0,3 ）D、（ -3,3 ）y2x y + 3 = 02x y = 02xym30解 ： |2x y m| 3 等 价 于2xym30Om33由 右 图 可 知, 故0 m 3 ， 选 Cm30七、比值问题当目标函数形如zya 时 , 可把 z 看作是动点 P(x,

6、y) 与定点 Q(b, a) 连线的斜率，这样目标函数的最值就转xb化为 PQ连线斜率的最值。x y 2 0，y例已知变量 x， y 满足约束条件x 1，则 x 的取值范围是（） .x y 7 0，99（A） 5，6（ B）（， 5 6 ，）（ C）（， 3 6 ，）（ D）3 ，6解析y是可行域内的点（， ）与原点OxM xy59y（ 0， 0）连线的斜率，当直线OM过点（ 2， 2）时， x取得9y最小值 5；当直线 OM过点（ 1， 6）时， x取得最大值6. 答案A八、线性规划应用例 1、某工厂利用两种燃料生产三种不同的产品A 、 B 、 C ，每消耗一吨燃料与产品A 、 B 、 C

7、有下列关系：现知每吨燃料甲与燃料乙的价格之比为2 : 3 ，现需要三种产品 A 、 B 、 C 各 50 吨、 63 吨、 65 吨问如何使用两种燃料，才能使该厂成本最低？分析：由于该厂成本与两种燃料使用量有关，而产品A 、 B 、 C 又与这两种燃料有关，且这三种产品的产量也有限制，因此这是一道求线性目标函数在线性约束条件下的最小值问题，这类简单的线性规划问题一般都可以利用二元一次不等式求在可行域上的最优解解：设该厂使用燃料甲x 吨，燃料乙y 吨，甲每吨 2t元，则成本为 z2tx 3tyt (2x3 y) 因此只须求 2 x3y 的最小值即可10 x5y50,7 x9 y63,又由题意可得

8、x 、 y 满足条件5x13 y65.作出不等式组所表示的平面区域（如图）10x5 y50,A(27 , 56)由 7x9y63.得11117x9y63,B(11770)由 5x13y65.23,得23作直线 l：2x3y0 ，把直线 l 向右上方平移至可行域中的点B 时，z2x3y2 117370444232323 444 t最小成本为2311770答：应用燃料甲23 吨，燃料乙23 吨，才能使成本最低说明：本题中燃料的使用不需要是整数吨，若有些实际应用问题中的解是整数解，又该如何来考虑呢？例 2、 咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 克、咖啡4 克、糖3 克，乙种饮料每杯含奶粉4 克

9、、咖啡5 克、糖10 克已知每天原料的使用限额为奶粉3600 克、咖啡2000 克、糖 3000 克如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？分析：这是一道线性规划的应用题，求解的困难在于从实际问题中抽象出不等式组只要能正确地抽象出不等式组，即可得到正确的答案解：设每天配制甲各饮料x 杯、乙种饮料 y 杯可获得最大利润，利润总额为z 元由条件知： z0.7x 1.2 y 变量 x 、 y 满足9x4 y3600,4x 5y2000,3x10 y3000,x0, y0.作出不等式组所表示的可行域（如图

10、）作直线 l：0.7x 1.2 y0 ，把直线 l 向右上方平移至经过A 点的位置时， z0.7x 1.2 y取最大值3x10y30000,由方程组：4x 5 y 2000 0.得 A 点坐标 A( 200 , 240) 答：应每天配制甲种饮料200 杯，乙种饮料240 杯方可获利最大高考真题练习x3y30,1.（2010年浙江理）若实数 x，y满足不等式组2xy30,且x y的最大值为，则实数 m79xmy10,（A） 2（B） 1（C）1（D）2解析： 将最大值转化为 y 轴上的截距，将 m等价为斜率的倒数，数形结合可知答案选C，本题主要考察了用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想

11、和数形结合的思想，属中档题xy12.(2009年陕西理11) 若 x，y 满足约束条件xy1 ，目标函数 zax 2 y 仅在点（ 1，0）处取得最小值，则 a2xy2的取值范围是w.w.w.k.s.5.u.c.o.mw.w.w.k.s. 5.u.c.o.m(A)（1， 2）(B)（4，2 ）(C)(4,0(D)(2,4)答案： B 解析： 根据图像判断，目标函数需要和xy1， 2xy 2平行，由图像知函数a 的取值范围是（4，2 ）3xy603.(2009年山东理12) 设 x， y 满足约束条件xy20，yx-y+2=x0, y0若目标函数 z=ax+by （ a>0， b>0

12、）的值是最大值为12，2z=ax+b则 23的最小值为 ().abA. 25B.8C.63-2 O2x11D. 43x-y-6=03【解析】 : 不等式表示的平面区域如图所示阴影部分, 当直线 ax+by= z （ a>0，b>0）过直线 x-y+2=0 与直线 3x-y-6=0的交点（ 4,6 ）时 ,目标函数 z=ax+by （ a>0，b>0）取得最大 12,即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6,而 23=( 23 ) 2a3b 13( ba )13225,故选 A.abab66ab66【命题立意】 : 本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值

13、问题. 要求能准确地画出不等式表示的平面区域 , 并且能够求得目标函数的最值, 对于形如已知 2a+3b=6, 求 23的最小值常用乘积进而用基本不等式解答ab4. （ 2009 年安徽理7）若不等式组x0所表示的平面区域被直线ykx4分为面积相等的两部分，则 kx3 y433 xy4的值是（ A）7（ B）3（ C）4（D）3高考资源网3734 解析 ：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分ABCy由 x3y4得 A（ 1， 1），又 B（0， 4）， C（ 0， 44）y=kx+33xy43D S ABC= 1 (44 )14，设 y kx 与 3xy4 的CA233Ox交点为 D，则由 S

14、 BCD1S ABC2知 xD1， yD52322 5k1 4 , k7选A。2233x2 y，19 0M5.(2008年山东理12) 设二元一次不等式组 ，所表示的平面区域为，xy 802xy14 0使函数 yax ( a0， a1) 的图象过区域 M 的 a 的取值范围是（）A 1，3B 2，10C 2，9 D 10，9解： C, 区域 M 是三条直线相交构成的三角形（如图）显 然a1，只需研究过(1,、9(3,8)两种情形，a19 且 a38 即 2 a 9.2xy206.(2010年安徽理13) 设 x, y 满 足约 束 条件8xy40，若目标函数x0 ,y0z abxya 0,b

15、0 的最大值为8，则 ab 的最小值为 _。【答案】 4【解析】 不等式表示的区域是一个四边形，4 个顶点是(0,0),(0, 2),( 1 ,0),(1, 4) ，易见目标函数在(1,4)取最大值8，2所以 8ab4ab4 ，所以，在 ab2 时是等号成立。所以 ab 的最小值为4.【规律总结】线性规划问题首先作出可行域，若为封闭区域（即几条直线围成的区域）则区域端点的值是目标函数取得最大或最小值，求出直线交点坐标代入得ab4 ，要想求 ab 的最小值，显然要利用基本不等式.7.( 2010年陕西理14) 铁矿石 A 和 B 的含铁率 a , 冶炼每万吨铁矿石的CO2 的排放量 b 及每万吨铁矿石的价格c 如下表：ab ( 万吨 )c （百万元）A50%13B70%056某冶炼厂至少要生产1.9( 万吨)铁,若要求CO2的排放量不超过2(万吨), 则购买铁矿石的最少费用为_ ( 百万元 ).【解析】 设铁矿石 A 购买了 x 万吨