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文档简介

1、你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？ 设通过两点(a,A),(b,B) 的曲线用y=y(x)表示，将此曲线绕x轴旋转得一旋转曲面. 问如何选取曲线y=y(x)方能使旋转面的面积为最小？解：解决这个问题需要用到变分法解：解决这个问题需要用到变分法. 一般说，一般说，变分法就是求下述形式的定积分设变分法就是求下述形式的定积分设y=y(x)）( , ,)(1)baIF x y y dx的极值问题，式(1)这种函数叫做泛函. 象函数的微分理论中的极值问题一样，泛函理论中也有极值问题. 变分法研究的对象就是求泛函的极值.你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？在一定的条件下，可以证明：使(1)式取得极值时的

2、函数y=y(x)必须满足证明从略）：()0(2)FdFydxy方程(2)称为变分法中的Euler方程.当(1)式中的F不显含x时，即F=F(y,y),这时(2)式两端同乘以-y，则得()0dFFyydxyy即()()0(2 )dydFF dydx dxyy dx你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？由于F=F(y,y)，根据二元复合函数求导法则，有dFF dyF dydxy dxy dx所以F dydFF dyy dxdxy dx将上式代入(2)，得()()0(2 )dydFdFF dydx dxydxy dx你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？由于()()dFdFdFyFydxydxydx()

3、ddyFdFdx dxydx22()dy dFF d ydFdx dxyy dxdx()dy dFdFF dydx dxydxy dx你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？所以(2)式左端等于(),dFyFdxy于是(2)式就化为()0,dFyFdxy即()0dFFydxy将上式两边对x积分，得()(3)FyFCCy为常数(3)式就是当(1)式中的F不显含x，即F=F(y,y)时，使I 取得极值，y=y(x)应该满足Euler方程.现在来解决开始提出的问题.你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？由熟知的旋转面的面积公式221 ()baIyydx来求使I 最小的曲线y=y(x).这时(1)式中的函数F为21()Fyy由于函数F 不显含x，所以y=y(x)应满足Euler方程(3),注意到2,1 ()Fyyyy所以(3)式化为221 ().1 ()yyyyyCy所以211 ()yCy你会求使旋转体的表面积最小的曲线吗？即2211yyC 上方程为变量可分离

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