初升高数学衔接知识专题讲义3(师用)

1、一、数与式的运算必会的乘法公式【公式1】 (abc) 2a2b 2c22ab2bc 2ca证明 ：( a bc) 2( ab)c 2(ab)22(ab)cc 2a 22abb 22ac2bcc2a 2b2c 22ab2bc2ca等式成立【例 1】计算： (x 22x1) 213解：原式 = x2(2x) 23( x 2 ) 2(2x) 2(1)22x2 (2 )x 2x2 121(2 x)333x 42 2x 38 x 22 2 x1339说明 ：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排列【公式】 (ab)( a 2abb 2 )a3b 3(立方和公式)2证明 :( a b)( a2ab

2、b2 )a3a 2bab2a 2bab 2b3a3b3说明 :请同学用文字语言表述公式2.【例 2】计算：（2a+b）（ 4a2-2ab+b2） =8 a3+b3【公式3】 (ab)( a2abb 2 )a3b3(立方差公式 )1计算（ 1）（3x+2y）（ 9x2-6xy+4y 2） =（ 2）（2x-3）（ 4x2+6xy+9） =（ 3） 1 m1 ( 1 m21 m1) =23469（ 4）（a+b）（a2-ab+b2）（ a-b）（a2+ab+b2）=2利用立方和、立方差公式进行因式分解（ 1） 27m3-n3=（ 2） 27m3- 1 n3=8（ 3） x3-125=（ 4） m6

3、-n6=【公式 4】 (ab) 3a3b33a2b3ab 2【公式5】 (ab)3a33a2b 3ab2b3【例 3】计算：（1） (4)(164mm2 )（ 2）(1m1n)(1m21mn12)m52104n25（3） (a2)(a2)(a44 216)（ 4）(x22xy y2)( x22)2axy y解：（ 1）原式 =43m364m3（2）原式 = (1 m) 3( 1 n)31m31 n3521258（3）原式 = (a 24)(a 44a 242 )( a2 ) 343a 664（4）原式 = (xy) 2 ( x2xyy 2 ) 2( xy)( x2xyy 2 ) 2(x3y3

4、) 2x62x3 y 3y6说明 ：（ 1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否满足乘法公式的结构（ 2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、 20 的平方数和 1、2、3、4、 10 的立方数，是非常有好处的【例 4】已知 x23x10 ，求 x31x3 的值1解： x23x 1 0x 0x3x原式 =( x1211( x11 ) 23 3(323) 18x)( xx2 )x )( xx说明 ：本题若先从方程x23 x 10 中解出 x 的值后，再代入代数式求值，则计算较烦琐本题是根据条件式与求值式的联系，用整体代换的方法计算，简化了计算请注意整体代换法本题的解法，

5、体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智之举【例 5】已知 abc 0 ，求a( 11)b( 11 )c( 11) 的值bccaab解： a b c 0, a bc, b ca, c ab原式 = a b cb a cc a bbcacaba( a) b( b) c( c)a3b3c3bcacababca3b3(ab)( ab) 23abc(c 23ab)c33abca 3b3c33abc，把代入得原式=3abc3abc说明 ：注意字母的整体代换技巧的应用【例 6】设 x23, y23，求 x3y3 的值232323(23) 24 3, y74 3x y14, xy 1解： x3

6、22372原式 = ( xy)( x2xyy2 )( xy)( xy) 23xy14(1423) 2702说明 ：有关代数式的求值问题： (1) 先化简后求值； (2) 当直接代入运算较复杂时，可根据结论的结构特点，倒推几步，再代入条件，有时整体代入可简化计算量二、因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法( 平方差公式和完全平方公式 )外，还有公式法(立方和、立方差公式)、十字相乘法和分组分解法等等（一）、公式法【例 1】用立方和或立

7、方差公式分解下列各多项式：(1)8x3(2)0.12527b3分析：(1)中， 823 ， (2)中 0.1250.53 , 27b3(3b)3 解： (1)8x323x3(2x)(42 xx2 )(2)0.12527b30.53(3b)3(0.53b)0.5 20.5 3b (3b) 2 (0.53b)(0.251.5b9b2)说明：(1)在运 用立 方和(差)公式分解 因式时，经常要逆用幂的运算法则，如8a3b3(2 ab)3 ，这里逆用了法则(ab)nanbn ； (2)在运用立方和(差 )公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号【例2】分解因式：(1)3a3 b81b4(2)a7ab

8、6分析： (1)中应先提取公因式再进一步分解；(2) 中提取公因式后， 括号内出现a6b6，可看着是 (a3 )2(b3 )2 或 ( a2 )3(b2 )3 解： (1)3a3b 81b43b(a327b3 )3b( a3b)(a23ab 9b2 ) (2)a7ab6a(a6b6 )a(a3b3 )(a3b3 )a(ab)(a2abb2 )( a b)(a2abb2 )a(ab)(ab)(a2ab b2 )(a 2abb2 )（二 )、分组分解法从前面可以看出， 能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式， 如 mambna nb 既没有公式可用， 也没有公因

9、式可以提取因此，可以先将多项式分组处理 这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组1分组后能提取公因式【例 3】把 2ax 10ay5bybx 分解因式分析：把多项式的四项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组分别提出公因式2a 与b ，这时另一个因式正好都是x5y ，这样可以继续提取公因式解： 2ax10 ay5bybx2a( x 5 y) b( x 5 y)(x5 y)(2 ab)说明：用分组分解法， 一定要想想分组后能否继续完成因式分解， 由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试【例 4】把

10、ab(c2d 2 )(a2b2 )cd 分解因式分析： 按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解因式解：ab(c2d 2 )( a2b2 )cdabc2abd 2a2 cdb2 cd(abc2a2 cd )(b2cdabd2)ac(bcad )bd (bcad )(bcad )(acbd )说明： 由例 3、例 4 可以看出，分组时运用了加法结合律，而为了合理分组，先运用了加法交换律，分组后，为了提公因式，又运用了分配律由此可以看出运算律在因式分解中所起的作用2分组后能直接运用公式【例5】把x2y2axay 分解因式分析：把第一、二项为一组， 这两项虽然没有公因式，

11、但可以运用平方差公式分解因式，其中一个因式是xy ；把第三、四项作为另一组， 在提出公因式a 后，另一个因式也是xy.解：x2y2axay( xy)(xy)a( xy)( xy)( xya)【例 6】把 2x24xy 2y28z2 分解因式分析： 先将系数 2 提出后，得到 x22xy y24z2 ，其中前三项作为一组，它是一个完全平方式，再和第四项形成平方差形式，可继续分解因式解： 2x24xy2 y28z22( x22xy y 24z2 )2( xy) 2(2 z) 2 2( xy2z)(x y2z)说明： 从例 5、例 6 可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式或提取公

12、因式进行分解，并且各组在分解后， 它们之间又能运用公式或有公因式，那么这个多项式就可以分组分解法来分解因式（三）拆、添项法【例 12】分解因式 x33x24分析：此多项式显然不能直接提取公因式或运用公式，分组也不易进行 细查式中无一次项，如果它能分解成几个因式的积，那么进行乘法运算时，必是把一次项系数合并为0了，可考虑通过添项或拆项解决解： x33x24 ( x31)(3x23)( x1)(x2x1)3( x1)(x1) ( x 1)( x2x 1)3( x 1)( x 1)(x24x4)( x1)(x 2) 2说明： 本解法把原常数4 拆成 1 与 3 的和，将多项式分成两组，满足系数对应成

13、比例，造成可以用公式法及提取公因式的条件本题还可以将3x2 拆成 x 24x 2 ，将多项式分成两组 (x3x2 ) 和4x24 一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解；(3) 如果用上述方法不能分解， 那么可以尝试用分组或其它方法(如十字相乘法 )来分解；(4) 分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止练 习1把下列各式分解因式：(1) a327(2)8 m3(3)27 x382把下列各式分解因式：(1) xy3x4(2)xn 3xn y3(3)y2 (x22x)

14、 3y23把下列各式分解因式：(1)x23x 2(2)x26x27(3) m24mn 5n24把下列各式分解因式：(1)ax510ax416ax3(2)an2an 1b6an b2(3)( x22x)29(4)8x226xy15 y2(5)7( ab) 25( a b)25把下列各式分解因式：(1)3ax3ay xy y2(2)8x34x22x1(3)5x215x2xy6 y(4)4xy1 4x2y2(5)a4 ba3b 2a2 b3ab 4(6)x6y62x31(7) x2 ( x1)y( xyx)6已知 a b2 , ab2 ，求代数式 a2 b2a2b2ab2 的值372的整数时，n55

15、n34n能被120整除证明：当 n 为大于8已知 a bc0 ，求证： a3a2 cb2 cabcb30 答案：1 (a3)(a23a9),(2m)(42mm2 ),(2 3x)(46x9x2 ),2 x(x y)( y 2xy x2 ), xn ( xy)( x2xyy2 ),y2 ( x 1)2 ( x44 x33x22x1)3 ( x 2)( x1)， ( x9)( x3) ， (m5n)( mn)4 ax3 ( x2)( x8)； an (a3b)( a2b)；(x3)( x1)( x22x3)；(2 xy)(4 x15 y),(7 a7b 2)( ab1)5 ( xy)(3 ay),

16、(2 x1)2 (2 x1),( x3)(5 x2 y) ； (12xy)(12xy),ab (ab)2 (ab),( x31y3 )( x31y3 ), x( xy)( xy1) 28637 n55n34n(n2)( n 1)n(n1)(n2)8 a3a2 cb2 cabcb3(a2abb2 )(abc)三、一元二次方程根与系数的关系【例 1】已知实数 x 、 y 满足 x2y2xy2xy10 ，试求 x 、 y 的值解： 可以把所给方程看作为关于x 的方程，整理得：x2( y 2) x y2y 1 0由于 x 是实数，所以上述方程有实数根，因此： ( y 2) 24( y2y 1)3y20

17、y 0 ，代入原方程得： x22x10x1综上知： x1, y0四、一元高次方程的解法含有一个未知数，且未知数的最高次项的次数大于2 的整式方程叫做一元高次方程。一元高次方程的解法通常用试根法因式分解或换元法达到降次的目的，转换为一元一次方程或一元二次方程，从而求出一元高次方程的解。【例 1】解方程（1）x32（ ）42+3x -4x=02 x -13x +36=0解：（ 1）原方程可化为x（x-1）（ x+4）=0 x14, x2 0, x3 1,（ 2）原方程可化为 （x2-9）（x2-4）=0；（x+3）（x-3）（x+2）（x-2）=0x13, x22, x32 ， x43练习解方程（

18、 1） x3+5x2-6x=0（ 2）（x2-3x）2-2（x2-3x）-8=0答案：（1）6,（ ）x1x20, x3 1, 2x1 1, x2 2, x31, x4 4五、三元一次方程组的解法举例1）三元一次方程组的概念：三一次方程组中含有三个未知数，每个方程的未知项的次数都是1，并且一共有三个方程。注：（ 1） “未知项 ”与 “未知数 ”不同。（ 2）每个方程不一定都含有三个未知数。它的一般形式是未知项的系数不全为零， 其中每一个方程都可以是三元、 二元、一元一次方程，但方程组中一定要有三个未知数。2）解三元一次方程组的基本思想方法是：【例 1】 解方程组分析：方程只含x， z，因此，

19、可以由，消去y，再得到一个只含x， z 的方程，与方程组成一个二元一次方程组解： ×3，得11x 10z 35（4）与组成方程组解这个方程组，得把 x 5， z 2 代入，得2×5 3y2 9，【例 2】解方程组分析： 三个方程中， z 的系数比较简单，可以考虑用加减法，设法先消z。解： +，得5x+6y=17 + ×2，得，5x+9y=23与组成方程组解这个方程组，得把 x=1 ，y=2 代入得：2×1+2 ×2-z=3 ，z=3另解： + -，得 3y=6 ， y=2把 y=2 分别代入和，得解这个方程组，得：注：此题确定先消去 z 后，就

20、要根据三个方程消两次 z（其中一个方程要用两次），切忌消一次 z，再消一次其他未知数， 这样得不到一个二元一次方程组， 达不到消元的目的。此题的 “另解 ”是先同时消去两个未知数，直接求出一个未知数的值，然后把所求得的未知数的值代入方程组中的两个方程组中， 得到一个二元一次方程组， 再求出另两个未知数的值。这种解法是一种特殊解法，只有认真观察，才能做出。练习1. 解下列三元一次方程组1）2）3）2已知，且 x+y+z=24 ，求 x、 y、z 的值。3代数式 ax2+bx+c 在 x 为 1， -1， 2 时，它的值分别是-6，-8， -11，求：a， b， c 的值；当 x=-4 时，求代数

21、的值。*4 已知 2x+5y+4z=0 ， 3x+y-7z=0 ，且 xyz 0求：的值。*5已知且 xyz 0，求 x： y： z*6用 100 元恰好买了三种笔共100 支，其中金笔每支10 元，铂金笔每支3 元，圆珠笔每支 0 5 元，试问三种笔各买了多少支？答案：x4a3x81.(1) y3(2) b0(3)y4z8c6z22. x=6,y=8,z=103.a=-2,b=1,c=-5;-4114.85. x : y : z 3: 2: 46.金笔5 支铂金笔 5 支圆珠笔 90 支六、简单的二元二次方程组的解法举例（ 1）二元二次方程及二元二次方程组观察方程，此方程的特点：含有两个未知

22、数；是整式方程；含有未知数的项的最高次数是2.定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的最高次数是2 的整式方程叫做二元二次方程 .二元二次方程的一般形式是：（ 、 、不同时为零）.a b c其中叫做二次项，叫做一次项，叫做常数项 .定义：二元二次方程组即有两个未知数且未知数的最高次数为二次的方程组由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程及两个二元二次方程组成的方程组是我们所研究的二元二次方程组.例如：都是二元二次方程组.（ 2）二元二次方程组求解的基本思想是“转化 ”，即通过 “降次 ”、“消元 ”，将方程组转化为一元二次方程或二元一次方程组。由于这类方程组形式庞杂，解题方法灵活多样，

23、具有较强的技巧性，因而在解这类方程组时，要认真分析题中各个方程的结构特征，选择较恰当的方法。由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组的解法.我们已经学过二元一次方程组的解法，所谓解二元一次方程组就是求方程组中两个方程的公共解，同样，解二元二次方程组也就是求方程组中两个方程的公共解.解二元二次方程组的基本思想是消元和降次，消元就是化二元为一元，降次就是把二次降为一次， 因此可以通过消元和降次把二元二次方程组转化为二元一次方程组、 一元二次方程甚至一元一次方程 .对于由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的二元二次方程组来说，代入消元法是解这类方程组的基本方法.【例 1】 解方程

24、组分析：由于方程组是由一个二元一次方程和二元二次方程组成的，所以通过代入可以达到消元的目的，通过得再代入可以求出的值，从而得到方程组的解.解：由，得把代入，整理，得解这个方程，得.把代入，得；把代入，得.所以原方程的解是x y 7(1)【例 1】解方程组xy10(2)分析：可用“代入法”解。 也可以根据一元二次方程的根与系数的关系，把x、y 看作一元二次方程的两个根，通过解这个一元二次方程来求x， y。解：从根与系数的关系，这个方程组的解，可以看作一元二次方程t 27t100的两个根。解此方程得 t1 2,t 25 ， t 的这两个值，不论哪一个作为x、y 都可以。因此，x12x25所求的解为或y22y15练习*1.3x 2xy4 y 23x 4 y 0解方程组x2y 225*2.解方程组3x 2xyy 215231xy5 y 2453x分析（ 1