初中数学几何最值问题

1、关于线段最短问题在几何中的运用之课前预习指导探索三界中学杨良举在初中平面几何的动态问题中， 求某几何量（如线段的长度、 图形的周长或面积、角的度数以及它们的和与差） 的最大值或最小值问题， 称为几何最值问题 . 近年来，成都中考题常通过几何最值问题考查学生的实践操作能力、 空间想象能力、分析问题和解决问题的能力 .本文针对不同类型的几何最值问题作一总结与分析 .最值问题也学生在解决时比较困难，失分比较严重的题型，因此结合我们校实际，把几何最值问题作为我校的微课题研究，下面就最值问题的解决方法研究如下：案例分析一、应用几何性质1.三角形的三边关系例 1 如图 1， MON 90 ，矩形 ABCD

2、 的顶点 A 、 B 分别在边 OM , ON 上.当分在边 ON 上运动时， A 随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD 的形状保持不变，其中 AB2, BC1 ，运动过程中，点D 到点 O 的最大距离为 ()(A) 21(B) 5145(D) 5(c)52分析如图 1，取 AB 的中点 E，连结 OE,DE ,OD .QOD OEDE ,当 O , D , E 三点共线时，点 D 到点 O 的距离最大，此时， AB 2, BC 1 ,OE AE1 AB1. DEAD 2AE 212122 ,2OD 的最大值为2 1.故选 A.2.两点间线段最短例 2如图 2，圆柱底面半径为2cm,高为 9

3、cm，点 A, B 分别是回柱两底面圆周1上的点，且 A, B 在同一母线上， 用一棉线从 A 顺着圆柱侧面绕3 圈到 B ，求棉线长度最短为.分析 如图 3，将圆柱展开后可见，棉线最短是三条斜线的长度，第一条斜线与底面圆周长、圆柱的三分之一高组成直角三角形 .由周长公式知底面圆一周长为 4 cm，圆柱的三分之一高为 3 cm，根据勾股定理，得一条斜线长为 5 cm，根据平行四边形的性质， 棉线长度最短为 15 cm.3.垂线段最短例 3如图 4，点 A 的坐标为 (1,0)，点 B 在直线 yx 运动，当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为（）(A) (0,0)(B)( 1,1 )(C)(

4、2 ,2 )(D)(2 ,2 )222222分析 如图 4，过点 A 作 AB' OB ，垂足为点 B '，过 B ' 作 B 'C x 轴，垂足为 C .由垂线段最短可知，当 B ' 与点 B 重合时， AB 最短 .点 B 在直线 yx 上运动， V AOB '是等腰直角三角形 V B 'CO 为等腰直角三角形点 A 的坐标为 ( 1,0) ，2OC CB'1OA111 ，222B 的坐标为 (11,)22当线段 AB 最短时，点 B 的坐标为 ( 1,1 )故选 B.224.利用轴对称 (放牛问题 )例 4如图 5，正方形

5、ABCD ， AB4 ， E 是 BC 的中点，点 P 是对角线 AC 上一动点，则 PEPB 的最小值为.分析连结 DE ，交 BD于点 P，连结 BD.点 B与点 D关于 AC对称， DE 的长即为 PEPB 的小值QAB4，E是BC的中点，CE2在 RtVCDE 中DECD2CE242222 5二、代数证法1.利用配方法例 5 如图 6 是半圆与矩形结合而成的窗户，如果窗户的周长为 8 米，怎样才能得出最大面积，使得窗户透光最好 ?分析设 x 表示半圆半径， y 表示矩形边长 AD ，则有 2x 2 yx 8 ,82x于是， y23若窗户的最大面积为 S ，则S2xy1x22把代入，有S2xg82x1x2228xx22x21x228x (2)x242832( x) 224432.48上式中，只有 x时，等号成立 .4这时，由有y(8g8g818x，42)442即当窗户周长一定时，窗户下部矩形宽恰为半径时，窗户面积最大.通过以上的研究， 我们可以总结出在几何最值方面归纳为以下几点： 两点之间线段最短，三角形三边的关系，垂线段最短，轴对称问题（放牛问题） ，