函数的奇偶性知识点总结及练习

1、.2.4 函数的奇偶性学习目标：1.了解函数奇偶性、周期性的含义.2.会判断奇偶性，会求函数的周期.3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题重点难点：函数奇偶性和周期性的应用一、知识要点1、函数奇偶性定义：如果对于函数f ( x) 定义域内的任意x 都有 f ( x)= f ( x) ，则称 f ( x) 为奇函数；如果对于函数f ( x) 定义域内的任意x 都有 f ( x)= f ( x) ，则称 f ( x) 为偶函数；如果函数 f ( x) 不具有上述性质，则f ( x) 既不是奇函数也不是偶函数；如果函数同时具有上述两条性质，则f ( x) 既是奇函数，又是偶函数2、函数奇偶

2、性的判定方法：定义法、图像法（ 1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定 f ( x) 与 f ( x) 的关系；作出相应结论：若 f ( x) =f ( x) 或 f ( x) f ( x) = 0，则 f ( x) 是偶函数；若 f ( x) = f ( x) 或 f ( x) f ( x) = 0 ，则 f ( x) 是奇函数 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质；由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，定义域关于原点对称（ 2) 利用图像判断函数奇偶性的方法：图像关于原点对称的函数为奇函数，图像关于

3、y 轴对称的函数为偶函数3、函数奇偶性的性质：奇函数 在对称的单调区间内有 相同 的单调性； 偶函数 在对称的单调区间内有 相反 的单调性;.二、例题精讲题型 1： 函数奇偶性的判定1判断下列函数的奇偶性： f ( x) ( x 1) 1x , f ( x )9 x 2 ,1x f (x)x2x (x0) f ( x)x 21 1 x2xx2 ( x0)变式：设函数f （ x）在（， +）内有定义，下列函数：y= | f （ x）| ； y=xf （x2）； y= f （ x）；y=f（ x） f （ x）必为奇函数的有_（要求填写正确答案的序号）题型 2： 函数奇偶性的证明1已知函数f(x)

4、,当 x,y R 时，恒有f(x+y)=f(x)+f(y)求证： f(x)是奇函数;.题型 3： 函数奇偶性的应用1设定义在 -2 ，2 上的偶函数f(x)在区间 0 ， 2 上单调递减，若f(1-m)<f(m)，求实数m的取值范围变式 1：已知函数f ( x) 是偶函数，而且在(0,) 上是减函数，判断f ( x) 在 (,0) 上是增函数还是减函数变式 2：函数 yf (x) 是 R 上的偶函数， 且在 (,0 上是增函数， 若 f (a)f (2) , 则实数a 的取值范围是三、巩固练习1已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是 y=f(|x|);

5、y=f(-x); y=x · f(x); y=f(x)+x2设函数若函数f ( x)(k 2) x2(k1)x3 是偶函数，则f (x) 的递减区间是3 已知 y=f(x) 是定义在 R 上的奇函数，当x 0 时， f(x)=x2-2x ，则在 x<0 上 f(x)的表达式为设53是常数)且 f (7)7 则（）=4f(x)=ax +bx +cx 5(a,b,c, f75若函数 f (x)2x b 的图象关于原点对称，则实数b 应满足的条件是6 已知函数 f (x)ax3bx 1，常数 a 、 bR ，且 f (4)0 ，则 f ( 4) yf ( x) 在,0内为减函数，又f (x) 为偶函数，则f (3) 与 f (2.5) 的大小关系7为;.8已知函数f ( x)ax2bxc 是定义在2a,1a 上的偶函数，则 a，b_ 9已知函数f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当x0 时， f ( x)x22x ，则 f (1)10判断下列函数的奇偶性 yx31 ； y2x112x ； yx4x ；x11已知函数 y f ( x) 是定义在实数集R 上的偶函数，当x 0