三角函数恒等变换练习题及答案详解

1、1. 已知sin(a+3)= ，sin(a 3)= 5，则t tan3的值为两角和与差的正弦、余弦、正切1利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换；2利用三角变换讨论三角函数的图象和性质2.1.牢记和差公式、倍角公式，把握公式特征；2灵活使用(正用、逆用、变形用)两角和与差的正弦、余弦、正切公式进行三角变换，三角变换中角的变换技巧是解题的关键.知识点回顾1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(a 3 =cosacos3+sin 久 sin3(Ca-cos(a+ 3 =cos_acos_ g sin . asin_3(Ca+3sin(a 3)=sin_acos3cos _%sin_3

2、(SaB) sin(a+ g=sin_acos3+cos %sin_3(Sa+p)” tanatan3*tan(a 3=丄 丄 _ (Tag1+tanaan33_ tana+tan3 ,十tan(a+ g=(T(Ta+g1tanatan32.二倍角公式sin 2a= 2 sin _：icos二；2 2 2 2cos 2a=cosasina=2cosa1=1 一 2sin；3.在准确熟练地记住公式的基础上， 要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等.如 Tag可变形为tanocan3=tan(ag(1 ?tan_otan_,tana+tan3tan tan3.tantantantan

3、 3=1 1tan 好3= tan3一1.1.函数 f(a)=acos%+bsino(a,b 为常数)，可以化为 f(0)=, a2+b2si n(a+册或 f(a)=Ja2+b2cos(a ,其中可由 a, b 的值唯一确定.难点正本疑点清源 三角变换中的“三变”(1) 变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”.(2) 变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幕与降幕”等.(3) 变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方

4、”等.热身训练tan 2a=2ta n _1 tan2a4.2.函数 f(x)= 2sin x(sin x+ cos x)的单调增区间为 _(J! 43.(2012 苏)设 a 为锐角，若 COS o + 1= 5,贝yI I6 6 丿5 5sina+COsa14.(2012 西)若=；,贝Vtan 2a等于sinaCOsa2典例分析题型一 三角函数式的化简、求值问题【例 1(1)化简:Ia、2 2l+tanatan 2 丿;2sin 50 +in 10 (1+ 3tan 10 )2sin280 变式训练在厶 ABC 中，已知三个内角 A, B, C 成等差数列，则 tanA A+ tan C

5、 + V3tan Atan C 的值为_.题型二三角函数的给角求值与给值求角问题例 2】(1)已知 0 仟点n,且 cos 工=1 1sin 巴 一P =求 cos(a+ 3的值;2 2l 2 丿9 9I I? ?丿3 31 1(2)已知a氏(0,n)且 tan (a 3= 2，ta n3= 7,求 2a 3的值.3 3一4 4如7 7- - 9 9- 1 -14 4- - 3 3D D4 4 - - 3 3-c.3 3 - - 4 4B B1-1- 9 91-1- 9 9G1 +tanatani2求值:AAQ变式训练 2 已知 cosa=1 1,cos(a 3=石，且仟专,求3题型三三角变换

6、的简单应用r、(2( H( JT例 3 已知 f(x)= 1 +- isin x 2sin x+ | sin x- I tan x丿i 4丿i 4丿(1)若 tana=2,求 f(a)的值；若 x in，n，求 f(x)的取值范围.(厂兀丨变武圳辭 已知函数 f(x)=V3sin2x-；l+ 2sin_12l(x R).(1) 求函数 f(x)的最小正周期；(2) 求使函数 f(x)取得最大值时 x 的集合.利用三角变换研究三角函数的性质亠、， 兀1典例：(12 分)(2011 北京)已知函数 f(x) = 4cos x sin x+ I 1 |y|.3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“

7、变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值，求单角或和角的三角函数值的技巧：把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减， 观察是不是常数角，只要是常数角，就可以从此入手，给这个等式两边求某一函数值，可使所求的复杂问题简单化.5.熟悉三角公式的整体结构，灵活变换本节要重视公式的推导，既要熟悉三角公式的代数结构，更要掌握公式中角和函数名称的特征，要体会公式

8、间的联系，掌握常见的公式变形，倍角公式应用是重点，涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.失误与防范1运用公式时要注意审查公式成立的条件， 要注意和、 差、 倍角的相对性， 要注意升次、 降次的灵活运 用， 要注意“1”的各种变通.y2、2在（0,n范围内，sin（a+ 3=所对应的角a+ B不是唯一的.3.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值.和差角公式变形：tan xtan y= tan(xiy) (1?tan xtan y);1cos 2配方变形:a=1 1-coscos a=2si2si吟倍角公式变形：降幕公式cos21+cos 2asin2a=21 isina=2a2cos，

9、过手训练（时间：25 分钟，满分：43 分）、选择题（每小题 5 分，共 15 分）2心兀已知 tan(a+ 3=5,tan i 三、解答题（13 分）（2012 广东）已知函数 f（x） = 2cos C0 x+i（其中 30, x R）的最小正周期为 6丿（1）求3的值;1.兀(2012 东)若氏 ，14 2 J,sinsin 2 29=畔,则 sinB等于4B.5C近C. 43D42.3.A13A A扁c 13B.22egegDIrn当-产 xw时，函数 f(x) = sin x+ 3cos x 的A .最大值是1,最小值是B .最大值是1,最小值是C .最大值是2, 最小值是D . 最

10、大值是2, 最小值是二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）4.已知锐角a满足 COS 2a=COS 14-?，贝Usin 2a=5.已知 cos -a412= 13a 0,一i,则、4丿COS 2asin4+a6.设 xo, i,则函数2丿小 2/2sin x+ 1 “y=的最小值为7.10n.设a, 30,f5a+|n=-6 6f 53-|n=17，求 COS(a+ 3的值.课后习题（时间：35 分钟，满分：57 分）、选择题（每小题 5 分，共 20 分）121 1-（20122012江西）若tantan卅箭 r r4 4，则sinsin 2 2。等于C.3nA Ann_,3nc.n 和 7三、解答题（共 22 分）a_2 =(1)求 cosa的值;2.（2012 大纲全国）已知a为第二象限角， sina+cosa=-3，贝ycos 2a等于3.已知a, B都是锐角，若 sina=5 ，a+ B等于若 sin(a B)=5求 cosB的值.4.(2011 福建)若a 0, i,且 Sin2a+COS 21a=4，贝 U tana的值等于A亚A.A.2C. 2D. 3二、填空题（每小题 5 分，共 15 分）cos275