三角函数及解三角形知识点总结

1、1.任意角的三角函数的定义：设：是任意一个角，P（x, y）是的终边上的任意一点（异ytan , x = 0 x三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P 的位置无关。2.三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦）+1k+一一-+一si n。cos。tana3.同角三角函数的基本关系式：1（1）平方关系：sin:二 cos : =1,1 tan :cos sin a（2） 商数关系：tan二一一（用于切化弦）cosa平方关系一般为隐含条件，直接运用。注意“1”的代换4三角函数的诱导公式于原点），它与原点的距离是r x y 0，那么sin：二，cos：二-，rr诱导公式（把角写成 _:-

2、形式，利用口诀：奇变偶不变，符号看象限）25.特殊角的三角函数值度0s30sA456090120135150*180270s360弧度031312兀3兀5兀3兀2兀3164323462sin a01證731返1010222222sin （2k兀+x）=sin xI）cos（2k兀+x）=cosxtan（ 2k兀+x） =ta nxn）sin（ -x） - -sin xcos（-x）二cosxtan（-x） - - tanx川）sin（二x）= -sin x cos（恵： x）= -cosx tan（，亠x） = tan xsin（二-x）W）cos（二-x）=tan（二-x）= sin x-c

3、osx-ta nxV）n：sin（ ） = cos:2ncos（）= sin :2亠：:） =cos:亠-sin :COSG1221201_22432-101tan a0逅31无-V3-143_30无06.三角函数的图像及性质函性质、数、y =sin xy = cosxy =tan xj yyJf lii I9) Ni1图/T、3JT；百2 n、严r1 n i丿;/!./弋/尸戈/ * /5像00X : / r/*11if/11|!疋1ZJ义域RR2x IXHk兀31+尹值域1-1,1-1,1】R当x=JI2(“Z）时，当x = 2k兀(k Z )时，最max =1；，max=1；当X = 2

4、kH PFT -rl曰.TP/古川 十 曰.昇、/古值当x=2k兀(k9Z）时，y既尢最大值也无最小值min = -1 (Z)时，ymin=T周期2兀2兀JI性奇偶性奇函数偶函数奇函数在一工+2i/ +2knl1 2 2在一兀+ 2kir ,2 k兀(kEZ )单调(k z)上是增函数；上是增函数；I,H ,丄兀、在k兀，kn + 12 2丿性亠兀3兀在 一+2, + 2kn 归2在I2kji,2k兀 +兀I(kw Z)(k Z)上是增函数.上是减函数.(k z)上是减函数.对称中心对 称对称中心(kir,OXkEZ)(Jik兀+ ,012丿(MZ )对称中心1,0 l(kw z )1 2丿

5、性3T对称轴x =k兀+ (k E Z )2对称轴x = k兀(k E Z )无对称轴7.函数y = As in C，x )图象的画法：二3:“五点法”一一设X fy：x，令X=0,，二，,2-求出相应的x值，计算得出五2 2点的坐标，描点后得出图象；图象变换法：这是作函数简图常用方法。8图像的平移变换：函数y=Asin（x，），k的图象与y = sinx图象间的关系：第一种变换；尸助器-商右加0）平移91个品尸血（卄仞1横坐标或缩短toi）到原来的；倍+ F = Sltl（血 +0）图象向左（卩A 0 ）或纵坐标不变纵坐标伸长（41）或缩短（OA1）到原来的石倍”品 Ey = sm x -y

6、- sin tax纵坐标不变图象向左（?0）或旦个单位.尸汕向右（0 0）平移纵坐标伸长（21 ）或缩短（OA,)凹tan- tan tan二tan；?：-1 tan t a n1 -tan tan P纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）y = 4sin 3xI3丿（兀、(兀X十一=sin 1 3x +19I3丿y = sin(兀)y = sin 3x I 3丿y =sin 3x纵坐标变为原来的 4 倍（横坐标不变）y =4sin 3xI 3丿(6)tan(卅I )凹tan- tan：-tan：二tani很 卩i1 tan：tan :1+tan tan Pasin：bcos，-.a2，b2s

7、in（）（其中，辅助角所在象限由点（a,b）所在的象限决定,sin=- b-cos半=-a- tan = b，该法也叫合一变形 ).JOFJ+b“ a(8)二ta n()4IT、二tan( )410、二倍角公式(1)sin 2a = 2sin a cos a(2)cos2a = cos2a -sin2a =1 -2sin2a = 2cos2a -1(3)tan 2 a =2 tana21 -ta n a11.降幕公式:(1)cos2a=4212.升幕公式2 5(2)1 - cos：= 2 sin 22(3)1 _sin：= (sin cos)2 22 2(4)1 = sin : cos -aa

8、(5)sin：= 2sin cos 2213.三角变换：函数名称变换：三角变形中常常需要变函数名称为同名函数。采用公式:a sin：bcos v - . a2b2sin( v )其中,sin :ba2b2tan15 =2-3,tan75 =23,15、正弦定理：在me中，a、b、c 分别为角厶、m、C的对边，R为FC的外接圆的半径，则有 二c2R（ R 是三角形外接圆半径）si nA si nE si nC注：正弦定理的变形公式：1a =2Rsin二，b=2Rsin m,c=2RsinC；2sin，sin ，sinC；2R2R2R3a : b : c = sin : sin 2 : sin C

9、16、余弦定理：在C中，有y = s in x3 cosx比如：J 爲严、3_cosx)12( 3)21. 3= 2(sin x cosx) = 2(sin22xcos cosxs in3H_i2sin(3)注意：凑角”运用：-0( = P _( P -CL14、三角形中常用的关系:sin A二sin( B C),cos A二-cos(B C),.A B C sin cos2sin 2A = -sin2(B C),cos2A = cos 2( B C)常见数据:sin15二cos7564/2，sin75”os15.6 .242 2 2 2 2 2 _ 2 2 2a b e -2bccosz,b

10、 = a c -2accosi?,c = a b -2abcosC注:余弦定理的推论：.2 2 2 2 2.2 2.2 2be -aac-bab-ccos，cos，cosC2bc2ac2ab17、三角形面积公式：1 1 1 Suebcs inabsi nCacsiS.ABC=；两边之积 两边夹角的正弦值注：（1）如果一个三角形两边的平方和等于第三边，那么第三边所对的角为 直角；如果小于第三边的平方，那么第三边所对的角为钝角;如果大于第三边的平方，那么第三边所对角为锐角。（课本第 6 页右下角） 例如 a、b、c 是C的角A、C的对边，贝U:若a2b c2，则C= 90；2若a2b2: c2，则.90 C : 180，C 为钝角3若a2b2c2，则0 C : 90; C 为锐角（2