对数相关公式教学文案

1、此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除对数相关知识概述：对数是高中代数中一块重要内容，主要考察对数函数以及与对数相关的运算等（包括各种公式） ，在此总结如下：定义：对数源出于指数axNxlog a N ， a0 且 a1 ， N0常用对数： lg Nlog10 N ；自然对数： ln Nlog e N ， e2.718281828459L一代数基本关系式 .(基础 )把指数式代入对数式消去N ，得到* （F1） log a axx ， a0 且 a1 ， x R说明： x以a为底作指数运算ax以 a为底做对数运算log a axx特别地，对应 x0 和 x1 的情况，有* （F1.1 ）

2、 log a 10 ， a0 且 a1* （F1.2 ） log a a1， a0 且 a1把对数式代入指数式消去x ，得到（ F2）真数还原 : alog a NN ， a0 且 a1，N 0说明： N以 a为底做对数运算loga N以a为底做指数运算alog a NN应用举例 ：例 1：求值 (E1)1；(E2)27log3 2 ；(E3)27log9 2。log 32 2561858解： (E1)log25 2log2525log3225685(E2) 27log3 233log 3 23log3 23833log 3 22333(E3) 为了底数变为相同，先分析27 与 9 的关系，

3、273332 292 ，所以3log9 23327log9 2929log 9 22222 2注：需要使用的指数恒等式： arsarsasra s r， a0 。做这一类题的关键在于关注底数是否相同，底数不同的想办法化成同底数，然后应用公式。自己动手 ：(Q1)log 749 ；(Q2) log 1 8 ；(Q3) log 1 243 ； (Q4) 2log2 5 ；(Q5) 32log 3 5 3 。227（F3） Mloga NNlog aM， a 0 且 a 1， M , N 0只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除证明：因为 alog a M log a Nalog

4、a Mlog a NM log aN同理 alog a N loga Maloga Nlog a MN log a M上面两式的左边底数相同，指数的相等由乘法交换律保证着，所以M log a NN loga M 。应用举例 ：例 1：(E2) 27log 3 2 ；(E3) 27 log9 2解：用（ F3）重新做：233(E2) 27log3 22log3 272327log 9 22log 9 2728 ； (E3)2log32 32 222 。注：（ F3）可以方便计算这一类题，在做选择填空上可以快一点点。1 log 5 7自己动手 ：(Q6)1； (Q7)8log 32 27 。25二

5、积的对数、商的对数、幂的对数。 （重点）* （F4） log a MNlog a Mlog a N , a0且 a1，M,N0证法一：令 M am ， Na n ，那么 mlog a M ， nlog a N ，所以log a MNlogaamanlog a am nmnlog a Mloga N 。证法二： loga MNlogaaloga Maloga Nlog aalog a Mlog a Nlog a Mlog a N 。证法一首先引入了辅助的m,n ，最后求得结果后换回M , N 。证法二是不引入辅助量而是利用了（ F2）和（ F1）。两种方法基本步骤一样，没有本质区别。(F4.1)

6、 扩展到多个数的积的情况：a 0 且 a1 ， N1, N 2,L , N k0loga N1 N2 LNklogaN1 log a N2LlogaNk* （F5） log aMlog a Mlog aN , a 0 且 a1，M,N0N* （F6） log a M nn log a M ， a0 且 a1 ， M0 ， nR证法一：令 M am ，那么 mlog a M ，所以log a M nlogaam nloga amnmnn log a M 。证法二： loga M nlog aalog a Mnlog aanlog a Mn log a M 。应用举例 ：只供学习与交流此文档仅供收

7、集于网络，如有侵权请联系网站删除例 2：求值：（ E8）lg 2 lg5 ；（E9）3log 3 2；（）7lg18；log3 72E10lg14 2lglg 73（ E11） lg 2lg 50lg 2 5 ；解：（ E8） lg2lg5 lg2 5 lg101 ；（ E9） log3 723log 3 2log 3 72log 3 2 3log 3722 3log 3 92 ；772（ E10）12log 5 3log 5 7log 5 18log 51437 18log 5 10log 5 14注：把所有减法做成加法，把所有除法做成乘法。（ E11） lg 2lg 50lg 2 5lg

8、2 lg2 52lg 2 5lg2 lg22lg5lg 2 5lg 22 2lg 2lg5lg 2 5 lg 2lg521例 3：(E12) 已知 log a 18m ， log a 24n ， a0 且 a1 ，求 log a 1.5 。分析：质因数分解： 182 32，24 233 ，而 1.52 13，它们都由以 2或3为底的幂所“组成”。注意这里要解一元二次方程组。解：因为 log a 18log a 22log a 3m（1）同理 log a 243log a2 loga 3n（2）从上面两式解出 log a 2 和 log a 3（ m 和 n 是已知量，把 log a 2 和 l

9、og a 3看作未知量）（ 2）2 - （1）： 5log a 22nmloga 221nm55（ 1）3 - （2）： 5log a 33mnloga 33 m1 n4 m3 n55所以 log a 1.5log a 3 log a255自己动手 ：（ Q8） 2log 5 10 log 5 0.25 ；（ Q9） lg 1lg 25 ；（Q10） lg 2 2lg 5lg 20 ；4（ Q11） lg 2 52lg 2 lg 2 2 ；（ Q12）已知lg 2 a ， lg3b ， lg 7c ，求下列各式的值：（ Q12.1） lg105 ；（ Q12.2） lg75 ；（Q12.3）

10、lg 2.8 ；（ Q12.4） lg 5 。 6三：对数式连锁。（这个恒等式比较难，有兴趣的同学可以看一下）只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ F7）logloglog，,0,1 U 1,，0。（类比：）证明：记 nlog，应用（ F6）与（ F2），有loglogn loglognlogloglog。（ F7.1 ）扩展应用：0, 1,L ,n 10,1 U 1,， n0log 0 1log 1 2Llog n 2 n1log n 1 nlog 0 n类比：12Ln1nn01n2n 10应用举例 ：例 4：（ E13） log a b log b clog c a

11、 ；（ E14） log 2 3log 3 4 。解：由（ F7.1 ）：（E13） log a blog b c logc alog a a1， a, b, c 0,1 U 1,。（ E14） log 2 3log 3 4 log 2 42自己动手 ：（ Q13）log 5 4log 43log 3 2log 2 5；（）log 4 5log 5 6log 6 7log 78。Q14四：换底公式。（既是重点又是难点）前面的恒等式的变换 （F1 F6）都没有触及底数，对数的运算大多要求底数相同，当底数不同时， 对底数进行变换令其变为相同非常必要， 所以换底公式是为了在运算中统一底数，降低运算难

12、度而出现的。* （F8） log a blog c b ， a, c 0,1 U 1,， b0 。（类比： bb / c ）log c aaa / c证法一：由（ F7）得 log c a log a blog c b ，即 log a blog c b 。log c a证法二：令 a c， bc ，那么logc a ，log c b ，所以log a blogc clog cclogc b 。log c a注意到，换底公式从左到右的应用过程中，底数由a 变为 c ，右边成为对数的商的形式，其中 c 可以在 0,1 U 1,范围内根据实际情况任意选取。只需对c 取一些特殊值，便可得到换底公式一

13、些常用形态。（ F8.1 ）取 c10 ， log a blg b ；lg a只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除（ F8.2 ）取 ce ， log a bln b ；ln a（ F8.3 ）取 cb ，log a b1，即 log a b log ba1 ，底数与真数互换之后的log b a对数式与原对数式互为倒数；* （F8.4 ） logr M ss log a M ， a 0 且 a1 ， M0 ， r0 ， sRar证明：用换底公式（F8），把底数换成 a ，得到 log ar Mslog a M s，再应用 (F6)loga ar与 (F1) ，有 log

14、a M ss loga M ，结合起来便得到（F8.4 ）。loga arr恒等式（ F8.4 ）是恒等式（ F6）的增强版本。（ F8.5 ）对数式中，底数和真数同时进行同指数乘方（该指数非零） ，对数式的值不变。loga Mlog an M n ， a0且 a1 ， M0 ， n0这样底数 a 可以换成与之关系比较密切的an ，例如 log 2 3 可以“扩充”成为 log 4 9 ，1也可以“收缩”成为log 23 ，也可以“倒转”成为log 12 3 ，视乎需要使用。（ F8.6 ）多个对数式连乘积中， 将所有真数以任意顺序重排， 将所有底数以任意顺序重排，得到新的对数式连乘积的值与原

15、式相等。这个公式写出来比较麻烦，下面用例子说明：如log 3 4log 5 6log 7 8log 9 10真数是： 4,6,8,10 ，底数是： 3,5,7,9 ，我们把真数随意重排：6,10,8, 4，底数重排后： 7,5,3,9 ，新的对数式 log7 6log 5 10log 3 8log 9 4lg 4lg 6lg8lg10log3 4log 5 6log 7 8log 9 10lg5lg 7lg9lg3log 7 6log 5 10log3 8loglg 6lg10lg8lg 49 4lg 5lg 3lg 9lg 7观察上面两式右边， 分子和分母分别都只是顺序不同而已， 乘法交换律

16、保证了两对数式连乘积的相等。log 3 4log 5 6log 7 8log 9 10log 7 6log 5 10log 3 8log 9 4应用举例 ：只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除例 5：（ E15）111 ；（ E16）log4 3 log 8 3log3 2log9 2。log2 25log 3 8log5 9解：（E15）对数式的连乘，与对数式连锁有点相似，但稍微复杂，应用换底公式1lg11111lg8lg2lg53lg 22lg3259log 2 25log 3 8 log5 9lg 2lg3lg5lg 2lg3lg512另外，应用（ F8.6 ），保

17、持真数顺序不变，底数2,3,5 重排为：5, 2,3，有log 2 1 log3 1 log 5 1log51 log2 1 log312321225892589（ E16）括号之内底数不同，不能直接相加，全部换成常用对数log 4 3 log8 3 log 3 2log 9 2lg3lg3lg 2lg 211lg31lg 252lg 23lg 2lg32lg32312lg34lg 2例 6：（ E17）已知 log 23 a ， log 3 7b ，试用 a ， b 表示 log 4256 ；（ E18）已知 log32 a ， log 5 2b ，试用 a ， b 表示 log 30 90

18、 。解：（ E17）解法一：全部换成常用对数a log 23lg3lg3 a lg 2 ， blog3 7lg 7lg 7b lg3lg 7ab lg 2lg 2lg3（这样 lg 3， lg 7都可以用 a , b ,lg 2 表出，代入后便可以达到消元的目的）log 42 56lg563lg 2lg 73lg 2ab lg 23 ablg 42 lg 2 lg3lg 7lg 2a lg 2 ab lg 21aab解法二：事实上，如果把底数统一换成2 或 3的话， log 2 3a ， log 3 7b 两个式子中有一个不用变换底数，会比较方便，这里以3 为例alog231log 3 21l

19、og 3 2alog3 563log 3 2log 3 73 1b3ablog42 56alog3 42log3 2log3 3 log 3 711aabb1a（ E18）题目条件给出的是 log 3 2a ，log 5 2b ，一般来说， 把底数换成 2 ，3或5 都可以使问题简化，这里以 2 为例（事实上，把底数换成3 或 5 运算量更少）。alog 321log 2 31 ， blog 5 21log 2 51log 2 3alog 2 5b只供学习与交流此文档仅供收集于网络，如有侵权请联系网站删除log2 90log 2 22log 2 3log2 51211a 2bablog 30

20、90ablog2 30log2 2log2 3log25111ababablog 231b（或 log30 90 1log30 311a1）3log 2 511ab ablog2 2 log 21ab注：这里解题关键是注意观察， 熟悉质因数分解和对数运算恒等式，以及选取适当的底数进行换底。例 7：（ E19）已知正数 x, y, z 满足： 3x4 y6z ，求证： 111；zx2y(E20) 已知 log a x2 ， log b x 3 ， log c x6 ，求 log abc x 的值。（ E19）证明：引入设而不求的未知数，令3x4y6zt ，那么xlog 3 t ， ylog4 t ， zlog 6 t（观察上面三式，真数相同而底数不同，所以把底数统一换成 t 将会方便运算）利用（ F8.3 ），可得log t 31， log t 41， log t 61xyz所以 11logt 6 logt 3log t 21 log t 41zx22 y（ E20）把底数统一换成 x