导数学案(有答案)

1、.平均变化率课时目标1.理解并掌握平均变化率的概念.2.会求函数在指定区间上的平均变化率.3.能利用平均变化率解决或说明生活中的实际问题1函数 f(x) 在区间 x1，x2 上的平均变化率为 _ 习惯上用x 表示 _，即 _ ，可把 x 看作是相对于x1 的一个 “ _，可”用 _代替 x2；类似地， y _，因此，函数f(x) 的平均变化率可以表示为_2函数 y f(x) 的平均变化率 y fx2 f x1 的几何意义是：表示连接函数yf(x) 图象xx2 x1上两点 (x1， f(x 1) 、(x 2， f(x 2) 的割线的 _一、填空题1当自变量从 x0 变到 x1 时，函数值的增量与

2、相应自变量的增量之比是函数_(填序号 )在 x0， x1上的平均变化率；在 x0 处的变化率；在 x1 处的变化率；以上都不对2设函数 y f(x) ，当自变量 x 由 x0 改变到 x0 x 时，函数的增量y _.3已知函数 f(x) 2x2 1 的图象上一点 (1,1) 及邻近一点 (1 x， f(1 x) ，则yx_.4某物体做运动规律是s s(t)，则该物体在t 到 t t 这段时间内的平均速度是_5如图，函数y f(x) 在 A ，B 两点间的平均变化率是_6已知函数 y f(x) x2 1，在 x 2， x 0.1时， y 的值为 _7过曲线 y2x 上两点 (0,1) ， (1,

3、2)的割线的斜率为 _8若一质点 M 按规律 s(t) 8 t2 运动，则该质点在一小段时间2,2.1内相应的平均速度是 _二、解答题9已知函数 f(x) x2 2x，分别计算函数在区间 3， 1， 2,4上的平均变化率10过曲线yf(x) x3 上两点 P(1,1)和 Q(1 x，1y)作曲线的割线，求出当x0.1 时割线的斜率;.能力提升11.甲、乙二人跑步路程与时间关系如右图所示，试问甲、乙二人哪一个跑得快？12函数 f(x) x22x 在 0，a上的平均变化率是函数g(x) 2x 3 在 2,3上的平均变化率的 2 倍，求 a 的值1做直线运动的物体，它的运动规律可以用函数ss(t)描

4、述，设t 为时间改变量，在t0 t 这段时间内， 物体的位移 ( 即位置 )改变量是s s(t0 t) s(t0)，那么位移改变量ss 与 时 间 改 变 量 t 的 比 就 是 这 段 时 间 内 物 体 的 平 均 速 度 v ， 即 v ts t ts t00t.2求函数 f(x) 的平均变化率的步骤：y f x2 f x1(1) 求函数值的增量y f(x2) f(x1) ；(2) 计算平均变化率.xx2 x1;.瞬时变化率 导数 (二 )课时目标1.知道导数的几何意义.2.用导数的定义求曲线的切线方程1导数的几何意义函数 y f(x) 在 点x0 处 的导 数f (x0) 的 几 何意

5、 义 是：_.2利用导数的几何意义求曲线的切线方程的步骤：(1)求出函数 y f(x) 在点 x0 处的导数 f (x0)；(2)根据直线的点斜式方程，得切线方程为y y0 f (x0) ·(xx0)一、填空题1曲线 y 1在点 P(1,1)处的切线方程是_x2已知曲线y 2x3 上一点 A(1,2) ，则 A 处的切线斜率为_3曲线 y 4x x3 在点 ( 1， 3)处的切线方程是_4若曲线 y x4 的一条切线l 与直线 x 4y 8 0 垂直，则 l 的方程为 _5曲线 y 2x x3 在点 (1,1) 处的切线方程为 _，f(x ) 处切线的6设函数 y f(x) 在点 x

6、处可导，且 f (x )>0 ，则曲线 y f(x) 在点 (x0000倾斜角的范围是 _7曲线 f(x) x3 x 2在点 P 处的切线平行于直线y 4x 1，则 P 点的坐标为_8已知直线 x y 1 0 与曲线 y ax2 相切，则 a _.二、解答题49已知曲线 y x在点 P(1,4)处的切线与直线 l 平行且距离为17，求直线 l 的方程110求过点 (2,0) 且与曲线 y x相切的直线方程;.能力提升11已知曲线y 2x2 上的点 (1,2) ，求过该点且与过该点的切线垂直的直线方程12设函数 f(x) x3 ax2 9x 1 (a<0) 若曲线 y f(x) 的斜

7、率最小的切线与直线12x y6 平行，求 a 的值1 利用导数可以解决一些与切线方程或切线斜率有关的问题2利用导数求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上如果已知点在曲线上，则切线方程为 y f(x 0) f (x0) (x x0) ；若已知点不在切线上，则设出切点(x0， f(x 0) ，表示出切线方程，然后求出切点;.瞬时变化率 导数 (一 )课时目标1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法 .4.理解并掌握开区间内的导数的概念， 会求一个函数的

8、导数1瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫_ s f(t) ，当t 趋近于 0 时，函用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是数 f(t) 在 t0 到 t0 t 之间的平均变化率ft0 t f t0趋近于常数，我们这个常数称为t_2导数的概念y设函数 y f(x) 在区间 (a， b)上有定义， x0 (a，b) ，当x 无限趋近于0 时，比值x_ 无限趋近于一个常数A ，则称 f(x) 在点 x x0 处 _，并称该常数A为 _ ，记作 f (x 0)3函数的导数若 f(x) 对于区间 (a， b)内任一点都可导，则f(x) 在各点的

9、导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x) 的导函数，记作f (x) 4瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t) _.5瞬时加速度是运动物体的速度v(t) 对于时间t 的导数，即a(t) _.一、填空题1任一作直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是 s 3t t2，则物体的初速度是_2设 f(x) 在 xx0 处可导，则当x 无限趋近于0x f x00 时 f x 的值为 _x3一物体的运动方程是 s12时的瞬时速度是 _2at (a 为常数 )，则该物体在 t t04已知 f(x) x2 10，则 f(x) 在 x 3处的瞬时

10、变化率是 _21在 x 1 处的导数是 _5函数 y x x6设函数 f(x) ax3 2，若 f ( 1)3，则 a _.7曲线 f(x) x在点 (4,2) 处的瞬时变化率是 _8已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t) t2 2t2，则在时间间隔 1,1 t内的平均加速度是 _，在 t 1 时的瞬时加速度是 _二、解答题9用导数的定义，求函数y f(x) 1 在 x 1处的导数x;.10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a 5× 105 m/s2 ，枪弹从枪口射出时所用的时间为 1.6× 10 3 s求枪弹射出枪口时的瞬时速度能力提升11已

11、知函数y ax2 bx c，求函数在x 2 处的导数12以初速度 v0 (v0>0) 垂直上抛的物体， t 秒时间的高度为 s(t) v0t 12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度1 利用定义求函数在一点处导数的步骤：(1) 计算函数的增量： y f(x 0 x)f(x 0)y(2) 计算函数的增量与自变量增量x 的比 x.f x x f xy00 时， x0(3) 计算上述增量的比值当x 无限趋近于x无限趋近于 A.2导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度;.常见函数的导数课时目标1.理解各个公式的证明过程，进一步理解运用概念求导数的方法.2.掌握常见函数的导数公式.3.灵活运

12、用公式求某些函数的导数1几个常用函数的导数：(kx b) _；C _ (C 为常数 )；x _；(x2) _；1x _.2基本初等函数的导数公式：(x ) _( 为常数 )(ax) _ (a>0 ，且 a 1)1( logax) xlog ae _ (a>0，且 a 1)(ex) _(ln x) _(sin x) _(cos x) _一、填空题1下列结论不正确的是 _ ( 填序号 )若 y 3，则 y 0；11若 y x，则 y 2x；若 yx，则 y1；2x若 y 3x，则 y 3.122下列结论： ( cos x) sin x； sin 3 cos3；若y x2，则 f (3)

13、 27.其中正确的有 _个(x)，f (x) f(x)， ，f(x) f (x)，n N，则 f(x)3设 f (x) sin x，f(x) f n101021n2 010 _.4已知曲线 y x3 在点 P 处的切线斜率为k，则当 k 3 时的 P 点坐标为 _5质点沿直线运动的路程s与时间t 的关系是 s 5t，则质点在t 4 时的速度为_6若函数y f(x)满足 f( x1) 1 2x x2，则 y f (x) _.7曲线 y cos x 在点 A3处的切线方程为 _ ，268曲线 y x2 上切线倾斜角为的点是 _4二、解答题9求下列函数的导数;.(1)y log4x3 log4x2；

14、(2)y2x2 1(3)y 2sinx2sin2x 1 . 2x；24x10.已知曲线y x2 上有两点 A(1,1)， B(2,4)求：(1)割线 AB 的斜率 kAB；(2)在 1,1 x内的平均变化率；(3)点 A 处的切线斜率kAT；(4)点 A 处的切线方程能力提升11若曲线 f(x) ax5 ln x 存在垂直于y 轴的切线，则实数 a 的取值范围为 _ 12假设某国家在20 年期间的年均通货膨胀率为5%，物价 p(单位：元 )与时间 t(单位：年 )有如下函数关系：p(t) p0(1 5%)t ，其中 p0 为 t 0 时的物价，假定某种商品的 p0 1，那么在第 10 个年头，

15、这种商品的价格上涨的速度大约是多少？ (注 ln 1.05 0.05，精确到 0.01)1求函数的导数，可以利用导数的定义，也可以直接使用基本初等函数的导数公式2对实际问题中的变化率问题可以转化为导数问题解决;.§3.2导数的运算函数的和、差、积、商的导数课时目标1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用求导公式和四则运算法则求函数的导数1两个函数的和(或差 )的导数，等于这两个函数的导数的_，即 f(x) ±g(x) _.2两个函数的积的导数，等于第一个函数的导数乘第二个函数，加上_ ，即 f(x) g·(x) _. 特别地

16、 Cf(x) _( 其中 C 为常数 )3两个函数的商的导数，等于分子的导数与_ 减去 _ 与分子的积，再除以_即 _.一、填空题1已知 f(x) x3 3x ln 3，则 f (x) _.2曲线 y xex1 在点 (0,1)处的切线方程是_ 3已知函数f(x) x4 ax2bx，且 f (0) 13，f ( 1) 27，则 ab _.4曲线 y x(x 1)(x 2)(x 6)在原点处的切线方程为_5曲线 y ex 在点 (2， e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为_6已知函数 f(x) f (4)cos x sin x，则 f(4)的值为 _ 7曲线 C： f(x) sin x

17、ex 2 在 x 0 处的切线方程为 _8某物体作直线运动，其运动规律是s t2 3(t 的单位是秒， s的单位是米 )，则它在t第 4 秒末的瞬时速度应该为_ m/s.二、解答题9求下列函数的导数(1)y 10x；x cos x(2)y x cos x；(3)y 2xcos x 3xlog 2 011x；(4)y x·tan x.2210.求曲线 y x sin x 在点 ( ， )处的切线方程;.能力提升411已知点 P 在曲线 y ex1上， 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则 的取值范围为 _ 12求抛物线yx2 上的点到直线xy 2 0 的最短距离1 理解和掌握求导法则和公

18、式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件2对于一些应用问题如切线、速度等， 可以结合导数的几何意义，利用公式进行计算;.3 1.1平均变化率知识梳理f x2 f x1x2 x1y1.21x x2 x1增量x1 x f(x2 ) f(x1 )xx x2斜率作业设计12 f(x x) f(x )003 42 x解析y f(1 x) f(1) 2(1 x)21 2× 121 4 x 2(x)2，y4 x2 x2xx 4 2 x.s t t s t4.t解析由平均速度的定义可知，物体在t到 t t 这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比所以 v s s t t s t .tt5

19、1解析y f 3 f 1 1 3 1.x3 126 0.417 1解析由平均变化率的几何意义知k 2 11.1 08 4.1sss 2.1 s 2解析质点在区间2,2.1内的平均速度可由t求得，即 v t0.1 4.1.9 解函数 f(x) 在 3， 1上的平均变化率为：f 1 f 3 13 1 22× 1 3 22× 3 6. 2函数 f(x)在 2,4 上的平均变化率为：f 4 f 2422×4 222×24 24.210 解y f(1 x) f(1) (1 x)3 1 3 x 3( x)2 ( x)3，割线 PQ 的斜率yx 3 3x 2 3 xx

20、 3.x ( x) 2 3x当 x 0.1 时，割线 PQ 的斜率为 k，则 k yx(0.1) 2 3× 0.1 3 3.31.当x 0.1 时割线的斜率为3.31.11解乙跑的快因为在相同的时间内，甲跑的路程小于乙跑的路程，即甲的平均速度比乙的平均速度小12 解函数 f(x)在 0， a上的平均变化率为f a f 0a2 2aa 0 a 2.a;.函数 g(x)在 2,3上的平均变化率为g 3 g 2 2×3 3 2×23 2.3 21 a 2 2× 2， a 2.3 1.2瞬时变化率 导数 (二 )知识梳理1曲线 y f(x)上过点 x0 的切线的

21、斜率作业设计1 xy 2 01 1 x 11 x解析y1 x，xxx1 xy当x 无限趋近于0 时，x无限趋近于 1， k 1，切线方程为y1 (x 1)，即 x y 20.2 6解析 y 2x3， yx 2 x x 3 2x3x 2x3 6xx 2 6x2 xx 2(x)26xx 6x2.y当 x无限趋近于0 时，无限趋近于6x2，x点 A(1,2)处切线的斜率为6.3 xy 2 0y 4 x x x x 3 4xx3解析xx 4 ( x)2 3x2 3x( x) ，y当x 无限趋近于0 时，x无限趋近于 43x2， f ( 1) 1.所以在点 ( 1， 3)处的切线的斜率为 k 1，所以切

22、线方程是y x 2.4 4x y 3 0解析与直线 x 4y 8 0 垂直的直线 l 为 4x y m 0，即 yx4 在某一点的导数为4，而 y 4x3，所以 y x4 在 (1,1)处导数为 4，此点的切线方程为4x y 3 0.5 xy 2 0解析y 2 (x)2 3x23x( x)，x当 x 无限趋近于 0 时， yx无限趋近于 23x2， y 2 3x2， k2 3 1.切线方程为 y1 (x 1)，即 x y 20.6. 0，2解析k f( x0)>0 ， tan >0， 0，2 .7 (1,0) 或 ( 1， 4);.解析设 P(x003x2，y， y ) ，由 f(

23、x)xx ( x)2 3x2 3x( x) 1，当x 无限趋近于0 时，y无限趋近于3x2 1.x f (x) 3x2 1，令 f (x0) 4，即 3x2 14，得 x 1 或 x 1，000 P(1,0) 或( 1， 4)18.42 ax2解析ya x xx2ax a x，x当 x 无限趋近于 0 时， 2ax a x 无限趋近于 2ax， f (x) 2ax.设切点为 (x0， y0)，则 f (x0) 2ax0,2ax01，1且 y x 1ax2，解得 x 2， a .000049 解y f x x f xxx4x4，x x xx x x x4 4x x xx当 x 无限趋近于0 时，

24、4无限趋近于42，x x xx即 f (x) 42.xk f (1) 4，切线方程是y 4 4(x1)，即为 4x y 8 0，设 l： 4x yc 0，则 17 |c 8| ，42 12 |c 8| 17， c 9，或 c 25，直线 l 的方程为4xy 9 0 或 4x y 25 0.10 解1上，(2,0)不在曲线 y x1令切点为 (x0， y0)，则有 y0.x0y111又x xx，xxx x x当x 无限趋近于0 时，1无限趋近于 1x x xx2.1 k f (x0)2.x01切线方程为y 2( x2)而 y0 12.x0 2x0由可得x0 1，故切线方程为xy 2 0.y 2

25、1 x 2 211 解x x;. 4 x 2 x 2 4 2 x， x当x 无限趋近于0 时，y无限趋近于 4，x f (1) 4.1所求直线的斜率为k. y 2 1(x 1)，即 x 4y90.412 解 y f(x0 x)f(x0) (x032x)32x) a(x0 x) 9(x01 (x0 ax0 9x0 1) (3x02 2ax0 9) x (3x0 a)(x)2 ( x)3， y 3x02 2ax0 9 (3x0 a)x (x)2.x3.1.2 瞬时变化率 导数 (一 )课时目标1.掌握用极限形式给出的瞬时速度及瞬时变化率的精确定义.2.会用瞬时速度及瞬时变化率定义求物体在某一时刻的

26、瞬时速度及瞬时变化率.3.理解并掌握导数的概念，掌握求函数在一点处的导数的方法.4.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数1瞬时速度的概念作变速直线运动的物体在不同时刻的速度是不同的，把物体在某一时刻的速度叫_ 用数学语言描述为：设物体运动的路程与时间的关系是s f(t) ，当t 趋近于 0 时，函数 f(t) 在 t0 到 t0 t 之间的平均变化率ft0 t f t0趋近于常数，我们这个常数称为t_2导数的概念y设函数 y f(x) 在区间 (a， b)上有定义， x0 (a，b) ，当x 无限趋近于0 时，比值x_ 无限趋近于一个常数A ，则称 f(x) 在点 x x0 处

27、_，并称该常数A为 _ ，记作 f (x 0)3函数的导数若 f(x) 对于区间 (a， b)内任一点都可导，则f(x) 在各点的导数也随着自变量x 的变化而变化，因而也是自变量x 的函数，该函数称为f(x) 的导函数，记作f (x) 4瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t 的导数，即v(t) _.5瞬时加速度是运动物体的速度v(t) 对于时间t 的导数，即a(t) _.一、填空题1任一作直线运动的物体，其位移s 与时间 t 的关系是 s 3t t2，则物体的初速度是_2设 f(x) 在 xx0 处可导，则当x 无限趋近于0 时f x0 x f x0的值为 _x123一物体的运动方程是s

28、 2at (a 为常数 )，则该物体在t t0 时的瞬时速度是_4已知 f(x) x2 10，则 f(x) 在 x 3处的瞬时变化率是_2;.1在 x 1 处的导数是 _5函数 y x x6设函数 f(x) ax3 2，若 f ( 1)3，则 a _.7曲线 f(x) x在点 (4,2) 处的瞬时变化率是 _8已知物体运动的速度与时间之间的关系是：v(t) t2 2t2，则在时间间隔1,1 t内的平均加速度是 _，在 t 1 时的瞬时加速度是 _二、解答题1 在 x 1 处的导数9用导数的定义，求函数 y f(x) x10.枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是 a 5×

29、; 105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为 1.6× 10 3 s求枪弹射出枪口时的瞬时速度能力提升11已知函数y ax2 bx c，求函数在x 2 处的导数12以初速度 v0 (v0>0) 垂直上抛的物体， t 秒时间的高度为 s(t) v0t 12gt2，求物体在时刻 t0 处的瞬时速度;.1 利用定义求函数在一点处导数的步骤：(1) 计算函数的增量： y f(x 0 x)f(x 0)y(2) 计算函数的增量与自变量增量x 的比 x.f x x f xy00 时， x0(3) 计算上述增量的比值当x 无限趋近于x无限趋近于 A.2导数的物理意义是物体在某一时刻的瞬时速度3 1.2瞬时变化率 导数 (一 )知识梳理1瞬时速度瞬时速度f x0 x f x2.0可导函数 f(x)在点 x x0 处的导数x4 S (t) 5.v (t)作业设计1 33 t t 2s s t s 0解析ttt 3 t ，当t 无限趋近于 0时， s无限趋近于 3.2 f (x )t解析0 f x x f x00 f xx0 f x x0 x f x fx x，00x当x 无限趋近于0 时，原式无限趋近于 f (x0)3 at0s s t t s t10解析0 at at0，tt2当t 无限趋近于 0时，s无限趋近于 at0