随机函数变量的分布课件

1、随机函数变量的分布离散型随机变量函数的分布离散型随机变量函数的分布问题的提出问题的提出3.6 3.6 随机变量函数的分布随机变量函数的分布3 3连续型随机变量函数的分布连续型随机变量函数的分布4 4小结小结随机函数变量的分布一、问题的提出一、问题的提出 在实际中，人们常常对随机变量的函数在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣更感兴趣. .42d求截面面积求截面面积 A= 的分布的分布. .比如，已知圆轴截面直径比如，已知圆轴截面直径 d 的分布，的分布，随机函数变量的分布 设随机变量设随机变量 X 的分布已知，的分布已知，Y=g (X) (设设g 是连续函数是连续函数），），如何由如何由

2、X 的分布求出的分布求出 Y 的的分布？分布？下面进行讨论下面进行讨论. . 这个问题无论在实践中还是在理论上都是这个问题无论在实践中还是在理论上都是重要的重要的. .随机函数变量的分布二、离散型随机变量函数的分布二、离散型随机变量函数的分布解：解： 当当 X 取值取值 1，2，5 时时， Y 取对应值取对应值 5，7，13，例例1设设X3 . 055 . 02 . 021求求 Y= 2X + 3 的概率函数的概率函数. . 3013502075.Y而且而且X取某值与取某值与Y取其对应值是两个同时发生的事取其对应值是两个同时发生的事件件，两者具有相同的概率，两者具有相同的概率. .故故随机函数

3、变量的分布如果如果g ( x k) 中有一些是相同的，把它们作适当中有一些是相同的，把它们作适当并项即可并项即可. .一般地，若一般地，若X是离散型是离散型 r.v ，X 的分布律为的分布律为Xnnpppxxx2121则则 Y=g(X)nnpppxgxgxg2121)()()(随机函数变量的分布如：如：X1 . 016 . 03 . 001则则 Y=X2 的分布律为：的分布律为：406010.Y 随机函数变量的分布 设随机变量设随机变量 X 具有以下的分布律，试求具有以下的分布律，试求 Y = (X-1)2 的分布律的分布律. .pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4 解解: :

4、 Y 有可能取的值为有可能取的值为 0，1，4. 且且 Y=0 对应于对应于 ( X-1)2=0， 解得解得 X=1， 所以所以, PY=0=PX=1=0.1,练练习习随机函数变量的分布同理同理, ,PY=1=PX=0+PX=2=0.3+ 0.4=0.7,PY=4= PX= -1= 0.2,pkY 0 1 40.1 0.7 0.2所以，所以，Y=(X-1)2 的分布律为的分布律为：pkX-1 0 1 20.2 0.3 0.1 0.4Y=(X-1)2随机函数变量的分布三、连续型随机变量函数的分布三、连续型随机变量函数的分布 ，其其密密度度函函数数为为是是一一连连续续型型随随机机变变量量，设设xf

5、XX 随随机机变变量量也也是是连连续续型型，我我们们假假定定的的函函数数是是再再设设YXXgY 的的密密度度函函数数我我们们要要求求的的是是yfXgYY 解解 题题 思思 路路 yxgXYdxxfyXgPyYPyFXgY)()(的分布函数的分布函数先求先求 yFyfXgYXgYYY 的的密密度度函函数数关关系系求求之之间间的的的的分分布布函函数数与与密密度度函函数数利利用用分布函数法分布函数法随机函数变量的分布 .,)(其其它它0408xxxfX设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度：试求试求 Y=2X+8 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y =2X+8 的分布函数

6、的分布函数 FY(y)：)(2882 yXPyXPyYPyFY例例2 2随机函数变量的分布可可以以求求得得：利利用用)()()(yfyFYY 2 .,)()()(其它其它04280281612yyyFyfYY228280)28(1618)()(ydxxdxxfyFyyXY .,)(其其它它0408xxxfX随机函数变量的分布 .,)(其其它它0168328yyyfY 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度为的概率密度为：随机函数变量的分布可可以以求求得得：利利用用)()()(yfyFYY 2 .,)()()()(其它其它042802128812828yyyyfyfXY28.)()(yXYdxx

7、fyF .,)(其其它它0408xxxfX随机函数变量的分布 .,)(其其它它0168328yyyfY 整理得整理得 Y=2X+8 的概率密度为的概率密度为：本例用到变限的定积分的求导公式本例用到变限的定积分的求导公式).()()()()(,)()()()(xxfxxfxFdttfxFxx 则则如如果果随机函数变量的分布例例3 3 设随机变量设随机变量 服从正态分布服从正态分布，求求 ),(2 NXXY的密度函数的密度函数. . xexfxX,21)(222)( 解解的的概概率率密密度度为为随随机机变变量量X设设Y Y的分布函数的分布函数为为 ，则则)(yFY( )YFy yXPyXPyYP

8、yxdxe22221)(随机函数变量的分布上式两端对上式两端对y y求导，得求导，得Y Y的密度函数的密度函数)(21)()(222)(yeyFyfyYY),(,2122yey即即 ，称称Y为为X的标准化随机变量的标准化随机变量。) 1 , 0( NY设随机变量设随机变量 服从正态分布服从正态分布，则则 ),(2 NXbaXY 也服从正态分布也服从正态分布，只是参数可能不同只是参数可能不同。随机函数变量的分布设随机变量设随机变量 X 具有概率密度具有概率密度,),(xxfX求求 Y = X 2 的概率密度的概率密度.解：解：(1) 先求先求 Y = X 2 的分布函数的分布函数 FY(y)：.

9、)(,000120 yFyXYY时时故故当当由由于于 yyXYdxxfyXyPyXPyYPyFy.)()(,2002时时当当例例4 4随机函数变量的分布得得：及及变变限限定定积积分分求求导导公公式式利利用用)()()(yfyFYY 2 .,),()()(00021yyyfyfyyfXXY yyXYdxxfyF.)()(随机函数变量的分布 .,)(00021221yyeyyfyY 例如例如, ,设设 XN(0,1),其概率密度为其概率密度为：.,21)(22xexx则则 Y = X 2 的概率密度为的概率密度为：分布。分布。的的服从自由度为服从自由度为此时称此时称21 Y随机函数变量的分布2.公

10、式法公式法上面介绍的分布函数法是求连续型随机变量的函数的上面介绍的分布函数法是求连续型随机变量的函数的概率密度的一般方法概率密度的一般方法. .而对于而对于函数函数 是严格单是严格单调的情形调的情形, ,可用公式直接可用公式直接求求 的概率密度的概率密度. )(xgy )(XgY 定理定理 设设 X fX(x)，y = g(x) 是是 x 的严格的严格 单调函数，记单调函数，记 x = h(y) 为为 y = g(x) 的反函数的反函数, , 且且h(y)连续可导，则连续可导，则Y = g(X)的密度函数为的密度函数为: 其其它它, )()()(0 yyhyhfyfXY其中区间其中区间 ),(

11、为为 Y的值域的值域. . 随机函数变量的分布例例5 5 设设求求 Y =eX 的分布的分布.y = ex 单调可导单调可导, ,反函数反函数 x = h(y) = lny,所以当所以当 y 0 时时, ,| )(|)()(yhyhfyfXY,1)(yyhyyfX1ln21(1ln)yy由此得由此得解：解：)()(211xxfXX 其它yyyypY, 00,)ln1 (1)(2随机函数变量的分布四、小结四、小结 对于连续型随机变量，在求对于连续型随机变量，在求 Y= g (X) 的分布的分布时，时，关键的一步是把事件关键的一步是把事件 g(X) y 转化为转化为X在一在一定范围内取值的形式定范

12、围内取值的形式，从而可以利用，从而可以利用 X 的分布来的分布来求求 P g(X) y .这一节我们介绍了随机变量函数的分布这一节我们介绍了随机变量函数的分布.随机函数变量的分布一一、 设设随随机机变变量量 X 的的 分分布布律律为为：X21013P1/51/61/51/15 11/30求求 Y=X 2的的分分布布律律解解：9 , 4 , 1 , 02 YXY的的所所有有可可能能取取值值为为：0 YP02 XP0 XP5/1 1 YP12 XP11 XXP或或11 XPXP307 4 YP42 XP22 XXP或或22 XPXP5/1 练习题练习题随机函数变量的分布4 YP42 XP22 XXP或或22 XPXP2 XP5/1 9 YP92 XP33 XXP或或33 XPXP3 XP30/11 设设随随机机变变量量 Y 的的分分布布律律为为：Y0149P1/57/30