第五章——第五次课自动控制理论

1、 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 5.5 奈奎斯特稳定判据 5.6 相对稳定性分析 5.7 频域性能指标与时域性能指标之间的关系第五章 频率响应法u 为了使控制系统尽可能地工作，不但要求它能稳定，而且还希望有足够的稳定裕量即具有一定的相对稳定性。相对稳定性也称为稳定裕度。u 对于开环稳定的系统，度量其闭环系统的相对稳定性的方法是通过开环频率特性G(jw)H(jw)曲线与(1，j0)点的接近程度来表征。 一、幅值穿越频率一、幅值穿越频率w wc c与相位交界频率与相位交界频率w wg g 定义：极坐标图穿过负实轴(此时j(w)=

2、180 )对应的频率为相位交界频率，用wg表示； 定义：幅值A(w)=1对应的频率为幅值穿越频率，用wc表示。又称为剪切频率或者增益交界频率。 当频率特性曲线穿过(-1, j0)点时，系统处于临界稳定状态。这时： A(wg)=1, j(wc)=180,wg=wc 。 最小相位系统稳定的条件为：当A(wc)=1时，j(wc)180当j(wg)=180时， A(wg)1定义：相位交界频率时幅频特性的倒数称为增益裕量，用Kg表示11()(j)(j)ggggKAGHwww定义：幅值穿越频率时的相频特性与180之差称为相位裕量，用 g 表示。即)(180)180()(ccwjwjgLg称为对数幅值稳定裕

3、度或增益稳定裕度，由于Lg应用较多，通常直接被称为幅值稳定裕度。在对数坐标图上，采用Lg表示Kg的分贝值)(lg20lg20gggAKLw 二、增益裕量二、增益裕量K Kg g和相位裕量和相位裕量g g显然，当Lg0时，即A(wg)1和g 0时，闭环系统是稳定的；否则是不稳定的。对于最小相位系统，Lg0和g 0是同时发生或同时不发生的，所以经常只用一种稳定裕量来表示系统的稳定裕度。常用相位裕量。增益裕量的理意义：稳定系统在相位交界频率处将幅值增加Kg倍(奈氏图)或增加Lg分贝(波德图)，则系统处于临界状态。若增加的倍数大于Kg倍(或Lg分贝)，则系统变为不稳定。增益裕量是闭环系统达到不稳定前允

4、许开环增益增加的分贝数。相位裕量的物理意义：稳定系统在幅值穿越频率wc处将相角减小g 度，则系统变为临界稳定；再减小，就会变为不稳定。相位裕量是闭环系统达到不稳定前系统开环频率特性在wc点所允许增加的最大相位滞后。g g = j j (w wc) + 180 j01w wcg gG(jw w)对于开环稳定的系统：对于开环稳定的系统： 若若 g g 0，系统的，系统的g g 越大，越大， 系系统的相对统的相对 稳定性越好；稳定性越好；若若g g = 0，系统处于稳定边界；，系统处于稳定边界；若若g g 1，闭环系统稳，闭环系统稳定；定；若若 Kg = 1 ，闭环系统处，闭环系统处于临界稳定；于临

5、界稳定；若若 Kg 6dB相对稳定性较好。 对于开环不稳定的系统，不能用增益裕量和相位裕量来判断其闭环系统的稳定性。 下图同时给出了奈氏图和博德图表示稳定和不稳定系统的相位裕量。( )(10.2 )(10.05 )KG ssss()90arctan0.2arctan0.05180gggj www 9005. 0arctan2 . 0arctanggwwggggwwww05. 02 . 0105. 02 . 0例 某单位反馈系统的开环传递函数为 试求：K = 1时的 Kg 和 g解基于在wg处开环频率特性的相角为 005. 02 . 01ggww10gw22)2010(1lg20)510(1lg

6、2010lg201lg20)(gLwdB2820lg()ggKLw 11cKw，180()76cgj w()90arctan0.2arctan0.05104.17cj w (j )j (1 0.2j )(1 0.05j )KGwwww22111010101()1()520gK 2528dB 三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系三、相对稳定性与对数幅频特性中频段斜率的关系 为使系统具有良好的相对稳定性，一般要求在wc处的开环对数幅频渐近线的斜率为-20dB/dec。 如果该处的斜率小于-20dB/dec，则对应的系统可能为不稳定。或者即使能稳定，但其相位裕量一般会较小。因而稳定性也较差。

7、 令 w1 w3 部分的斜率为-40dB/dec，且设则：1）当w2 w w3，斜率为-20dB/dec ， w1 w w2，斜率为-40dB/dec时，则对应的系统的开环频率特性为它在wc处的相角为323ccwwww213(1j)(j )j (1j)(1j)KGwwwwwwww123()90arctanarctanarctanccccwwwj wwww 90(72 90 )7218108 126 即相位裕量 g 在72 54之间2）当w2 w w3，斜率为 -20 dB/dec ， w1 w w2，斜率为 -40 dB/dec ， w1 w w2，斜率为 -60 dB/dec时，则对应的系统

8、的开环频率特性为它在wc处的相角为2211j(j )j1jKGwwwwww12()902arctanarctancccwwj www 90(144 180 )72162 198 即相位裕量 g 在18 18之间说明：条件只是必要而非充分的。作业 pp.218-219: 5-13 5.1 频率特性 5.2 对数坐标图 5.3 极坐标图 5.4 用频率法辨识线性定常系统的数学模型 5.5 奈奎斯特稳定判据 5.6 相对稳定性分析 5.7 频域性能指标与时域性能指标之间的关系第五章 频率响应法u 频域性能指标：频域性能指标：幅值穿越频率，相位交界频率，相位裕量，增益裕量， 谐振峰值， 系统带宽和截止

9、频率。u二阶系统时域性能指标与频域性能指标的关系二阶系统时域性能指标与频域性能指标的关系 频率响应法是通过系统的开环频率特性和闭环频率特性的一些特征量间接的表征系统的瞬态响应的性能，因而这些特征量又被称为频域性能指标。闭环系统的频域性能指标反映控制系统跟踪控制输入信号和抑制干扰信号的能力。 一、闭环频率特性及其特征量一、闭环频率特性及其特征量对于单位反馈系统，其闭环传递函数为)(sR)(sC)(sG1( )( )1( )G ssG s对应的闭环频率特性为j()(j )(j )( )1(j )GMeG wwwww上式描述了开环频率特性与闭环频率特性之间的关系。式中，G0(s)不含有积分和比例环节

10、，且00( )( )( )( )vKG sC sR ssKG s则有设单位反馈系统的开环传递函数为0( )( )vKG sG ss当v = 0时，闭环幅频特性的零频值为0lim( )1sG s0000(j )(0)lim1(j )(j )1KGKMKGKwwww当v = 1时，闭环幅频特性的零频值为0100(j )(0)lim1(j )(j )KGMKGwwww说明：0型与I型及以上系统零频值M(0)的差异，反映了它们跟随阶跃输入时稳态误差的不同，前者有稳态误差，后者没有稳态误差。图为M(0)=1时闭环对数幅频特性的一般形状。当闭环对数幅频特性下降到零频值以下3 dB时，对应的频率称为截止频率

11、（或称带宽频率），即有bb(j)(j0)3dB(j)(j0)GCRRww对应于闭环幅频值不低于-3dB的频率范围 0 w wb，通常称为系统的频带宽度。例：设有两个控制系统，他们的传递函数分别为系统的频带宽度反映系统复现输入信号的能力，频带越宽，系统瞬态响应速度越快，对输入信号的跟随性能越好，调整时间越短，但是系统抑制高频的能力会降低。 1111CsRss 22131CsRss和试比较两个系统带宽的大小，并比较一下其相应速度及对信号的跟随能力。如图所示，二阶系统的闭环传递函数为222( )( )2nnnC sR ssswww对应的频率特性为式中 二、二阶系统时域响应与频率响应的对应关系二、二阶

12、系统时域响应与频率响应的对应关系22j1j(1)j2jnnCMeRwwwwww2222221( )arctan1(1)(2)nnnnMwwwwwwwww ，102当时，有212rnww 1: 超调量和谐振峰值221211112rrMM21exppM221exp1rrprrMMMMM,prprMMMM都是 的函数，均随减小而增大，显然，对于同一个系统时域内的频域内221111221rrMM2exp1pM212rnwwrsnsttww221)43(432: 调整时间和峰值时间与谐振频率和截止频率时，当bww21)2()(22222nbbnnwwwww1)21 (21222wwnbbstw1)21

13、(21)43(222谐振频率，截止频率越大，则系统的响应速度越快。2222112,1211prnprnttwwwwnw，时，当1)(ccjGwww1422242nccnwwww24214wwnc242412arctan90902arctan90)(wwwjncc242412arctang2 .596 . 0g3: 穿越频率g05. 060; 2 . 045ppMMgg相位裕量越大，最大超调量越小，系统的稳定性越好。22( )2nnG sssww成反比与cscsnstttwww22214)43(43结论： 穿越频率反映了系统的快速性，穿越频率越大，系统的快速性越好。24214wwnc本 章 小

14、结三、闭环系统的性能分析三、闭环系统的性能分析 5.6-7一、频率特性一、频率特性 概念概念 表示方法表示方法 极坐标图极坐标图 5.3 对数坐标图对数坐标图 5.2,5.4二、奈奎斯特稳定判据二、奈奎斯特稳定判据 5.51 频率特性是线性定常系统在正弦函数作用下，稳态输出与输入之比对频率的关系，频率特性也是一种数学模型。 频率特性是传递函数的一种特殊形式。将系统（或环节）传递函数中的s 换成纯虚数，得系统（或环节）的频率特性。2 典型环节的频率特性3 Nyquist判据是利用系统开环幅相频率特性判断闭环系统稳定性的图解法。可用于判断闭环系统的稳定性，也能计算系统的相对稳定指标和改善系统性能的方法。4 频率特性分析法是一种图解分析法，用这种方法研究分析控制系统时，可免除许多复杂而又