2013高三物理专题复习：带电粒子在匀强磁场中的运动

1、专题复习：带电粒子在匀强磁场中的运动 第一部分：基础知识 一、洛仑兹力的方向、大小及回旋角、弦切角等的关系 1 1、在不计带电粒子（如电子、质子、 ：粒子等基本粒子）的重力的条件下，带电粒子在 匀强磁场有三种典型的运动，它们决定于粒子的速度（ v v）方向与磁场的磁感应强度（B B）方 向的夹角（日）。 （1 1） 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行时， 粒子不受洛仑兹力作用而作匀速直线运 动。 （2 2） 若粒子的速度方向与磁场方向垂直， 则带电粒子在垂直于磁感线的平面内以入射速 度 v v 作匀速圆周运动，其运动所需的向心力全部由洛仑兹力提供。 （3 3） 若带电粒子的速度方向与磁场方向成

2、一夹角 0（0* 0 0 0* 9090 则粒子的运动轨迹 是一螺旋线（其轨迹如图）：粒子垂直磁场方向作匀速圆周运动， 平行磁场方向作匀速运动， 螺距 S=v/ TS=v/ To 2 2、带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的几个基本公式 向心力公式: 轨道半径公式: 周期、频率和角频率公式: 2 2f 动能公式: T T、f f 和，的两个特点 第一、T T、 f f 的.的大小与轨道半径（R R）和运行速率（V V）无关，而只与磁场的磁感应强 度（B B）和粒子的荷质比（q/m q/m ）有关。 第二、荷质比（q/m q/m ）相同的带电粒子，在同样的匀强磁场中， T T、f f 和.相同。

3、 在分析和解答带电粒子作匀速圆周运动的问题时，除了应熟悉上述基本规律之外，还必 洛仑兹力作用下，一个作匀速圆周运动的粒子，不论沿顺时针方向还是逆时针方向，从 点运动到 B B 点，均具有三个重要特点。 第一、轨道圆心（0 0）总是位于 A A、B B 两点洛仑兹力（f f）的交点上或 ABAB 弦的中垂线（00 00 ） 与任一个 f f 的交点上。 3 3、带电粒子的轨道圆心（0 0）、速度偏向角（ 的夹角、回旋角（：） 一段圆弧所对应的圆心角叫回旋角、和弦切角（ 的端点处的切线之间的夹角叫弦切角。 刃圆弧的弦与过弦 须掌握确定轨道圆心的基本方法和计算 如图 6 6 所示, 第二、粒子的速度

4、偏向角（ ），等于回旋角（），并等于 ABAB 弦与切线的 ）是指末速度与初速度之间 A 和 T 的定量关系。 第三、相对的弦切角（9 9 相等，与相邻的弦切角（r ）互补，即二+二=180=180 二、电偏转”与磁偏转”的比较 1 1、概念：带电粒子垂直电场方向进入匀强电场后，在电场力作用下的偏转叫 电偏转 带电粒子垂直磁场进入匀强磁场后，在洛伦兹力作用下的偏转叫 磁偏转” 2 2、电偏转”和磁偏转”的比较。 （1 1 ）带电粒子运动规律不同。电偏转中：粒子做类平抛运动，轨迹为抛物线，研究方法 为运动分解和合成，加速度 a a= Eq/mEq/m, ,（粒子的重力不计）侧移量（偏转量）y y

5、= atat2/2/2= qEtqEt2/2m /2m ； 磁偏转中：带电粒子做匀速圆周运动，从时间看 T=2T=2n m/qB,m/qB,从空间看：R=mv/qBR=mv/qB。 （2 2）带电粒子偏转程度的比较。 1 1 电偏转：偏转角（偏向角） %= tan tan （WVWVx） = tan tan （ Eqt/mvEqt/mvo）,由式中可知：当偏转区 域足够大，偏转时间 t t 充分长时，偏转角 EE接近 n2 2,但不可能等于 n2 2。磁偏转的偏转角 电 =wt= Vt/r Vt/r = qBt/mqBt/m，容易实现 0 0 n角的偏转 三、带电粒子在有界匀强磁场中运动的问题

6、 有界匀强磁场是指在局部空间内存在着匀强磁场。对磁场边界约束时，可以使磁场有着 多种多样的边界形状，如：单直线边界、平行直线边界、矩形边界、圆形边界、三角形边界 等。这类问题中一般设计为： 带电粒子在磁场外以垂直磁场方向的速度进入磁场， 在磁场内 经历一段匀速圆周运动后离开磁场。 粒子进入磁场时速度方向与磁场边界夹角不同， 使粒子 运动轨迹不同，导致粒子轨迹与磁场边界的关系不同，由此带来很多临界问题。 1 1、基本轨迹。 （1 1 ）单直线边界磁场（如图 1 1 所示）。 带电粒子垂直磁场进入磁场时。 、 一一 = =2 n n = = . .t t。 夹角一一弦切角（-） 如果垂直磁场边界进

7、入，粒子作半圆运动后垂直原边界飞出； 如果与磁场边界成夹角 B进入，仍以与磁场边界夹角 B飞出(有两种轨迹，图 1 1 中若 两轨迹共弦，则 0 10 2 (2 2)平行直线边界磁场(如图 2 2 所示)。 带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， 速度较小时，作半圆运动后从原边界飞出； 速度增加为某临界值时，粒子作部分圆周运动其轨迹与另一边界相切； 速度较大 时粒子作部分圆周运动后从另一边界飞出。 (3)(3) 矩形边界磁场(如图 3 3 所示)。 带电粒子垂直磁场边界并垂直磁场进入磁场时， 速度较小时粒子作半圆运动后从原边界飞出； 速度在某一范围内时从侧面边界飞出； 速度为某临界值时，粒

8、子作部分圆周运动其轨迹与对面边界相切； 速度较大时粒子作部分圆周运动从对面边界飞出。 (4 4 )带电粒子在圆形磁场区域中做匀速圆周运动的几个特点。 特点 1 1 入射速度方向指向匀强磁场区域圆的圆心，则出射速度方向的反向延长线必过 该区域圆的圆心。 例 1 1。如图 1 1,圆形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B B,现有一电 荷量为 q q，质量为 m m 的正离子从 a a 点沿圆形区域的直径入射，设正离子射出磁场区域方向 与入射方向的夹角为 解析：设正离子从磁场区域的 b b 点射出，射出速度方向的延长线与入射方向的直径交 点为 0 0,如图 2,2,正离子在磁场中运动

9、的轨迹为一段圆弧， 该轨迹圆弧对应的圆心 O O 位于初、 末速度方向垂线的交点，也在弦 abab 的垂直平分线上，O O b与区域圆相切，弦 abab 既是轨迹圆 弧对应的弦，也是区域圆的弦，由此可知， 0000 就是弦 abab 的垂直平分线，0 0 点就是磁场区域 圆的圆心。 离子在磁场中完成了 1/61/6 圆周，即 1 1 nm t T - 6 3qB 特点 2 2 入射速度方向（不一定指向区域圆圆心）与轨迹圆弧对应的弦的夹角为 域圆的圆心都在弧弦的垂直平分线上。 如图 3 3,带电粒子从 a a 点射入匀强磁场区域，初速度方向不指向区域圆圆心，若出射点又因为四边形 OabOOabO

10、 的四个角之和为 ，则出射速度方向与入射速度方向的偏转角为 并且初末速度方向的交点、轨迹圆的圆心、区 ，可推出 ，因此，正 轨迹圆弧对应的圆心角也为 入射速度方向与该中垂线的交点为 d d，可以证明：出射速度方向的反向延长线也过 d d 点，0 0、 d d、OO都在弦 abab 的垂直平分线上。 如果同一种带电粒子，速度方向一定、速度大小不同时，出射点不同，运动轨迹对应的 为 b b，轨迹圆的圆心 O O 在初速度 例 2 2。如图 4 4 所示，在 xOyxOy 坐标系第一象限内有一个与 磁场，磁感应强度为 B,B,方向垂直纸面向外， 带电粒子（不计重力）质量为 x x 轴相切于 Q Q

11、点的圆形有界匀强 m m,带电荷量 abab 的垂直平分t需 也不同，则 问：在第一象限内圆形磁场区域的半径多大? 分析：根据上述特点 2 2 可知，速度偏转角为 为+q+q，以初速度 经过该圆形有界磁 场时，速度方向偏转了 那么弦切角就为 ，我们可以先做出弦，并且弦一定过 Q Q 点，因此，做出过 Q Q 点且平行于 y y 也可在图 4 4 中体会一下，如果区域圆半径过大或过小，弦(入射点和 发生变化，可以看出弦切角不再是 2 2 .基本方法。 带电粒子在匀强磁场中作部分圆周运动时，往往联系临界和多解问题，分析解决这类问 题的基本方法是： (1)(1) 运用动态思维，确定临界状态。从速度的

12、角度看，一般有两种情况： 粒子速度方向不变，速度大小变化；此时所有速度大小不同的粒子，其运动轨迹的圆 心都在垂直于初速度的直线上，速度增加时，轨道半径随着增加，寻找运动轨迹的临界点(如: 与磁场边界的切点，与磁场边界特殊点的交点等) ； 粒子速度大小不变，速度方向变化；此时由于速度大小不变，则所有粒子运动的轨道 半径相同，但不同粒子的圆心位置不同， 其共同规律是：所有粒子的圆心都在以入射点为圆 心，以轨道半径为半径的圆上，从而找出动圆的圆心轨迹，再确定运动轨迹的临界点。 (2)(2) 确定临界状态的圆心、 半径和轨迹，寻找临界状态时圆弧所对应的回旋角求粒子的轴的直线, AQAQ 就是弦，又因为

13、 区域圆在 Q Q 点与 x x 轴相切，AQAQ 也是区域圆的直径，如图 4 4。轨迹圆心为 Q Q，圆心角为60。， 为等边三角形，半径 Q Q 点的连线)也会 A A, A A 点就是入射点， 所以圆形磁场区域的半径为 30，那么偏转角也就不会是 运动时间（见前一课时）。 四带电粒子在匀强磁场运动的多解问题 带电粒子在匀强磁场中运动时，可能磁场方向不定、电荷的电性正负不定、磁场边界的 约束、临界状态的多种可能、运动轨迹的周期性以及粒子的速度大小和方向变化等使问题形 成多解。 1 1 带电粒子的电性不确定形成多解。 当其它条件相同的情况下， 正负粒子在磁场中运动 的轨迹不同，形成双解。 2

14、 2 .磁场方向不确定形成多解。当磁场的磁感应强度的大小不变，磁场方向发生变化时， 可以形成双解或多解。 3 3 .临界状态不唯一形成多解。 带电粒子在有界磁场中运动时， 可能出现多种不同的临界 状态，形成与临界状态相对应的多解问题。 4 4 .带电粒子运动的周期性形成多解。粒子在磁场中运动时，如果改变其运动条件（如： 加档板、加电场、变磁场等）可使粒子在某一空间出现重复性运动而形成多解 五.磁场最小范围问题 近年来高考题中多次出现求圆形磁场的最小范围问题，这类问题的求解方法是：先依据 题意和几何知识，确定圆弧轨迹的圆心、 半径和粒子运动的轨迹， 再用最小圆覆盖粒子运动 的轨迹（一般情况下是圆

15、形磁场的直径等于粒子运动轨迹的弦） ，所求最小圆就是圆形磁场 的最小范围 第二部分：带电粒子在复合场中运动的应用 一.速度选择器原理 速度选择器是近代物理学研究中常用的一种实验工具，其功能是为了选择某种速度的带 电粒子 1.1. 结构：如图所示 （1 1） 平行金属板 M M、N N,将 M M 接电源正极，N N 板接电源负极，M M、N N 间形成匀强电场， 设场强为 E E； （2 2） 在两板之间的空间加上垂直纸面向里的匀强磁场，设磁感应强度为 B B; （3 3） 在极板两端加垂直极板的档板，档板中心开孔 3 3、孔 S S、$水平正对。 2 2 .原理 工作原理。设一束质量、电性、

16、带电量、速度均不同的粒子束（重力不计） ，从 S S 孔垂 直磁场和电场方向进入两板间， 当带电粒子进入电场和磁场共存空间时， 同时受到电场力和 洛伦兹力作用 0 4- 由此可见，尽管有一束速度不同的粒子从 S Si孔进入，但能从 S S2孔飞出的粒子只有一种速度, 而与粒子的质量、电性、电量无关 (3)(3) 使粒子匀速通过选择器的两种途径 变，但不能同时改变三个或者其中任意一个的方向， 否则将破坏速度选择器的功能。 F电二 Eq, F洛洛二二 Bq Eq = Bq S2孔飞出。 3 3 .几个问题 (1 1)粒子受力特点 电场力 F F 与洛仑兹力 f f 方向相反 (2(2)粒子匀速通过

17、速度选择器的条件 带电粒子从小孔 S Si水平射入，匀速通过叠加 场，并从小孔 S S2水平射出，电场力与洛仑兹力平衡, 即Eq 二 Bq 定时一一调节 E E 和 B B 的大小; ; 的大小；根据匀速运动的条件和功能关系, 1 m E 2。 = - | 2 q B 将 V。、E、B B 三者中任意两个量的方向同时改 即：当粒子的速度 不发生偏转，可以从 U U 当V。 (5 5)如果粒子从 S Sb孔进入时，粒子受电场力和洛伦兹力的方向相同，所以无论粒子多 大的速度，所有粒子都将发生偏转 电势能增加， 有 1 2 mvo 2 qE：d mv F F 做正功 粒子动能增加, 电势能减少， 有

18、 质谱仪主要用于分析同位素， 测定其质量， 荷质比和含量比， 如图所示为一种常用的 质谱仪 1 1 质谱仪的结构原理 T旷 b U :C JIN d ；S2 X I X A B0；x （1 1） 离子发生器 0 0（0 0 中发射出电量 q q、质量 m m 的粒子，粒子从 A A 中小孔 S S 飘出时速度 大小不计；） （2 2） 静电加速器 C C：静电加速器两极板 M M 和 N N 的中心分别开有小孔 S S、粒子从 S Si 进入后，经电压为 U U 的电场加速后，从 S S2孔以速度 v v 飞出； （3 3） 速度选择器 D D:由正交的匀强电场 E E0和匀强磁场 B Bo构

19、成，调整 E Eo和 B Bo的大小可以 选择度为 v v0= E E0/B/Bo的粒子通过速度选择器，从 S S3孔射出； （4 4）偏转磁场 B B：粒子从速度选择器小孔 0 射出后，从偏转磁场边界挡板上的小孔 Q Q 进入，做半径为 r r 的匀速圆周运动； （5 5）感光片 F F:粒子在偏转磁场中做半圆运动后，打在感光胶片的 P P 点被记录，可以测 得 P0P0 间的距离 L L。装置中 S S 0、S S2、&、0 五个小孔在同一条直线上 2 2 问题讨论： 设粒子的质量为 m m、带电量为 q q （重力不计）， 粒子经电场加速由动能定理有： 1 ； qU = _ mu

20、2 2 粒子在偏转磁场中作圆周运动有： L=2m ； Bq 另一种表达形式 8U q 8U m B2L2 同位素荷质比和质量的测定 ：粒子通过加速电场，通过速度选择器, 根据匀速运动的条 件： E。若测出粒子在偏转磁场的轨道直径为 L L,则 v L = 2R = B0 Bq B0 Bq 2mv 2mE，所以 同位素的荷质比和质量分别为 q 2E B0BqL ;m m B0BL 2E 联立解得: 2, 2 qB L 三磁流体发电机 磁流体发电就是利用等离子体来发电。 1 1 等离子体的产生：在高温条件下（例如 2000K2000K）气体发生电离，电离后的气体中含有 离子、电子和部分未电离的中性

21、粒子，因为正负电荷的密度几乎相等，从整体看呈电中性， 这种高度电离的气体就称为等离子体，也有人称它为 物质的第四态”。 2.2. 工作原理 磁流体发电机结构原理如图（1 1）所示，其平面图如图（2 2）所示。M M、N N 为平行板电极， 极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场， 让等离子体平行于极板从左向右高速射入极板间， 由 于洛伦兹力的作用，正离子将向 M M 板偏转，负离子将向 N N 板偏转，于是在 M M 板上积累正电 荷，在 N N 板上积累负电荷。这样在两极板间就产生电势差，形成了电场，场强方向从 M M 指 向 N N，以后进入极板间的带电粒子除受到洛伦兹力 之外，还受到电场力 的

22、作用，只 F洛 F电 要 ，带电粒子就继续偏转，极板上就继续积累电荷，使极板间的场强增加，直到 匸洛 F电 带电粒子所受的电场力 与洛伦兹力 大小相等为止。此后带电粒子进入极板间不再偏 F电 F洛 转，极板上也就不再积累电荷而形成稳定的电势差 3 3 电动势的计算：设两极板间距为 d d,根据两极电势差达到最大值的条件 F洛=卩电，即 E _ B dB 四回旋加速器 19321932 年美国物理学家劳伦斯发明的回旋加速器， 是磁场和电场对运动电荷的作用规律在 科学技术中的应用典例， 也是高中物理教材中的一个难点， 其中有几个问题值得我们进一步 探讨 回旋加速器是用来加速带电粒子使之获得高能量的

23、装置。 1 1 回旋加速器的结构。回旋加速器的核心部分是两个D D 形金属扁盒（如 盒之间留有一条窄缝，在窄缝中心附近放有粒子源 在巨大的电磁铁的两极之间，匀强磁场方向垂直于 高频电源的两极上。 0 0 放射出的带电粒子，经两 D D 形盒间 在洛伦兹力的作用下做匀速圆周运动， 经磁场偏转半个周期后又回到窄缝。 此时窄缝间的电场方向恰好改变， 带电粒子在窄缝中再 一次被加速，以更大的速度进入另一 D D 形盒做匀速圆周运动 ,这样，带电粒子不断被加 速，直至它在 D D 形盒内沿螺线轨道运动逐渐趋于盒的边缘，当粒子达到预期的速率后，用 特殊装置将其引出。 3 3 .冋题讨论。 (1 (1 )高

24、频电源的频率 加速，运动速度不断增加， 在磁场中运动半径不断增大， 但粒子在磁场中每运动半周的时间 不变。由于窄缝宽度很小，粒子通过电场窄缝的时间很短，可以忽略不计，粒 子运动的总时间只考虑它在磁场中运动的时间。 因此，要使粒子每次经过窄缝时都能被加速 的条件是：高频电源的周期与带电粒子运动的周期相等(同步) ，即高频电源的频率为 ，才能实现回旋加速。 f电二亜 D D 形盒的半径 R R 一定，粒子在 D D 形盒中加速的最后半周的半径为 R,R,由 momo彳 Bqu = - R 子不做功，但 E E 却与 B B 有关; m： 2 ，由此可知，加速电压的高低只会影响带电粒子加速的总次数,

25、 E 2 并不影响回旋加速后的最大动能。 (3 3)能否无限制地回旋加速。 由于相对论效应，当带电粒子速率接近光速时，带电粒子的质量将显著增加，从而带电 粒子做圆周运动的周期将随带电粒子质量的增加而加长。如果加在 D D 形盒两极的交变电场 的周期不变的话，带电粒子由于每次迟到”一点，就不能保证粒子每次经过窄缝时总被加速。 因此，同步条件被破坏，也就不能再提高带电粒子的速率了 粒子在加速器中运动的时间:可知 V BqR，所以带电粒子的最大动能 m mu E工 2 B2Q2R2。虽然洛伦兹力对带电粒 2m 0 0。D D 形盒装在真空容器中，整个装置放 D D 形盒的底面。把两个 D D 形盒分

26、别接到 2 2 .回旋加速器的工作原理。如图所示，从粒子源 D D 形盒内， 此时窄缝间的电场方向恰好改变, D D 形盒做匀速圆周运动 带电粒子在匀强磁场中运动的周期 2m 。带电粒子运动时，每次经过窄缝都被电场 T 二 Bq 的电场加速后，垂直磁场方向进入某一 (2) 粒子加速后的最大动能 E E由于 由于 nqU 设加速电压为 U U,质量为 m m、带电量为 q q 的粒子共被加速了 n n 次，若不计在电场中运动 的时间，有: 【例题】有一回旋加速器，两个 D D 形盒的半径为 R,R,两 D D 形盒之间的高频电压为 U U,偏 转磁场的磁感强度为 B B。如果一个 a 粒子和一个

27、质子，都从加速器的中心开始被加速，试求 它们从 D D 形盒飞出时的速度之比。 错解：当带电粒子在 D D 形盒内做圆周运动时，速率不变。当带电粒子通过两个 D D 形盒之 间的缝隙时，电场力对带电粒子做功， 使带电粒子的速度增大。 设带电粒子的质量为 m m,电 荷为 q q,在回旋加速器中被加速的次数为 n n,从 D D 形盒飞出时的速度为 V V,根据动能定理有： 1 ，解得 nqU -mV2 V 二 nq m 由上式可知，带电粒子从 D D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比的平方根成正比，所 以冬=1。 必一 2 分析纠错：上法中认为 a粒子和质子在回旋加速器内被加速的次数相同的，

28、是造成错解 的原因。因带电粒子在 D D形盒内做匀速圆周运动的向心力是由洛仑兹力提供的，对带电粒 子飞出回旋加速器前的最后半周，根据牛顿第二定律有： 所以 nqU 二 E 2 2 B qR max 2m 2mU 又因为在一个周期内带电粒子被加速两次，所以粒子在磁场中运动的时间 时间 t磁 2 n 二 BR =T = - U 若计上粒子在电场中运动的时间，则粒子在两 速直线运动，设间隙为 d d,有： nd也t电 md 所以 - nd2m BdR t电= ；qU U 故粒子在回旋加速器中运动的总时间为 D D 形盒间的运动可视为初速度为零的匀加 BR（2 d 二 R） 2U 因为Rd，所以t磁

29、磁 t电 故粒子在电场中运动的时间可以忽略 qBV=m吃解得八BRQ R m 因为 B B、R R 为定值，所以带电粒子从 D D 形盒飞出时的速度与带电粒子的荷质比成正比。 因 a粒子的质量是质子质量的 4 4 倍，a 粒子的电荷量是质子电荷量的 五.霍尔效应 1.1. 霍尔效应。金属导体板放在垂直于它的匀强磁场中，当导体板中通过电流时，在平行 于磁场且平行于电流的两个侧面间会产生电势差，这种现象叫霍尔效应。 2 2 霍尔效应的解释。如图，截面为矩形的金属导体，在 x方向通以电流 I,在 z方向加 磁场 E,导体中自由电子逆着电流方向运动。 由左手定则可以判断， 运动的电子在洛伦兹力 作用下

30、向下表面聚集，在导体的上表面 A A 就会出现多余的正电荷，形成上表面电势高，下 表面电势低的电势差，导体内部出现电场，电场方向由 A A 指向 A A，以后运动的电子将同时 受洛伦兹力 和电场力 作用，随着表面电荷聚集，电场强度增加， 也增加，最终会 F洛 F电 F电 使运动的电子达到受力平衡（ ）而匀速运动，此时导体上下两表面间就出现稳定 F洛=F电 的电势差。 3 3 .霍尔效应中的结论。 设导体板厚度为 h h（y y 轴方向）、宽度为 d d、通入的电流为 I I,匀强磁场的磁感应强度为 B B, 导体中单位体积内自由电子数为 n n,电子的电量为 e e,定向移动速度大小为 v v

31、，上下表面间 的电势差为 U U; （1）由 Uq = U =Bh 。 Bq h （2 2）实验研究表明，U U、I I、B B 的关系还可表达为 ，k k 为霍尔系数。又由电 U =k旦 d 流的微观表达式有：|二门es - nehd：。联立 尔系数的测定来确定导体内部单位体积内自由电子数。 度v切割磁感线所产生的感应电动势E感二Bh- 六电磁流量计 电磁流量计是利用霍尔效应来测量管道中液体流量（单位时间内通过管内横截面的液体4 4 倍，故有: 式可得 i。由此可通过霍 k = ne （3 3 ）考察两表面间的电势差 U = Bh：，相当于长度为 h h 的直导体垂直匀强磁场 B B 以速

32、的体积）的一种设备。其原理为: 如图所示 圆形管道直径为 d d （用非磁性材料制成），管道内有向左匀速流动的导电液体，在管道所 在空间加一垂直管道向里的匀强磁场， 设磁感应强度为 B B;管道内随液体一起流动的自由电 荷（正、负离子）在洛伦兹力作用下垂直磁场方向偏转，使管道上 abab 两点间有电势差，管 道内形成电场；当自由电荷受电场力和洛伦兹力平衡时， abab 间电势差就保持稳定，测出 abab 间电势差的大小 U U,则有： 故管道内液体的流量 第三部分：题型解析，综合提升解题能力 磁感强度 B B 是磁场中的重要概念，求解磁感强度的方法一般有：定义式法、矢量叠加法 等。 【例题】如

33、图中所示，电流从 A A 点分两路通过对称的环形分路汇合于 B B 点，在环形分路 的中心 0 0 处的磁感强度（） A.A. 垂直环形分路所在平面，且指向 纸内”。 B.B. 垂直环形分路所在平面，且指向 纸外”。 C.C. 在环形分路所在平面内指向 B B。 D.D. 磁感强度为零。 解析：利用微元法”把圆周上电流看成是由无数段直导线电流的集合，由安培定则可 知在一条直径上的两个微元所产生的磁感强度等大反向，由矢量叠加原理可知中心 0 0 处的 磁感强度为零，即 D D 选项正确。 【例题】电视机显象管的偏转线圈示意图如图所示，某时刻电流方向如图所示。则环心 0 0 处的磁场方向为（）U

34、Bqjq Bd .2 c 兀d =S 二： 4 U Bd -： 4B A.A. 向下 B.B. 向上 C.C. 垂直纸面向里 D.D. 垂直纸面向外 解析：对于左右两个螺线管分别由安培定则判得上方均为磁场北极，下方均为磁场南 极，所以环心 0 0 处的磁场方向为向下，即 A A 选项正确。 【例题】安培秤如图所示，它的一臂下面挂有一个矩形线圈，线圈共有 悬在均匀磁场 B B 内，下边一段长为 L L,它与 B B 垂直。当线圈的导线中通有电流 码使两臂达到平衡；然后使电流反向，这时需要在一臂上加质量为 再达到平衡。求磁感强度 B B 的大小。 强度B=。 2NLI 分析导体在安培力作用下的运动

35、 判别物体在安培力作用下的运动方向，常用方法有以下四种: 1 1、电流元受力分析法：即把整段电流等效为很多段直线电流元， 段电流元受安培力方向，从而判出整段电流所受合力方向，最后确定运动方向。 2 2、特殊值分析法：把电流或磁铁转到一个便于分析的特殊位置 安培力方向，从而确定运动方向。 3 3、等效分析法：环形电流可以等效成条形磁铁、条形磁铁也可等效成环形电流、通电螺 线管可等效成很多的环形电流来分析。 4 4、推论分析法： 两电流相互平行时无转动趋势，方向相同相互吸引，方向相反相互 排斥；(2)(2)两电流不平行时有转动到相互平行且方向相同的趋势。 【例题】如图所示，把一通电直导线放在蹄形磁

36、铁磁极的正上方，导线可以自由移动，N N 匝，它的下部 I I 时，调节砝 m m 的砝码，才能使两臂 解析：根据天平的原理很容易得出安培力 F =2mg ，所以 F=NBLI=F=NBLI=1 ，因此磁感 2 mg 先用左手定则判出每小 ( (如转过 90 90 后再判所受 当导线通过电流 I I 时，导线的运动情况是( C C)( (从上往下看) ) A.A. 顺时针方向转动，同时下降 B.B. 顺时针方向转动，同时上升 C.C. 逆时针方向转动，同时下降 D.D. 逆时针方向转动，同时上升 【例题】如图所示，两平行光滑导轨相距为 L=20cm,L=20cm,金属棒 MNMN 的质量为 m

37、=10gm=10g，电阻 R R=8Q,=8Q,匀强磁场磁感应强度 B B 方向竖直向下，大小为 B=0.8TB=0.8T,电源电动势为 E=10V,E=10V,内阻 r=1 r=1 Q 当电键 S S 闭合时，MNMN 处于平衡，求变阻器 R1R1的取值为多少？( (设 0 =45 =45 ) 解析：根据左手定则判出安培力方向，再作出金属棒平衡时的受力平面图如图 7 7。 当 MNMN 处于平衡时， 根据平衡条件有: mgsin mgsin - -BILcos BILcos 0 =0=0 由闭合电路的欧姆定律得： 由上述二式解得： 可见，解此类题的关键是正确画出最便于分析的平面受力图。 【例

38、题】长 L=60cmL=60cm 质量为 m=6.0m=6.0X 10102kgkg，粗细均匀的金属棒，两端用完全相同的弹簧挂 起，放在磁感强度为 B=0.4TB=0.4T,方向垂直纸面向里的匀强磁场中， 如图 8 8 所示，若不计弹簧重 力，问 要使弹簧不伸长，金属棒中电流的大小和方向如何 ？(2)(2)如在金属中通入自左向右、 大小为 l=0.2Al=0.2A 的电流，金属棒下降x1=1cm=1cm,若通入金属棒中的电流仍为 0.2A0.2A，但方向相反, I I 这时金属棒下降了多少 ？ XgX s XgX 解析：（1 1）要使弹簧不伸长，则重力应与安培力平衡，所以安培力应向上，据左手定

39、则 可知电流方向应向右，因 mg=BLImg=BLI，所以 l=mg/BL=2.l=mg/BL=2.5A5A。 （2 2）因在金属中通入自左向右、大小为 I Ii=0.2A=0.2A 的电流，金属棒下降 x xi=1m m=1m m,由平衡条件 得：mg=BLI+2kximg=BLI+2kxi。 当电流反向时，由平衡条件得： mg=mg=- -BLI+2kxBLI+2kx2。 解得： xmg BLI X1 ,16cm mg - BLI 与地磁场有关的电磁现象综合问题 1.1.地磁场中安培力的讨论 【例题】已知北京地区地磁场的水平分量为 3.03.0X 10 10 _ 5T若北京市一高层建筑安装

40、了高 5 100m100m 的金属杆作为避雷针，在某次雷雨天气中，某一时刻的放电电流为 10 10 A A，此时金属杆 所受培力的方向和大小如何？磁力矩又是多大？ 解析：首先要搞清放电电流的方向 . .因为地球带有负电荷，雷雨放电时，是地球所带电 荷通过金属杆向上运动，即电流方向向下 对于这类问题，都可采用如下方法确定空间的方向：面向北方而立，则空间水平磁场均 为“X” ；自己右手边为东方，左手边为西方，背后为南方，如图所示 . .由左手定则判定电流 所受磁场力向右（即指向东方） _5 F F= B|B|= 3.03.0X 10 10 X 10 10 X 10100 0= 300 300 (N

41、 N). . 因为磁力与通电导线的长度成正比，可认为合力的作用点为金属杆的中点，所以磁力矩，大小为 X X X X X X X X X X, X X X X X .口zzzz/zzz/z/z/z/zzzz 7777777777777777777 东 F F M M = i F 1F 1= i X X 3030 区 100100 2 2 =1.5 1.5 X 10104 （ N N m m）. . 用同一方法可判断如下问题：一条长 2m2m 的导线水平放在赤道上空，通以自西向东的电 流，它所受地磁场的磁场力方向如何？ 2.2. 地磁场中的电磁感应现象 【例题】绳系卫星是系留在航天器上绕地球飞行的

42、一种新型卫星，可以用来对地球的大 气层进行直接探测； 系绳是由导体材料做成的， 又可以进行地球空间磁场电离层的探测； 系 绳在运动中又可为卫星和牵引它的航天器提供电力 19921992 年和 19961996 年，在美国“亚特兰大”号航天飞机在飞行中做了一项悬绳发电实验： 航天飞机在赤道上空飞行，速度为 7.5km/s7.5km/s，方向自西向东. .地磁场在该处的磁感应强度 B B= -4 0.5 0.5 X 10 10 T T 从航天飞机上发射了一颗卫星， 卫星携带一根长 1 1 = 20km20km 的金属悬绳与航天飞机 相连. .从航天飞机到卫生间的悬绳指向地心 . .那么，这根悬绳能

43、产生多大的感应电动势呢？ 解析：采用前面所设想的确定空间方位的方法，用右手定则不难发现，竖起右手，大 拇指向右边（即东方），四指向上（即地面的上方），所以航天飞机的电势比卫星高，大小为 E E= BLBL = 0.5 0.5 X 1010_5X 2 2 X 10104X 7.57.5X 10103 = 7.57.5X 10103 （V V）. . 用同样的方法可以判断，沿长江顺流而下的轮般桅杆所产生的电势差及在北半球高空水 平向各方向飞行的飞机机翼两端的电势差 （注意：此时机翼切割地磁场的有效分量是竖直分 量）. . 3 3 如何测地磁场磁感应强度的大小和方向 地磁场的磁感线在北半球朝向偏北并

44、倾斜指向地面， 在南半球朝向偏北并倾斜指向天空， 且磁倾角的大小随纬度的变化而变化 . .若测出地磁场磁感应强度的水平分量和竖直分量，即 可测出磁感应强度的大小和方向 【例题】测量地磁场磁感应强度的方法很多，现介绍一种有趣的方法 如图所示为北半球一条自西向东的河流，河两岸沿南北方向的 A A、B B 两点相距为 d.d.若测 出河水流速为 v v, A A、B B 两点的电势差为 U U,即能测出此地的磁感应强度的垂直分量 B B丄. . - 水流方向 X X X X 因为河水中总有一定量的正、 负离子，在地磁场洛仑兹力的作用下， 正离子向 A A 点偏转, 正、负离子向 B B 点偏转，当

45、A A、B B 间电势差达到一定值时，负离子所受电场力与洛仑兹力平 衡，离子不同偏转，即 U = B丄 qvqv，故 B= U . . dv 带电粒子垂直进入磁场， 在洛仑兹力的作用下，做匀速圆周运动， 是解这类题的关键。下面举例说明圆心的确定方法。 1 .由两速度的垂线定圆心 【例题】电视机的显像管中，电子（质量为 m m,带电量为 e e）束的偏转是用磁偏转技术 实现的。电子束经过电压为 U U 的加速电场后，进入一圆形匀强磁场区，如图 1 1 所示，磁场 方向垂直于圆面，磁场区的中心为 0 0,半径为 r r。当不加磁场时，电子束将通过 0 0 点打到屏 幕的中心 M M 点。为了让电子

46、束射到屏幕边缘 P P,需要加磁场，使电子束偏转一已知角度 B B 应为多少? 射出的点。做 a a、b b 点速度的垂线，交点 0 0i即为轨迹圆的圆心。 设电子进入磁场时的速度为 V V,对电子在电场中的运动过程有 对电子在磁场中的运动（设轨道半径为 R R）有找到圆心，画出解析：如图 2 2 所示，电子在匀强磁场中做圆周运动, 圆周上的两点 a a、b b 分别为进入和 M Ifc I i n B =(1/r) 一2mU/etan(二/2) 2 2 由两条弦的垂直平分线定圆心 【例题】如图 3 3 所示，有垂直坐标平面的范围足够大的匀强磁场，磁感应强度为 B,B,方 向向里。一带正电荷量

47、为 q q 的粒子，质量为 m m,从 0 0 点以某一初速度垂直射入磁场，其轨 迹与 x x、y y 轴的交点 A A、C C 到 0 0点的距离分别为 a a、b b。试求：（1 1）初速度方向与 x x 轴夹角； （2 2 ）初速度的大小。 解析：（1 1）粒子垂直射入磁场，在 xOyxOy 平面内做匀速圆周运动，如图 4 4 所示，OAOA、0C 0C 是圆周上的两条弦。做两条弦的垂直平分线，交点 即为圆轨迹的圆心，以 为圆心， =R R 为半径画圆。正电荷在 0 0 点所受的洛仑兹力 F F 的方向（与初速度垂直）联立以上二式解得 由图可知，偏转角 R R 的关系为 ，也在图上标出。

48、 和粒子的初速度 v v 的方向 3 3由两洛仑兹力的延长线定圆心 【例题】如图 5 5 所示，有垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度为 B B。在匀强磁场中做 匀速圆周运动的一个电子，动量为 P,P,电量为 e e,在 A A、C C 点，所受洛仑兹力的方向如图示， 已知 ACAC= d d。求电子从 A A 到 C C 时发生的偏转角。 解析：如图 6 6 所示，A A、C C 为圆周上的两点，做洛仑兹力的延长线，交点 O O 为圆周轨迹由几何关系可知，/ O OiOC OC = tan J 粒子在磁场中运动有 。在直角三角形 OOOOiD D 中，有 设初速度方向与 x x OOOOiD

49、D，粒子的轨道半径 由上述两式可得 v 的圆心。以 0 0 为圆心做电子从 A A 到 C C 的运动轨迹。过 A A、c c 画出速度的方向, 角为偏转角。 4 4 .综合定圆心 确定圆心，还可综合运用上述方法。 一条切线，一条弦的垂直平分线， 一条洛仑兹力的延长 线，选其中任两条都可找出圆心。 入射方向在 xyxy 平面内，与 x x 轴正方向的夹角为 磁场方向垂直于 xOyxOy 平面 【例题】如图 点的距离为 L L,求该粒子的电量和质量之比 q/mq/m。 解析：如图所示， 的垂线，交点 O O1即为圆轨迹的圆心。以 O O1为圆心，以 0 01到入射点 0 0 的距离 R R （轨

50、道半径） 画出粒子圆周运动的轨迹。 由洛仑兹力公式和牛顿定律有 确定带电粒子在磁场中运动轨迹的方法 带电粒子在匀强磁场中作圆周运动的问题是近几年高考的热点，这些题不但涉及洛伦兹 力，而且往往与几何关系相联系，使问题难度加大，但无论这类题多么复杂，其关键一点在 于画轨迹，只要确定了轨迹，问题便迎刃而解，下面举几种确定带电粒子运动轨迹的方法。 1 1、对称法粒子进入磁场后, 受洛仑兹力的作用，做匀速圆周运动, 与圆周轨迹相切。做弦的垂直平分线和初速度 的垂直平分线上的点，由几何关系有 联立以上二式解得 从 A A 点射出磁场。 是圆轨迹上一条弦，初速度 解得 带电粒子如果从一直线边界进入又从该边界

51、射出，则其轨迹关于入射点和出射点线段的 中垂线对称，入射速度方向与出射速度方向与边界的夹角相等， 利用这一结论可以轻松画出 粒子的轨迹。 如图 1 1 所示，在 y y 小于 0 0 的区域内存在匀强磁场，磁场方 置与 0 0 点的距离为 L L,求该粒子电量与质量之比。 解析：根据带电粒子在有界磁场的对称性作出轨迹，如图 2 2 所示，找出圆心 A A,向 x x 轴作垂线，垂足为 H H,由与几何关系得: 【例题】（这题和前一题重复） 向垂直于 xyxy 平面并指向纸面外, 0 0 点射入磁场，入射速度方向为 从 磁感应强度为 xyxy 平面内，与 带电粒子磁场中作圆周运动，由 最低点，带

52、电粒子在磁场中作圆周运动，由 联立解得 2 2、动态圆法 在磁场中向垂直于磁场的各个方向发射粒子时，粒子的运动轨迹是围绕发射点旋转的动 态圆，用这一规律可确定粒子的运动轨迹。 【例题】如图所示，S S 为电子源，它在纸面 360360 度范围内发射速度大小为 质量为 m m，电量为 q q 的电子（q q0dr=mV/Bed，即 VBed/mVBed/m。 4 4、带电粒子在正方形磁场中的运动 【例题】长为 L L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图 1616 所示，磁感强度为 B B,板间距离也为 L L，板不带电，现有质量为 m m，电量为 q q 的带正电粒子（不计重力），从左

53、边 极板间中点处垂直磁感线以速度 V V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法 是（） r ri A.A. 使粒子的速度 VBqL4m V5BqL/4m V5BqL/4m ; C.C. 使粒子的速度 VBqL/mVBqL/m; D.D. 使粒子速度 BqL/4mV5BqL/4mBqL/4mV5BqL/4mV5BqL/4m 时粒子能从右边穿出。 粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在 。/点，有 匕=L/4L/4,又由 匕=mVmV2/Bq=L/4/Bq=L/4 得 V V2 = BqlAm 二 V V2BqL/4m0X0, y0y0） 这是一个圆的方程，圆心在（0 0, R R）处。磁场

54、区域为图中两条圆弧所围成的面积。磁场 的最小面积为； 7 7、带电粒子在有 圆孔的磁场中运动 【例题】如图 2222 所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行 于轴线的四条狭缝 a、b、c和 d, 外筒的外半径为 r, 在圆筒之外的足够大区域中有平行 于轴线方向的均匀磁场， 磁感强度的大小为 E。 在两极间加上电压， 使两圆筒之间的区域内 有沿半径向外的电场。 一质量为 m、带电量为+q的粒子， 从紧靠内筒且正对狭缝 a的 S点。在由 o o 点射 S =2（丄 R2 4 （二-2血乜2 2e2B2 出发， 初速为零。 如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点 S

55、, 的电压 U应是多少？ （不计重力，整个装置在真空中） X X X aX X X xx % d八 X X 承 X X X 解析: 如图所示，带电粒子从 S S 点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝 a a 而 进入磁场区，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。 粒子再回到 S S 点的条件是能沿径向穿过狭 缝 d d。只要穿过了 d d，粒子就会在电场力作用下先减速， 再反向加速，经 d d 重新进入磁场区， 然后粒子以同样方式经过 c c、b b,再回到 S S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V V,根据动能 定理，有： 1 qU = mV2 2 设粒子做匀速圆周运动的半径为

56、R R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有: V2 BqV 二 m R 由前面分析可知，要回到 S S 点，粒子从 a a 到 d d 必经过3圆周，所以半径 R R 必定等于筒的 4 外半径 r r，即 R=rR=r。由以上各式解得： B2qr 2m 8 8、带电粒子在相反方向的两个有界磁场中的运动 【例题】如图 2424 所示，空间分布着有理想边界的匀强电场和匀强磁场。 左侧匀强电场的 场强大小为 E E、方向水平向右，电场宽度为 L L；中间区域匀强磁场的磁感应强度大小为 B B， 方向垂直纸面向里。一个质量为 m m、电量为 q q、不计重力的带正电的粒子从电场的左边缘的 O O 点由静

57、止开始运动，穿过中间磁场区域进入右侧磁场区域后，又回到 O O 点，然后重复上 述运动过程。求：则两电极之间 S S d d b b c c (1)(1) 中间磁场区域的宽度 d;d; 解析：(1 1)带电粒子在电场中加速，由动能定理，可得： . qEL = mV2 2 带电粒子在磁场中偏转，由牛顿第二定律，可得： V2 =m一 R 可见在两磁场区粒子运动半径相同， 如图 2525 所示， 三段圆弧的圆心组成的三角形 是等边三角形，其边长为 2R2R。所以中间磁场区域的宽度为 T 2兀m t2 3 3qB 丄 5 5兀m t3 T 二 6 3qB 则粒子第一次回到 O O 点的所用时间为L L

58、 d d d =Rsi n60 （2 2 ）在电场中 ti 2V 2mV a qE (2(2)带电粒子从 0 0 点开始运动到第一次回到 0 0 点所用时间 t t。 BqV 由以上两式，可得 2mEL k OO O2O O3 在中间磁场中运动时间 在右侧磁场中运动时间 综上所述，运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定 做匀速圆周运动，这类问题虽然比较复杂， 但只要准确地画出轨迹图， 并灵活运用几何知识 和物理规律，找到已知量与轨道半径 R R、周期 T T 的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距 离以及运动时间不太难 类题计算带电粒子在有界磁场边界碰撞 带电粒子与

59、有界磁场边界碰撞的问题，由于这类问题往往存在多解，同学们解这类习题 时常常由于只考虑问题的特解而忽略一般情况的分析， 对学生能力的要求较高，因此不少同 学感到困难。为加强学生对这类问题的认识， 下面通过例题来分析带电粒子与磁场边界碰撞 问题。 1 1、带电粒子与绝缘圆筒的碰撞 【例题】如图 2626 所示，一个质量为 m m、电量为 q q 的正离子，从 A A 点正对着圆心 0 0 以速 度 V V 射入半径为 R R 的绝缘圆筒中。圆筒内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度的大 小为 B B。要使带电粒子与圆筒内壁碰撞多次后仍从 A A 点射出，求正离子在磁场中运动的时间 t t。设粒子

60、与圆筒内壁碰撞时无能量和电量损失，不计粒子的重力。 解析： 由于离子与圆筒内壁碰撞时无能量损失和电量损失，每次碰撞后离子的速度方 向都沿半径方向指向圆心，并且离子运动的轨迹是对称的，如图 2727 所示。设粒子与圆筒内 壁碰撞 n n 次（n _2），经过 m m 转回到 A A 点，则每相邻两次碰撞点之间圆弧所对的圆心角为 2 2 n m/m/（n+1n+1）（这里是指磁场圆弧所对圆心角，而不是指轨迹圆弧所对圆心角） 。由几何知识可 知，离子运动的半径为： r = Rtant = t1 t2 t3 2 2mL 7二m ,qE 丽 (m=1(m=1, 2 2, 3 3 , n=2n=2, 3 3, ）