2021版新高考数学一轮教师用书：第4章第5节第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公

1、第五节三角恒等变换考点要求1会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式2会用两角差的余弦公式推导出两角 差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正 弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换（包括导出积 化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）.弈实基础知识 课前自主回顾 扫除双展盲点（对应学生用书第77页）:必备知识填充1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) sin (a±) = sin acos 土 cos asin 0；(2) cos (a±) = cos acos 护sin as

2、in(3)tan (a±0) =tan a 土 Um 01 干tan atan B2.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 2a = 2sin acos a；(2) cos 2a = cos%sin咕= 2cos'a 1 = 1 2sin'a；2t“n a(3 )tun2cc1 taira3辅助角公式a sina+Z? cos a=y/i芮孑sin (a+卩)(其中 sin(p=cos 0=丁訂产)常用结论1-公式的常用变式tan a ± tan 0=tan (ad)(l+tan atan )；sin 2a=2sin acos a2辺取sin2a+co

3、s2a 1 +tan2<z，cos2a =cos2asin2tz 1 tan% cos%+sin% 1 + tan2a2 降幕公式1 cos2a3a l+cos2acosp=21sin acos a=in 2a.3升幕公式 1 +cos a = 2cos学;1 cos a=2sin22；1 +sin a=1 sin a= sina厂cosI)24.半角正切公式a sin a1cosa2 1+cosa sin a:学情自测验收：一、思考辨析（正确的打 y 错误的打“x”）(1)存在实数 a, 0,使等式 sin (a+0) = sin a+sin0 成立.()公式a sin x+b cos

4、 x=ycr+b2sn （x+（p）中卩的取值与方的值无关.（）)（4）当a是第一象限角时,(3)cos 0=2cos?一1 = 1 2sin(答案(1)7(2)X(3)V(4)X二、教材改编B.1.已知cosa=|, a是第三象限角,则cos （扌+"为（10D.7210A / cos aa是第三象限角,/ sin a= 1 cos2a =需.故选A.2. sin 347° cos 148° + sin 77° cos 58° =sin 347° cos 148° +sin 77° cos 58° =s

5、in (270° +77° )cos (90° +58° ) + sin77° cos 58°= (-cos 77° )-(-sin 58° )+sin77° cos 58°=sin 58° cos 77° +cos 58° sin 77°=sin(58。+77。)=sin 135。尋.3. 计算：sin 108° cos 42° 一cos 72° sin 42° =5 原式=sin (180° -72&#

6、176; )cos 42° -cos 72° sin 42° = sin 72° cos 42° -cos 72° sin 42° =sin (72° -42° ) = sin 30°4. tan 20： +tan 40° + 羽km 20" tan 40° =Vtan 60°= tan (20° +40° )=tan 20° +tan 40°1 tan 20° tan 40°/.tan 20&#

7、176; +tan 40° =tan 60° (1 tan 20° tan 40° )=迈一羽km 20° tan 40° ,原式=迈一羽tan 20° tan 40° + 羽tan 20° tan 40° =>/§.5. 若 tan o = y tan(a+0)=*,贝lj tan.丄_丄1c，门tan (a+0) tan a 2317 tan=tan K«+-«!=1+tantantt = Tj=7-11+2X3第1课时两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二

8、倍角公式总结常考考点 课堂考点探究破和考酒（对应学生用书第78页）考点1公式的直接应用 齣法（1）使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征.（2）使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值.賂典题 1.（2019-全国卷【I）已知 aW（0,号），2sin 2a=cos 2a+1,则 sin a=（）a4b-習C普D普B 由二倍角公式可知4sin acos cc=2cos2aVczG(0,号)，/.cos a#=0,1Js/ 2sin a=cos a, / tanA sin a=*故选 B.2.已知sin a35J7u), Um (兀一0) = 3，则 tan (aP)

9、的值为()a_h11CT11D. -yIT3A VaE(-, ji)9 A tan a=小 tan atan B1 +tan atan:.tan (a-/3) =4十 2 21+ (-5) x (_)3. (2019太原模拟)若aG(0,号),m兀1 厂1 i7T且 sin(a_g)=亍,则 cos (ap =则 cos (a&)=p则 cos (a)=cos【(a&)gK 71 .n K、I 、sinllO0 sin 20° sin70° sin 20°cos2155° sin2155°cos 310°IE点评 两角

10、和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用a, 0的三角函数表示cd涉的 三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与 角转换的目的.考点2公式的逆用与变形用島通法公式的一些常用变形(l) sin asin 0+cos (a+0) = cos acos 卩；(2) cos asin 0+sin (a0) = sin acos 0；(3) 1 土sin a = (sin 号土cos血 2a = sin2a+cos2«=tan2a+l;2sin acos a 2tana(6)tana±tan =tan (l+tan tztan

11、)；(7)a sin a+b cos a=ya-b2sin考向1公式的逆用（1）化简sin 10°1 羽 tan 10°(2)在中，若 tanA tan = tanA+tanB+h 则 cos C=-oo1n 1soonn 1s214-n 1s V32-4ootan A + tan B(2)由 tan A tan B=tan A+tan B+ 1 可得 1_tanAtanB= 一 1，即 tan(A+B)=-l,又 4+3W(0, tt), 所以 A+B=y,则 C=扌,cosC=¥.IS点评（l）逆用公式的关键是准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式，同

12、时，要注意公式成立的条件和角之间的关系.(2)tan atan0, tan a+tan0(或 tan atan卩)、tan (a+)(或 tan (a_0)三者中可以知二求一,且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题.(3)重视 sin <zcos0, cos asin0, cos <zcos0, sin asin0 的整体应用.者向2公式的变形用sin235° -*励典例化简如（T 5(2)化简 sin2(ag)4-sin2(a+)sin2a 的结果是? o 1 1-COS 70°11 oIsirr35 ?亍 一cos70(1)1(2)5(1)cosl0

13、76; cos 80° =cos 10° sin 10° = 1 -sin 20f 71、.71、1cos (2a亍)1 cos (2a+亍)(2)原式=F5：sin2a= 1-彳)sir?a717=1 cos2<z cos 亍一sinpcos2a 1 cos 2a 1=1 一22 =2JIS点评 注意特殊角的应用，当式子中出现2, 1,乎，羽等这些数值时，一定要考虑引入特殊角,把“值变角”构造适合公式的形式.E5典题 1 设 a=cos50° cos 127° +cos 40° cos 37° , b=56°

14、; cos 56° ), c=吕幣，则b, c的大小关系是（）A.a>b>cB b>a>cC.c>a>bD. a>c>bD 由两角和与差的正.余弦公式及诱导公式，可得t/=cos50° cos 127° +cos 40° cos 37°& cos 50° cos 127° +sin 50° sin 127° =cos (50° -127° )=cos(-77° )=cos 77° =sin 13° 、

15、b=(sin 56° cos 56° )=sin 56° cos 56° =sin (56° 45° ) = sin 110 ,l-tan239°C 1 +tan239°sin239°1cos239°.兀=cos39° sirr39° =cos78c =sin 12° 因为函数 y=sinx, xE0,寸为增函数，所以 1 ""cos239°sin 13° >sin 12° >sin 11° ,

16、所以 a>c>b.2题多解冲cos 15° -4sin215° cos!5° =()1-2A返2B.C.lD. 2D 法一:羽cos 15° 4sin215° cos 15° =/3cos 15° 2sin 15° 2sin 15° cos 15° =/3cos 15° -2sin 15° sin 30° =a/5cos 15° -sin 15° =2cos(15° +30° ) = 2cos 45° =

17、©故选 D cos 15° =y/3法二：因为 cos 15° =心sin 15。=心；也,所以羽cos 15° -4sin215°X冲4X（時）叹冲L冲X（羽-2+羽尸呼X（2羽-2）=迈.故选D.3已知 a+0=£ 则(1 + tan a)(l+tan)=(1 +tan a)(l +tan 0) = tan a+tan +tan atan #+ 1=tan (a+")(1 tan atan 0) + tan atari + 1=1 tan atan 0+tan atan 0+1=2J21 -21 一2?-设 cos as

18、in 0=A +得 sin acos 0+cos asin 0=*+/,即 sin (a+0) = g+f,得 sin acos 0cos asin 0=*/, 即 sin (a_0) = g_f.*/ 1 Wsin (a土卩)W1,考点3公式的灵活运用融法 三角公式应用中变“角”与变“名”问题的解题思路(1) 角的变换：发现各个角之间的关系：拆角、凑角、互余、倍半、互利(包括非特殊角与特殊角、 已知角与未知角)，熟悉角的变换技巧及半角与倍角的相互转化，如：2a=(a+0)+(aQ, a = (a+厉 0=(a0)+0, 40° =60° -20° ,(彳+卜a)

19、=?, f=2Xj等.(2) 名的变换：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余 弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦.考向I三角公式中角的变换觀典例(1)设a, 都是锐角，且cosa=習,sin (a+)=|,则cos/3=.(2)已知 cos (75° +a)=|,则 cos (30° 2a)的值为.(1)号尊(2# 依题意得 sin a=yj 1 cos2a=r,3因为 sin(a+)=Vsin a 且 a+0>a.于是 cos0=cos (a+Qaji4所以7i),所以 cos(a+0) = §= _4xa/5 + 3x

20、2a/5 = 2555525 (2)cos (75° +a) = sin (15° a)=g,27所以 cos (30° 2a) = 1 2sin2(15° a)= 1 §=§IS点评(l)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示.当“已知角” 有两个时，''所求角” 一般表示为两个'已知角”的和或差的形式；当'已知角”有一个时，此时 应着眼于'所求角”与“已知角”的和或差的关系.(2)常见的配角技巧：2a = (a+0) + (a0), a=(a+0)0,» a=空

21、尹+生尹，“= (a+§_(+")等.»考向2三角公式中名的变换(1 +sin0+cos 0) (sin cos 恳)( (解由0丘(0,兀)，得0 VV J A cos >0,/-/2 + 2cos=A /4cos22 = 2cos .又(1+sin 0+cos 0)(sin 一cos )3 . $ = 2cos 亍(sin牙一=2coscos 0.故原式=2cos cos 0= COS 02cos 22cos210°原式= 2X2sinlO°.。cos 5° sin 5 °cos 10° sin 10($山 5。 cos 5°cos 10°2sin 10°sin 10°cos25° sin25°sin5° cos 5°cos 10°2sin 10°-sin 10°cos 10°ysin 10°cos 10°2sin 10