上海市高中数学竞赛试题及答案

1、2016 年上海市高中数学竞赛试题及答案一、填空题（本题满分 6060 分，前 4 4 小题每小题 7 7 分，后 4 4 小题每小题 8 8 分）1.1._ 已知函数f x ax2bx c（a 0，a,b,c均为常数），函数f1x的图象 与函数f x的图象关于y轴对称，函数f2x的图象与函数fix的图象关 于直线y 1对称，则函数f2x的解析式为 .答案：f2x ax2bx c 2.解在函数y f x的表达式中用x代替x，得f1xax2bx c，在函数y f1x的表达式中用2 y代替y，得f2xax2bx c 2.2.2.复数z满足z 1，w 3z2-2在复平面上对应的动点W所表示曲线的普z

2、通方程是2答案：x2匕1.25解设z a bi,w x yi，则a2b21，2从而x a2 b2,y 10ab，于是x2生2 222 2a b 4a b1.3.3.关于x的方程arctan2xarctan2x一的解是6答案：x Iog2.3解 因为tan arctan2xtan arctan2x2x2x1，所以arctan2xarctan2x2解得arcta n2x,arcta n2x，贝U 2x. 3,x log2、.3.364.4. 红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子的六个面上的数字为123,4,5,6，则 同时掷这四颗骰子使得四颗骰子向上的数的乘积等于36，共有 种可能.答案：4848.解

3、 四颗骰子乘积等于 3636，共有四种情形：(1) 两个 1 1，两个 6 6，这种情形共C：6种可能；(2) 两个 2 2,两个 3 3,这种情形共C：6种可能；(3) 两个 3 3, 一个 1 1, 一个 4 4,这种情形共C：C；12种可能；(4) ,1,2,3,6各一个，这种情形共A424种可能.综上，共有6 6 12 24 48种可能.15.5. 已知函数f x cos x , g x 2xa a 0，若存在0,1，使f N g X2成立，则实数a的取值范围为 _.答案；2,o u o,2.1616 间小三角形的房间，甲、乙两人被随机地分别安置在不同 的小三角形房间，那么他们在不相邻

4、（指没有公共边）房间的概率是（用分数表示）.解法一如图 1 1,将小三角形房间分为三类：与第一类（红色）房间相邻的 房子恰有一间，与第二类（绿色）房间相邻的房间恰有两间， 与第三类（白 色）房间相邻的房间恰有三间，从而满足条件的安置方法共有邻边，故所求概率为的大小是解易知x 0,1时，f X1,1 .只需求a的取值范围，使得g x能取到1,1中的值.(1)0时，g x单调递增，因为g Xi，故只需g01，解得(2(2)0时，g x单调递减，因为g x1，故只需g01,解得a 0.6.6.如图，有3162616 37164 204种.从而所求概率为 誤 益解法二我们从反面考虑问题,如图 2 2，

5、每一对相邻房间对应着一条黄色的7.7.在空间，四个不共线的向量OA.OB.OC.OD， 它们两两的夹角都是，则1 arccos.3解 如图，ABCD为正四面体，角 即为AOD，设E,M分别为BC和AD的 中点，贝V AE DE,OA OD，则中心O在EM上，从而O ADE的垂心，所以，1 arccos.38.8.已知0,b 0,a3b31，则a b的取值范围为答案：1,34.2解注意到0 aba b，及4我们有丄a b 1 a b，所以1 a b34.4二、解答题（本题满分 6060 分，每小题 1515 分）9.9.如图，已知五边形ABQD1E1内接于边长为 1 1 的正五边形ABCDE.求

6、证： 五边形AB1C1D1E1中至少有一条边的长度不小于cos 5证 设EA AA,AB, BB1,BQ,CC1,C1D,DD1,D1E,EE1的长分别为 印&匕,。,C2,d1,d2,e!,2,则由平均数原理，a1a2,b1d,C1C2,d1d2,e e?中必有一个大于1，不妨设a1a21，贝9a21 a10.此时所以，A1E1cos.命题得证.5答案:10.10.设p,q和r是素数，且p|qr 1,q | rp 1,r | pq 1，求pqr的所有可能的值.an为单调数列，即an为递增数列或递减数列.由题设可得pqr | qr 1 rppq 1，因为所以，pqr | pq qr r

7、p 1.于是pq qr rp 1丄1丄pqrp q r1pqr为正整数.记k 1 1，注意至U p, q, r 2p q r pqr则k 3从而k1.由对称性，不妨设pqr.若p3，则k1 111，矛盾，故p 2.p qr若q3，则q5，k1 21，矛盾.25若q2，则k11111，也矛盾.故q 32 2r4r最后,由111 1丄5,得r5.23r6r11.11.已知数列an满足递推关系an 1知“N*，求所有a1的值，使解由an 1n 1尹孑得,心1亍3，令bn 3an，则从而bn6正负交替，从而an正负交替，an不为单调数列.线段BC上一点(包括端点).直线AD与厶BPC的外接圆交于E,F两点,其中EA ED .(1)设BD| x，试将EA DF|表示为关于x的函数f x;(2) 求f x的最小值.解(1 1)设u EA ,v AD ,w DF，贝U f x u w.在厶ABD中，由余弦定理，得在厶PBC的外接圆中运用相交弦定理，得两式相减，得v u w x25x 45,故(2 2)设t x25x 25 0，贝9当且仅当t 20时等号成立，此时tx25x 25 2 5,解得x 5 5.若a12，注意到251，则当n 1