反证法在几何问题中的应用

1、反证法在几何问题中的应用反证法是一种非常重要的数学方法，它在儿何的应用极为广泛，在平面儿何、立体 儿何、解析儿何都有应用，本文选择儿个有代表性的应用，举例加以介绍。一、证明几何量之间的关系例1：已知：四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，EF = -(AB + CD) o2求证：AB 1/CD.证明：假设AB不平行于CD。如图，连结AC,取AC的中点G,连结EG、FG。E、F、G分别是AD、BC、AC的中点,S/CD, GE = *D； GF"VAB不平行于CD,GE和GF不共线，GE、GF、EF组成一个三角形。： GE + GFaEF但 GE + GF = -(AB +

2、CD) = EF2与矛盾。： AB/CD例2：直线PO与平面a相交于0,过点O在平面a内引直线04、OB、OC ,ZPOA = ZPOB = APOC o求证：PO丄a。证明：假设P0不垂直平面a。作PH丄a并与平面a相交于H,此时H、0不重合，连结0H。由P作PE丄OA于E, PF丄03于F,根据三垂线定理可知，HE丄OA, HF 1OB。APOA= ZPOB, P0 是公共边， RtPOE= RZOFOE = OF乂 =R心OFH = R込OEH AFOH = ZEOH因此，OH是ZAOB的平分线。同理可证，OH是ZAOC的平分线。但是，0B和0C是两条不重合的直线，0H不可能同时是ZAO

3、B和ZAOC的平分线， 产生矛盾。PO丄a。例3：已知A、B、C、D是空间的四个点，AB、CD是异面直线。求证：AC和BD是异面直线。证明：假设AC和BD不是异面直线，那么AC和BD在同一平面内。因此，A、C、B、D四点在同一平面内，这样，AB、CD就分别有两个点在这个平面 内，则AB、CD在这个平面内，即AB和CD不是异面直线。这与已知条件产生矛盾。所以，AC和BD是异面直线上面所举的例子，用直接证法证明都比较困难，尤其是证两条直线是异面直线，常 釆用反证法。二、证明“唯一性”问题在儿何中需要证明符合某种条件的点、线、面只有一个时，称为“唯一性”问题。例3：过平面q上的点A的直线。丄a,求证

4、："是唯一的。证明：假设"不是唯一的，则过A至少还有一条直线b, b丄a“、方是相交直线，；a、b可以确定一个平面0。设Q和0相交于过点A的直线c。这样在平面0内，过点A就有两条直线垂直于c,这与定理产生矛盾。所以，"是唯一的。例4：试证明：在平面上所有通过点(>/2,0)的直线中，至少通过两个有理点(有理 点指坐标x、y均为有理数的点)的直线有一条且只有一条。证明：先证存在性。因为直线y = 0,显然通过点(72,0),且直线)，=0至少通过两个有理点，例如它通 过(0,0)和(1,0)。这说明满足条件的直线有一条。再证唯一性。假设除了直线y = 0外还存

5、在一条直线y = kx+b (斤工0或/?工0)通过点(72,0),且该直线通过有理点A(X|,y|)与B(£,y2)，其中旺、儿、£、比均为有理数。因为直线y = kx+b通过点(72,0),所以b = -y/2k ,于是y = k(x-y/2),且比工0。 又直线通过A (旺，儿)与B (心，儿)两点，所以儿=心-血)，y = k(x-y2)一，得-y2 =k(xx -x2)o因为A、B是两个不同的点，且比工0,所以山式吃，)、工)，2，由，得R =上二乜，且£是不等于零的有理数。坷一勺由得 y/2=X-ok此式的左边是无理数，右边是有理数，出现了矛盾。所以，

6、平面上通过点(72,0)的直线中，至少通过两个有理点的直线只有一条。综上所述，满足上述条件的直线有一条且只有一条。关于唯一性的问题，在儿何中有，在代数、三角等学科中也有。这类题口用直接证 法证明相、“I困难，因此一般惜况下都采用间接证法。即用反证法或同一法证明，用反证 法证明有时比同一法更方便。三、证明不可能问题儿何中有一类问题，要证明某个图形不可能有某种性质或证明具有某种性质的图形 不存在。它们的结论命题都是以否定形式出现的，若用直接证法证明有一定的困难。而 它的否定命题则是某个图形具有某种性质或具有某种性质的图形存在，因此，这类问题 非常适宜用反证法。例5：求证：抛物线没有渐近线。证明：设

7、抛物线的方程是于=2恥("工0)。假设抛物有渐近线，渐近线的方程是y = ax + b,易知方都不为0。因为渐近线 与抛物线相切于无穷远点，于是方程组y2 = 2pxy = ax + b(2)的两组解的倒数都是0。将(2)代入(1),得a2x2 + 2(ab- p)x + b2 = 0(3)设“、心是(3)的两个根，由韦达定理，可知2(ab 一 /?) 2则丄+丄=屯+乜=_2("_)=0,b2=r = 0 »（ 5 ）xl x2 xx2 b由（4）、（5）,可推得p = 0,这于假设“HO矛盾。所以，抛物线没有渐近线。关于不可能问题是儿何中最常见也是非常重要的一种类型。山于它的结论是以否定 形式出现，釆用直接证法有困难，所以这类问题一般都使用反证法加以证明。四、证明“至少存在”或“不多于”问题在儿何中存在一类很特殊的问题，就是证明具有某种性质的图形至少有一个或不多于儿个。山于这类问题能找到直接论证的理论根据很少，用直接证法有一定困难。如果采用反证法，添加了否定结论这个新的假设，就可以推出更多的结论，容易使命题获证。例6：已知：四边形ABCD中,对角线AC=BD=lo求证：四边形中至少有一条边不小于主。2证明：假设四边形的边都小于巴，由于四边形中至少有一个角不是钝角（这一结2论也可用反证法证明），不妨设ZA < 90°,根据