因式分解---待定系数法、换元法、添项拆项法知识点归纳

1、因式分解 - 待定系数法、 换元法、 添 项拆项法知识点归纳知识体系梳理添项拆项法有的多项式由于“缺项” ，或“并项”因此不能直接分 解。通过进行适当的添项或拆项后利用分组而分解的方法称 为添项、拆项法。一般来说，添项拆项后要能运用提公因式法、公式法、 十字相乘法、分组分解法分解。如果添项拆项后，不能运用 四种基本方法分解，添项拆项也是无用的。.待定系数法 有些多项式不能直接分解因式，我们可以先假设它已分 解成几个含有待定系数因式的乘积形式。然后再把积乘出来。 用等号两边同次项次系数相等的方法把这些待定系数求出 来，进而得出因式分解结果，这种分解因式的方法叫做待定 系数法分解因式。.换元法 所

2、谓换元，即对结构比较复杂的代数式，把其中某些部 分看成一个整体，用新的字母代替（即换元） ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，象这种利用换元来解决复杂问题的 方法，就叫。换元法在减少代数式的项数、降低多项式结构复杂程 度等方面都有着独到的作用。（1）、使用换元法时，一定要有 意识，即把某些相同或相似的部分看成一个。（2）、换元法的种类有：单个换元、多个换元、局部换 元、整体换元、特殊值换元和几何换元。（3）、利用换元法解决问题时，最后要让原有的数或式 “回归”。典型例题、方法导航方法一：添项拆项法【例 1】分解因式：分析：此多项式是三次三项式，缺项不能直接分解。可 考虑添项拆项法分解。从它的最高

3、次项看是三次，因此我们 可以猜想它最多可分解成三个一次二项式的积，即，再看常数项可分解成± 1、± 2，因此我们可猜想分解 的结果可能是或或 , 但的中间项是 , 因此是不可能的，因此只 可能是前面两种的其中一种。下面请看：解： 其结果是我们猜想中的第一种。此题还有其他分解方法 吗？在注意到分解结果中有和的因式，因此还有其他更多的 分解方法。方法二：方法三：方法四：方法五：方法六：（余下过程同学自己完成） 方法点金：拆项、添项法分解因式的关键是通过拆项、 添项达到分组或运用公式的目的，一般可考虑添多项式中所 缺的项，或考虑常数项可分解的因数有关的因式。变式议练一：分解下列各

4、式的因式（1）（2）（3）方法二：待定系数法【例 2】分解因式：解：设： 展开后左右两边比较系数求出、即可。 分解结果：【例 3】已知多项式能被整除，请分解前者的因式。 分析：设，利用多项式的恒等求出、即可。 变式议练二：、已知是的一个因式，则2、用待定系数法分解因式：【例 4】在实数范围内分解因式（1）（2）（3）变式议练三： 求的算术平方根。方法三：换元法.直接换元法 【例】用换元法分解因式： 方法点金：设， 注意：换元法分解因式最后要回归。变式议练四、用换元法分解因式：2、用换元法分解因式：方法点金：当两括号中的二次项，一次项的系数对应成 比例可考虑用换元法分解因式。【例 6】分解因式：分析：两括号中二次项、 一次项系数的比为， 可以换元。组合换元法【例 7】分解因式： 分析：观察第一、四括号内的常数项和第二、三括号内 的常数的和为，因此也可用组合换元法分解因式。变式议练五证明四个连续正整数的积与 1 的和是一个完全平方。.能力与创新把下列各式分解因式： 、 、 、快乐体验、若多项式和多项式有公因式，则2、若能被整除，则3、分解因式：（1）（2）4、已知多项式有一个因式是， 把这个多项式分解因式。、甲、乙两同学分解多项式时，甲看错了 , 分解结果为 乙看错了 , 分