因式分解知识点总结及巩固练习

1、1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解。即：多项式 几个整式的积111 例：一ax bx x(a b)333因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程。2. 因式分解的方法：(1) 提公因式法： 定义：如果多项式的各项有 公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将 多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。公因式：多项式的各项都含有的相同的因式。公因式可以是一个数字或字母，也可以是一个单项式或多项式。例：12a3b3c 8a3b2c3 6a4b2c2 的公因式是 .解析：从多项式的系数和字母两部分来考虑，系数部分分别是12、-8、

2、6,它们的最大公约数为2;字母部分a'b'c, a3b2c3, a4b2c2都含有因式a3b2c，故多项式的 公因式是2 a3b2c. 提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所 得商即是提公因式后剩下的另一个因式。注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简。多项式 中第一项有负号的，要先提取符号。例 1:把 12a2b 18ab2 24a3b3 分解因式.解析：本题的各项系数的最大公约数是6,相同字母的最低次幂是ab,故公因式为 6ab 。解： 12a2b 18ab224a3b3例 2：把多

3、项式 3(x 4) x(4 x) 分解因式解析：由于4 x (x 4)，多项式3(x 4)x(4 x)可以变形为3(x 4) x(x 4),我们可以发现多项式各项都含有公因式 (x 4),所以我们可以提取公因式 (x 4) 后, 再将多项式写成积的形式 .解： 3(x 4) x(4 x)=3(x 4) x(x 4)=(3 x)(x 4)例3:把多项式x2 2x分解因式解：x2 2x= (x2 2x) x(x 2)(2) 运用公式法 定义：把乘法公式反过来用,就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解 因式的方法叫做运用公式法。注意：公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式。选择使用公式的

4、方法：主要从项数上看，若多项式是二项式可考虑平方差 公式；若多项式是三项式,可考虑完全平方公式。例 1 ：因式分解 a2 14a 49解： a2 14a 49=(a 7)2例 2：因式分解 a2 2a(b c) (b c)2解： a2 2a(b c) (b c)2 =(a b c)2(3) 分组分解法(拓展) 将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式ab a b 1分解因式解：ab a b 1=(ab a) (b 1) = a(b 1) (b 1) (a 1)(b 1) 将多项式分组后能运用公式进行因式分解例：将多项式a2 2ab 1 b2因式分解解：a2 2ab 1 b22 2 2

5、=(a 2ab b ) 1 (a b) 1 (a b 1)(a b 1)2(4)十字相乘法(形如x (p q)x pq (x p)(x q)形式的多项式，可以考虑运用此种方法)方法：常数项拆成两个因数 p和q，这两数的和p q为一次项系数例：分解因式x2 x 30补充点详解我们可以将-30分解成pX q的形式，的形式，使 p+q=-1, pX q=-30,我们就有 p=-6,有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5。q=50所以将多项式x2 (p q)x pq可以分 以分解为(x p)(x q)x5分解因式x252x 100补充点详解我们可以将100分解成pX q使 p+q=52, pX q=

6、100,我们就或 q=2,p=50。所以将多项式x2 (p q)x pq可解为(x p)(x q)x2-6503. 因式分解的一般步骤:如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式 法；若是四项或四项以上的多项式，通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。因此，可以概括为： 提” “二套”、“三分组”、“四十字”。、八， 注意:因式分解 定要分解到每 个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因 式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式分解，应该是指在有理数范 围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个 整式的积的形式。二、例题解析提公因式法提取公因式：如果多项式的

7、各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面.确定公因式的方法：系数一一取多项式各项系数的最大公约数；字母(或多项式因式)一一取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 【例1】分解因式：(1) 15a a b 亦 1 I0ab b a "( n 为正整数)4a2n1bm 6an2bm1( m、n为大于1的自然数)【巩固】分解因式：(x y)2n 1 (x z)(x y)2n 2(y x)2n(y z)， n为正整数.【例2】先化简再求值，y xy xyx2y x，其中x2，y 1【巩固】求代数式的值：(3x22) (2x1)(3x2)(2 x1)2x(2x1)(2 3x)，其中x -3【例3】已知：b c a2，求 2 a(a3bc)2 b(-c32 a322b)-c(2b 2c32a)的值.【巩固】分解因式：x3(xyz)(y za)x2z(z xy)x2y(zx y)(x za).公式法平方差公式： a2 b2 (a b)(a b) 公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反； 每一项都可以化成某个数或式的平方形式； 右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积 完全平方公式： a2 2ab b2 (a b)2