圆中常见的分类讨论题选析

1、中常见的分类讨论题选析保明华有关圆的题目经常出现图形的形状、人小和位置关系不确定的情况。在解答时一定要进 行分类讨论才能使解答结果完整。现列举几例分析，供同学们参考。一. 圆周角问题例1.已知AABC内接于圆O, ZOBC= 35°,则ZA的度数为。分析：因点A的位置不确定。所以点A和圆心O可能在EC的同侧，也可能在BC的异 侧。解：（1）当点A和圆心O在EC的同侧时，如图1, ZOBC = 35。:.ZBOC=MO。/. ZBAC=55°图1（2）当点A和圆心O在EC的异侧时，如图2, ZOBC=35°ZBOC= 110°:.ZBPC=55°

2、:.ZfiAC= 125°所以ZA的度数是55。或125°。图2例2.如图3, AB是圆O的弦，AC是圆O的切线，ZBAC=6(r,则弦AE所对的圆周角等于°图3分析：因弦AB所对的圆周角的顶点未确定。可能在这个弦切角所夹的弧上，也可能在 这个弦切角所夹的弧以外的弧上。解：（1）当这个圆周角的顶点在弦切角所夹的弧上时，求得这个圆周角为120%（2）当所求的圆周角的顶点在弦切角所夹的弧以外的弧上时，求得这个圆周角为60。所以弦AB所对的圆周角等于120。或60。二. 半径问题例3.已知圆Q和圆q相内切，圆心距为lcm ,圆q半径为4cm ,求圆0】的半径。分析：根据

3、两圆相内切的特点：圆心距等于人圆半径减去小圆半径。但该题的条件中没有给定谁是大圆，谁是小圆。这时可把圆O看成人圆，也可把圆看成小圆。解：（1）当圆0：是大圆时，则圆Q的半径等于大圆半径4cm减去圆心距1cm,求得圆0的半径为3cm。（2）当圆02是小圆时，则圆0的半径等于小圆半径4cm加上圆心距lcm,求得圆0】的半径为5cm。所以圆的半径是3cm或5ciiio三. 圆中两平行弦的距离问题例4.圆O的半径为5cm,弓玄AB/CD, AB=6cm, CD = Scm .求AB和CD的距离。分析：题中的弦AB、CD都比圆O中的直径小，所以AB和CD可能在圆心的同侧，也 可能在圆心的异侧。解：(1)

4、当AB、CD在圆心的同侧时，如图4,过点O作OM1AB交AB于点M,交 CD于N,并联结OE、OD,得血OMB , RtNOND ,然后由勾股定理求得：OM = 4c/h, ON = 3cm、故 AB 和 CD 的距离为 lcim图4(2)当AB. CD在圆心的异侧时，如图5,仍可求得OM = 4c7«, ON = 3cm °故AB和CD的距离为7cm。所以AB和CD的距离为1cm和7ciiio四. 圆心距问题例5.两圆相切，半径分别为4cm和6cm,求两圆的圆心距。分析：此题中的两圆相切没有说明是内切还是外切，所以应该分两种情况考虑。解：（1）当两圆内切时，两圆心的距离等于大圆半径减去小圆半径，即6-4 = 2c加。（2）当两圆外切时，两圆心的距离等于大圆半径加上小圆半径，即6 + 4 = 10“”。所以两圆的圆心距是2cm或lOcnio例6.相交两圆的半径分别为8和5,公共弦为8,这两个圆的圆心距等于。分析：因两圆的半径都大于公共弦长的一半，所以两圆的圆心可能在公共弦的同侧，也 可能在公共弦的异侧。解：（1）当两圆的圆心在公共弦的同侧时，如图6,设AB是公共弦，交AE于 点C,则AC = 4,由勾股定理解得QC = 4>/L O:C=3,故三=4巧3。A/709 C图6（2）当两