圆的有关概念及性质

1、学而不思则惘，思而不学则殆第一节圆的有关概念及性质，河北8年中考命题规律）份题型题号考查点考查内容分值总分2015选择6三角形的外接圆考查圆内接三角形的外心位置332014解答25(1)圆周角定理，垂径定理以圆折叠为 背景，利用 垂径定理， 圆周角定 理，求弦 心距及角度 数；（2）求折 痕长332013选择14垂径定理涉及利用垂 径定理求圆 半径，从而 求阴影部分面积332012选择5圆周角定理，垂径定理圆周角定理 与垂径疋理 结合的结论判断题222011填空16圆周角定理利用圆周角 定理、等腰 三角形性质求角度332010选择6垂径定理的推论根据垂径定 理的推论找 圆弧所在圆 对应的圆心2

2、22009选择5圆周角定理以止方形的 内切圆为背 景利用止方 形对角线互 相垂直及圆 周角定理， 求角度数2解答20垂径定理应用以半圆形桥洞为背景，810利用垂径定 理及解直角 三角形解决 实际问题2008选择7垂径定理利用垂径定 理，结合分 类讨论思想 求圆上点到 弦的距离为 定长的点的 个数22命题规律纵观河北8 年中考，本 节内容在中 考中每年都 要设置一道 （除20XX年 两题外）且 为每年必考 考点，分值 210分，涉及的题 型，填空、 选择都有， 难度有的较 咼，也有中等难度的 题，其中圆 周角定理考 查了 2次， 垂径定理在 选择题中考 了 3次，解 答题中考了 1次，而垂 径定

3、理与圆 周角定理结 合考查了 2 次，三角形 的外心考查了 1次命题预测预计20XX年河北中考 在此考点上 仍会以垂径 定理和圆周 角定理为 主，三种题 型都有可能 出，其难易 度也不定， 但命中基础 题可能性较 大，应强化 训练,河北8年中考真题及模拟）I. '1垂径定理及推论（6次）1. （2010河北6题2分）如图，在5X 5正方形网格中，一条圆弧经过A、B、C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是（）A. 点P B.点Q C .点R D .点M2. （2008河北7题2分）如图，已知O O的半径为5，点O到弦AB的距离为3,则O O上到弦AB所在直线的 距离为2的点有（）A. 1个

4、B. 2个 C. 3个 D . 4个3. （2012河北5题2分）如图, 是（）CD是O O的直径，AB是弦（不是直径），AB丄CD于点E，则下列结论正确的A. AE>BEB. AD = BC1C. Z D =步/ AECD . ADE s CBE弦CD是水位线,4. （2009河北20题8分）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O,直径AB是河底线,12CD / AB，且 CD = 24m, OE 丄 CD 于点 E.已测得 sin/ DOE =石.（1）求半径OD;（2）根据需要，水面要以每小时0.5m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干?t：工*翻圆周角定理及推论（4次）5.

5、（2009河北5题2分）如图，四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形, 的半径为1, P是O O上的点，且位于右上方的小正方形内，则/APB等于（A、B、O是小正方形顶点，O O）A. 30° B. 45°C. 60° D. 90°6. （2011河北16题3分）如图，点 O为优弧 ACB所在圆的圆心，/ AOC = 108°，点D在AB延长线上，BD =BC，则/ D =.CTHEIlJ三角形的外心及圆内接三角形7. （2015河北6题3分）如图，AC , BE是O O的直径，弦 AD与BE交于点F,下列三角形中，外心不是点O的是（）A.A

6、ABEB.A ACFC.A ABDD . ADE，中考考点清单）君点圆的有关概念圆的 定义定义1:在一个平面内，一条线段绕着它固定 的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的 图形叫做圆.定义2:圆是到定点的距离定长的所有点组成的图形.弦连接圆上任意两点的叫做弦.直径直径是经过圆心的，是圆内最的弦.弧圆上任意两点间的部分叫做弧，弧有之分，能够完全重合的弧叫做能够重合的两个圆叫做等圆同心圆圆心相同的圆叫做同心圆" 圆的对称性圆的 对称性圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条经过的直线圆是中心对称图形，对称中心为垂径定理疋垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条理推平分弦（不是直径）的直径？弦，并

7、且？论弦所对的两条弧圆心角、在冋圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧或两条弦中弧、弦之有一组量？，那么它们所对应的其余各组量也间的关系分别相等.圆周角 的定义顶点在圆上，并且？都和圆相交的角叫做圆周角.圆周角 定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的？推论1:同弧或等弧所对的圆周角 ？推论2半圆（或直径）所对的圆周角是？； 90°的圆周角所对的弦是 ？推论3圆内接四边形的对角？【方法总结】1在解决与弦有关的问题时，作垂直于弦的直径可以构造直角三角形，从而将求解转化成解直角三角形的问 题.2在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也 相

8、等.，中考重难点突破）垂径定理及应用【例1】（2014凉山中考）已知O O的直径CD = 10cm，AB是O O的弦，AB = 8cm，且AB丄CD，垂足为 M， 则AC的长为（）A. 2 5cmB. 4/5cmC. 2 . 5cm 或 4 5 cm D. 2 . 3 cm 或 4 , 3 cm1i【解析】 连接 AC，AO，vOO 的直径 CD = 10cm，AB JCD，AB = 8cm，/AM = AB =寸X 8= 4cm，OD = OC =5cm.当 C 点位置如解图（1）所示，：OA = 5cm，AM = 4cm，CD !AB，OM = OA2- AM 2= '52-42=

9、 3cm，/CM =OC+ OM = 5 + 3 = 8cm，/AC = ' AM 2+ CM 2= 42+ 82= 4 ,5cm；当 C 点位置如解图（2）所示时，同时可得 OM =3cm，TOC = 5cm，/MIC = 5-3 = 2cm，在 Rt KMC 中，AC = AM 2+ MC2= 42+ 22= 2,5cm./AC 的长为 2.5 cm或 4 5cm.【学生解答】【点拨】根据点C的不同位置应进行分类讨论.C针对训练-CD是直径，弦 AB丄CD，垂足为 E，连接BC.若AB = 2,2，/ BCD =（第1题图）（第2题图）1. （2015宁夏中考）如图，在O O中，

10、30°，则O O的半径为2. （2015安顺中考）如上图O O的直径AB垂直于弦 CD，垂足是 E，/ A = 22.5°，OC = 4，CD的长为（）A. 2 2B. 4C. 4 2D. 8类型2 与圆有关的角的计算【例2】（1）（2015南昌中考）如图，点A、B、C在O O 上, CO的延长线交 AB于点D，/ A = 50°，/ B =30°，则/ ADC的度数为（2）（2015娄底中考）如图，在O O中，AB为直径，CD为弦，已知/ ACD = 40°，则/ BAD =度.【学生解答】【点拨】求圆中角的度数时，通常要利用圆周角与圆心角及

11、弧之间的关系，遇直径时，一般联想直径所对圆周 角为直角.C针对训练-3. （2015绍兴中考）如图，已知点 A（0，1），B（0，- 1），以点A为圆心，AB为半径作圆，交 x轴的正半轴于 点C，则/ BAC等于度.（第3题图）（第5题图）4. 已知 ABC的边BC = 4cm,O O是其外接圆，且半径也为 4cm,则/ A的度数是.5. （2015廊坊二模）如图，OO是厶ABC的外接圆，/ BAC = 60°, O O的半径 OC长为2,则弦BC的长为（）A. 2,3B. ,3 C. 2 D. 1，中考备考方略） 一1. （2015毕节中考）如图，已知O O的半径为13,弦AB长为

12、24，则点O到AB的距离是（）A. 6 B. 5 C. 4 D. 3（第 4题图）（第2题图）2. （2015嘉兴中考）如图，O O的直径CD垂直于弦AB于点E,且CE = 2, DE = 8,则AB的长为（）A . 2 B . 4 C . 6 D . 8（2015廊坊一模）如图，将三角板的直角顶点放在O O的圆心上，点P在优弧AB 上,且与点A、B不重合, 的大小为（）C . 50°45°B. 55°4. （2015唐山路北区二模）如图，A、B、C、D四个点均在O O上，/ AOD = 70° , AO / DC,则/ B的度数 为（）A. 40

13、76;B. 45°C. 50° D. 55°5. （2015襄阳中考）点O是厶ABC的外心，若/ BOC = 80°，则/ BAC的度数为（）A. 40° B. 100°C.40° 或 140° D . 40 °或 1006.（2015保定中考）如图，A , B , C是O O上的三点，/ BAC = 45，则/ BOC的大小是（A. 45°B. 60C. 90°D. 22.57. （2015毕节中考）如图是以厶ABC的边AB为直径的半圆 O,点C恰好在半圆上，过 C作CD丄AB交AB

14、3于 D.已知 cos/ ACD =-，BC = 4，贝U AC 的长为（）520 16A. 1 B.§ C. 3 D.g8. （2014黑龙江中考）直径为10cm的O O中，弦AB = 5cm，则弦AB所对的圆周角是 9. （2015黔东南中考）如图，AD是O O的直径，弦 BC丄AD于E，AB = BC = 12,则OC =.10. （2015唐山南路二模中考）如图，正三角形 ABC的边长为2，点A，B在半径为、2的圆上，点 C在圆内,将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，线段 AC所扫过的面积是（第10题图）（第11题图）OA = 1m,水面宽 AB = 1

15、.2m，某天下雨11. （2015衢州中考）一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径后，水管水面上升了 0.2m.则此时排水管水面宽 CD等于m.12. （2016原创预测）如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为 1的O O在格点上，则/ AED的正切 值为.13. （2015安徽中考）在0 O中，直径 AB = 6, BC是弦，/ ABC = 30°,点 P在BC上，点 Q在O O上，且 OP 丄 PQ.（1）如图（1），当PQ/ AB时，求PQ的长度；（2）如图，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值.B14. （2016中考预测）已知O O的半径为13cm，弦AB /

16、CD，AB = 24cm，CD = 10cm，则AB、CD之间的距离 为（）A. 17cm B. 7cmC. 12cm D . 17cm 或 7cm=（A.C.15. （2015兰州中考）如图，经过原点O的O P与x、y轴分别交于 A、B两点，点C是劣弧OB上一点，则/ ACB ）80° B. 90°100°D .无法确定/?（第16题图）（2015日照中考）如图，在 ABC中，以BC（16.BD平分/ ABC，则下列结论不一定成立的是A. BD 丄 ACB. AC2 = 2AB-AEC. A ADE是等腰三角形D . BC = 2AD17. （2015 泰安是半圆的直径，点D，连接BE，设/ BEC = a贝U sina的值为为直径的圆分别交边 AC、AB于D、E两点，连接BD、DE，）O为圆心，OA = 5,弦AC = 8, OD丄AC，垂足为E,交O OB（第17题图）Vh:（第18题图）18. （2015遵义中考）如图，边长为2的正方形ABCD中，P是CD的中点，连接 AP并延长，交BC的延长线 于点F，作 CPF的外接圆O 0,连接BP并延长交O O于点E.连接EF，则