均值不等式的应用习题+答案

1、均值不等式应用一.均值不等式1. 若 a,beR9 则 a2+b2>2ab（2）若 agR,则 ab <（当且仅当 a=b 时取“=”）22. （1）若 a.beR 則（2）若 ayheR 则 a + b>2>Jb （当且仅当 a = b 时取“二”）2（3）若a,beR则出一（当且仅当a = h吋取一 I 23. 若x > 0,则x + ->2 （当且仅当兀=1时取“=”）；若xvO.则x + -<-2 （当且仅当x = -l时取“二”）XX若 XHO,则 X +丄 >2RPx + l>2nJcx+l<-2 （当且仅当 a=h 时取

2、"="） XXX3若ab>Of则- + ->2 （当且仅当a = b时取“二”）b a- + ->2即巴+ ?>2或巴+ b a b a ba（当且仅当a = b吋取“=”）4若a.beR,则（匕纟尸<"+少（当且仅当a = b时取2 2注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和爺小，和定积最大”.（2）求置值的条件“一正，二定，三取等”（3）均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用. 应用一：求最值例仁求下列

3、函数的值域（1） y=3x2+p（2） y=x+£(2)当 x>0 时，y = x+X当x<0时.值域为 解题技巧： 技巧一：凑项例1 ：已x<,4解：因 4x-5<0,-=2解：(1) y = 3x2+p 221=6值域为& , +OO)y = x+- = ( X- ) W2xx(°°, 2 U 2, +8)求函数y =心-2 + !的最大值。4x-5所以首先要“调整”符号，又（4兀-2） 不是常数，所以对4X-2要进行拆、凑项, 4x-5*二.5-4大>0,. v = 4x-2 + != -j 5-4x + !1 + 3

4、<-2 + 3 = 1 44a-5 I5-4aJ当且仅当5-4x = !,即x = l时.上式等号成立，故当x = l吋，儿瘁=1。 5-4%评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。技巧二：凑系数例1.当o <x <4时，求y = A-(8-2x)的最大值。解析：由0 c J <4知，8-2x>0,利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子 积的形式，但其和不是定值。注意到2x + (8 2x) = 8为定值，故只需将y = x(8-2x)凑上一个系数即可。 j； = X8-2=l2r(8-2巧詁严+；-2丫 =8当2x =

5、8 - 2x ,即x=2时取等号 当x=2时，y = x(8- 2.v)的最大值为8。评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 3变式：设0 vxv二，求函数y = 4x(3 - 2.v)的黃大值。2解：3/ 7 Y- 4- 7 rV0<x<-.3-2x>0 y = 4x(3 2x) = 22x(3-2x) < 2'2 2技巧三：分离I，+ 7 v +10例3.求$ = '(x>_l)的值域。当且仅当2x = 3- 2x,即x =扌w(0,弓j时等号成立。x + 1解析一：本题看似无法运用均值不

6、等式，不妨将分子配方凑出含有(x + 1)的项，再舟其分离。 ”+花十10_(“1)2十心+ 1)十44乍x+1a+1'"x+1当 x > -1,即x + 1 > 0 Ht, y> 2 /(x + l)x5 + 5 = 9 (当且仅当 x = 1 时取“=”号)。 Vx + 1技巧四：换元解析二：本题看似无法运用均值不等式，可先换元，令t=x + 1,化简原式在分离求最值。_(/一1)2+7(/ 1)+10_尸+5+ 4 _4V = t H+当 x A ,即 t=X4- 1 > 0 nt, y>2jfx-+5=9 (当 t=2 即 x = 1 时

7、取“="号)。评注：分式函数求最值，通常直接将分子配凑后將式子分开或将分母换元后將式子分开再利用不等式求最 A值。即化为y = ?g(x) + + B(A>09B>0), g(x)恒正或恒负的形式，然后运用均值不等式来求最值。g(x)技巧五：注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应姑合函数f(x) = x + -的单调性。XX* + 5例：求函数y = -J=的值域。Jx1 +4= / + -(/>2)解：令 Vx2+4=r(r>2),则)一宀5 7774因>0,/冷=1,但/=!解得/=±1不在区间2,十切，故等号不成立，考虑单

8、调性。 因为y = f + *在区间1,E)单调递增，所以在其子区间2,+od)为单调递增函数，故y>|o所以，所求函数的值域为练习.求下列函数的最小值，并求取得最小值吋，X的值.(1)x1 +3x+X心>0)(2) y = 2x+,x>3x 3(3) y = 2sinx+ ，兀 w (0,龙) sinx2.已知Ovxvl,求函数)ujx(l_x)的置大值.；3. 0<x<-,求函数y = Jx(2-3x)的就大值.条件求載值1若实数满足a + b = 29则3“ + 3的最小值是.分析：“和”到“积”是一个缩小的过程，而且3“3定值，因此考虑利用均值定理求最小值

9、, 解：3。和3“都是正数，3" + 3 M 2丁3“3" = 2历亦=6当3“ =3时等号成立，由a + b = 2及3“ =3得a = b = 1即当a = b = 1时，3“+3”的最小值是6.1 1变式：若log4 x + log4 y = 29求一+ ：的最小值并求X, y的值x y技巧六：整体代换：多次连用最值定理求載值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。192：已知兀>0,y>0,且一+ = 1,求x+ y的最:小值。x y=12 故(x+y)nm=2 oI 9z 1 Q镇解：x > 0, y > 0 .且I = 1, x+

10、y = + (x+ y) > 2错因：解法中两次连用均值不等式.在x+y>2 等号成立条件是x = y,在丄+2>2|T等号成立 a y"屆19条件是一=一即y = 9xf取等号的条件的不一致，产生错误。因此，在利用均值不等式处理问题时，列出 x y等号成立条件是解题的必要步探，而且是检脸转换是否有误的一种方法。19/、了9y9y正解：x>O.y >0一 + = 1, .x+y = (x + y)i - + =+ + 10>6 + 10 = 16x y3 y) x yy Q r当且仅当一=一吋，上式等号成立,% y1 9又一+ = 1.可得x =

11、4,y = 12 时，(x+y)Mn=16。变式：(1)若x.yeR且2x+y = l,求丄+丄的最小值入 y(2)已知a.b.x, v e 且£ +纟=1,求x+y的最小值x y技巧七、已知x, y为正实数，且x24- =1,求$的最大值. a2 + b2 分析：因条件和结论分别是二次和一次，故釆用公式X 一 O同时还应化简心+y 2中/前面的系数为1 ,下面将X、+牙分别看成两个因式:X2+1_r丄=扌即2+p 2 =羽x A A +y W扌1技巧八：已知a, 0为正实数，2b+ab+a=3Q9求函Y=L的最小值.3D分析：这是一个二元函数的最值问题，通常有两个途径，一是通过消元

12、，转化为一元函数问题，再用单调 性或基本不等式求解，对本题来说，这种途径是可行的；二是直接用基本不等式，对本題来说，因已知条 件中既有和的形式，又有积的形式，不能一步到位求出最值，考虑用基本不等式放缩后，再通过解不等式 的途径进行。30 253026-2 b '+306法一：日=石，ab=b+r 匕=一由日>0得，0V6V15=-2 (t+y ) +34V t+y M2令 C如，1VY16, b= 2t ： + 34f-31即6=3, a=6时，等号成立。Q右当且仅当t=4,法二：由已知得：30 力=曰+26丁 a+2bP2<2 ab:. 30_abM2j2 ab令 u=y

13、ab则 u +2yj2 一30W0, 52 WuW3yfi:；ab 03逗,abW18, 召点评：本題考查不等式匸上丫而 SbwRT的应用、不等式的解法及运算能力：如何由已知不等2式ub = a + 2l + 30(cLbeR出发求得a方的范围，关键是寻找到a + b与“之间的关系，由此想到不等式匸迪n 而(dXRT,这样将已知条件转换为含川?的不等式，进而解得(力的范围. 2变式：1 已知日>0, b>0, ab- (a+b)=1,求a+b的最小值。2若直角三角形周长为1,求它的面积最大值。技巧九、取平方5、已知匕y为正实数，3x+2y=10,求函数W= + 逅 的最值.解法一：

14、若利用算术平均与平方平均之间的不等关系，字 W邑护，本题很简单侮 +妬 7 V (yj3x ) 2+ (2/)2 =V2 yl3x+2y =2&解法二：条件与结论均为和的形式，设法直接用基本不等式，应通过平方化函数式为积的形式，再向“和 为定值”条件靠拢。W>0, w2=3x+2y+2莎 岛=10 + 2伍 历 W10+(伍)2 (岛 r =10+(3”+20=20 WW佰=2&变式：求函数>，= JE+JT页的最大值。解析：注意到2x-1与5-2%的和为定值。y2 =(>/2x-l + j5-2x)? =4+2j(2x-l)(5-2x) 54 + (2x-l

15、) + (5-2x) = 8又y>0,所以0迈当且仅当2x-l = 5 2x,即a =-时取等号。故y =2>/2 o2 nxix-评注：本题将解析式两边平方枸造出“和为定值”，为利用均值不等式创造了条件。总之，我们利用均值不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积 极创造条件利用均值不等式。应用二：利用均值不等式证明不等式1.已知a.b.c为两两不相等的实数，求证：a2 +b2 +c2 > abbc + ca1)正数 a, b、c 满足日+b+c=1,求证：(1 a) (1 6) (1 c) 8abc1 V 1 V 1 A例6：已知a、b、ce ,且a+b + c = l°求证： 11 ;1 > 8分析：不等式右边数字8,使我们联想到左边因式分别使用均值不等式可得三个“2”连乘，又 丄_1二上上=出二还，可由此变形入手。11述