均值不等式证明

1、均值不等式证明已知 x,y 为正实数，且 x+y=1 求证xy+1/xy > 17/41=x+y> 2V (xy)得 xy< 1/4而 xy+1/xy >2当且仅当 xy=1/xy 时取等也就是 xy=1 时画出 xy+1/xy 图像得01 时，单调增而 xy< 1/4/. xy+1/xy > (1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4得证继续追问：拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证补充回答：我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二：证 xy+1/xy > 17/4即证 4(xy)2 - 17xy+4>0即证 (4xy-1

2、)(xy-4) >0即证 xy >4, xy< 1/4而 x,y R+, x+y=1显然xy>4不可能成立/ 仁x+y> 2V(xy)二 xy < 1/4，得证法三：同理0xy+1/xy-17/4=(4x2y2 -4-1 7xy)/4xy=(1-4xy)(4-xy)/4xy>0 xy+1/xy > 17/4试问怎样叫“利用均值不等式证明”，是说只能用均值不等式不能穿插别的途径?!二、已知 a>b>c,求证：1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>0a-c=(a-b)+(b-c)>2V(a -b)*(b-c)于是 c

3、- a< - 2V(a -b)*(b-c)<0即：1/(c- a) > -1/2 V(a -b)*(b-c)那么1/(a-b)+1/(b-c)+1/(c-a)>1/(a -b)+1/(b-c)-1/2V(a -b)*(b-c)>2/V(a -b)*(b-c)-1/2 V(a -b)*(b- c)=(3/2)/2 V(a-b)*(b-c)>0三、1 、调和平均数：Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an) 2 、几何平均数：Gn=(a1a2.a n) A(1/n) 3、算术平均数：An=(a1+a2+.+a n)/n 4、平方平均数：Qn=V(a1A2+a

4、2A2+.+a门人2)/n这四种平均数满足Hn< Gn< An< Qn的式子即为均值不等式。概念：1 、调和平均数： Hn=n/(1/a1+1/a2+.+1/an)2 、几何平均数：Gn=(a1a2.a n(1/ n)3 、算术平均数： An=(a1+a2+.+an)/n4 、平方平均数：Qn=Z (a1A2+a2A2+.+a 门人2)巾这四种平均数满足 Hn< Gn< An< Qnal 、a2、an R +,当且仅当 a仁a2=an时劝="号均值不等式的一般形式：设函数 D(r)=(a1Ar+a2Ar+.anAr)/nA(1/r)(当 r 不等于

5、0时);(a1a2.an)A(l/n)(当 r=0 时)(即 D(0)=(a1a2.an)A(l/n)则有：当r注意到Hn< Gn< An< Qn仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1) < D(0) < D(1) < D(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用2/(1/a+1/b)ab<(a+b)/2人2+13人2)/2方法很多，数学归纳法 (第一或反向归纳 )、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不 等式法、柯西不等式法等等用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。引理：设 A>0, B>0,则(A+B)An > AAn+nAA(n -1

6、)B。注：引理的正确性较明显，条件A>0, B>0可以弱化为A>0, A+B>0,有兴趣的同学可以想想如何证明 (用数学归纳法 )。原题等价于：(a1+a2+ +an )/n)人n > a1a2an。当 n=2 时易证 ;假设当 n=k 时命题成立,即(a1+a2+ +ak )/k)Ak >a1a2ak。那么当 n=k+1 时，不妨设 a(k+1)是 al, a2，, a(k+1) 中最大者,则k a(k+1) > a1+a2十+ak。设 s=a1+a2十+ak,a1+a2+ +a(k+1)/(k+1)A(k+1)=s/k+k a(k+1)-s/k(k+1)F(k+1)> (s/k)A(k+1)+(k+1)(s/k)Akk a(k+1)-s/k(k+1) 用引理=(s/k)Ak* a(k+1)> a1a2a(k+1)。用归纳假设下面介绍个好理解的方法琴生不等式法琴生不等式：上凸函数 f(x) ， x1,x2,.xn是函数 f(x) 在区间 (a,b) 内的任意 n 个点，则有：f(x1+x2+.+xn)/n> 1/n*f(x1)+f(x2)+.+f(xn)设 f(x)=lnx ，f(x) 为上凸增函数所以，ln (x1+x2+.+x n)/n> 1/ n*ln