2019-2020年高中数学幂函数教案1苏教版必修1

1、2019-2020年高中数学幂函数教案 1苏教版必修1三维目标一、知识与技能1理解幕函数的概念，会画幕函数y=x, y=x2, y=x3, y=x1, y=x的图象.2结合这几个幕函数的图象，理解幕函数图象的变化情况和性质二、过程与方法1通过观察、总结幕函数的性质，培养学生概括抽象和识图能力2. 使学生进一步体会数形结合的思想三、情感态度与价值观1通过生活实例引出幕函数的概念，使学生体会到数学在实际生活中的应用，激发学生的学习兴趣2利用计算机，了解幕函数图象的变化规律，使学生认识到现代技术在数学认知过程中的作用，从而 激发学生的学习欲望教学重点常见幕函数的概念、图象和性质教学难点幕函数的单调性

2、及比较两个幕值的大小教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业教学过程一、创设情景，引入新课（多媒体显示以下 5个问题，同时附注相关图象，每个问题的结论由学生说出，然后再在多面体屏幕上弹出）问题1:如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克，那么她需要付的钱数 p=w元，这里p是w的函数问题2：如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 S=a2，这里S是a的函数问题3:如果正方体的边长为a,那么正方体的体积 V=a3，这里V是a的函数问题4：如果正方形场地的面积为S,那么正方形的边长 a=S,这里a是S的函数问题5:如果某人t s内骑车行进了 1 km，那么他骑车的平均速度 v=1 km/s，这里v是t

3、的函数 引导学生观察上述例子中函数模型，几个函数表达式的共同特征：解析式的右边都是指数式，且底数都是变量结论：变量在底数位置，解析式右边又都是幕的形式，我们把这种函数叫做幕函数（引入新课，书写课题）二、讲解新课1幕函数的概念师：如果设变量为 x,函数值为y,就得到函数y=x, y=x2, y=x3, y=1, y=x.它们的一般式为y=x" （得出幕函数的定义，师板书）一般地，函数y=x"叫做幕函数（power function ）,其中x是自变量，a是常数合作探究：幕函数与指数函数有什么区别？（组织学生回顾指数函数的概念，明确两者的区别，得出如下结论）结论：从它们的解析式

4、来看有如下区别：幕函数一一底数是自变量，指数是常数；指数函数一一指数是自变量，底数是常数2几个常见幕函数的图象和性质请在同一坐标系内画出幕函数y=x、y=x2的图象.根据同学们的学习经历，请同学们在同一坐标系内画出函数y=x3, y=x_1, y=x的图象.(生动手画图，师巡视，进行个别辅导，明确作以上函数图象的步骤和方法，指导学生借助计算器作 出函数y=x3, y=x_1, y=x的图象).借助计算机利用几何画板软件，画出函数y=x3, y=x", y=x的图象.合作探索：观察函数 y=x, y=x2, y=x3, y=x-1, y=x的图象，将你发现的结论写在下表内 (师多媒体显

5、示如下图表，师生共同完成下列表格的填写)y =xy=x2y=x3y=x 1y=x定义域值域奇偶性单调性定点合作探索：根据上表的内容并结合图象，试总结函数y=x, y=x2, y=x3, y=x-1, y=x的共同性质.让学生交流，师结合学生的回答组织学生总结出如下性质：(1) 函数 y=x, y=x2, y=x3, y=1, y=x 的图象都过点(1, 1);(2) 函数y=x, y=x3, y=x_1是奇函数，函数 y=x2是偶函数(3) 在第一象限内，函数 y=x, y=x2, y=x3, y=x是增函数，函数 y=x_1是减函数；(4) 在第一象限内，函数 y=x_1的图象向上与y轴无限

6、接近，向右与 x轴无限接近.合作探索：函数 y=x3, y=x是增函数，y=x1在区间(一, 0)和区间(0, +上是减函数，能否说函数y=x1在定义域内是减函数？结论：不能说函数 y=x_1在定义域内是减函数.理由：如果说函数 y=x1在定义域内是减函数，根据函数单调性的定义，对于定义域( g, 0)U( 0, + 8)内的任意的自变量的值，当X1、X2( b, 0)U( 0, + g)且治>X2,恒有y1 V y2,但在一2 V 1时，(一2) 1< 1 1不能满足减函数的定义.方法引导：当函数f (x)的定义域不连续时，如果它在两区间上都单调递增或单调递减，不能说函数 f (

7、X)在定义域上单调递增或单调递减，需分区间分别叙述函数f (X)在各个区间上的单调性.3. 例题讲解【例1】 求下列幕函数的定义域，并指出其奇偶性、单调性(1) y=x; (2) y=x; (3) y=x 2.方法引导：解决有关函数求定义域的问题时，可以从以下几个方面来考虑，列出相应不等式(组)，解不等式(组)即可得到所求函数的定义域. 若函数解析式中含有分母，分母不能为0; 若函数解析式中含有根号，要注意偶次根号下非负； 0的0次幕没有意义； 若函数解析式中含有对数式，要注意对数的真数大于0.观察以上函数的解析式，解析式中的自变量x有哪些限制？结论：在函数解析式中含有分数指数时，可以把它们的

8、解析式化成根式，根据“偶次根号下非负”这 一条件来求出对应函数的定义域；当函数解析式的幕指数为负数时，根据负指数幕的意义将其转化为分式 形式，根据分式的分母不能为 0这一限制条件来求出对应函数的定义域 .师：现在我们就能解决这个问题了.解：(1)函数y=x,即卩y=，其定义域为 R，是偶函数，它在0, +上单调递增，在(g,0 上单调递减 .(2) 函数y=x,即y=，其定义域为(0, +m),它既不是奇函数，也不是偶函数，它在(0, + 上单调递减 .(3) 函数y=x_2,即y=,其定义域为(g,0)U( 0, + ),是偶函数它在区间(汽 0)和(0, +R)上都单调递减【例2】 证明幕

9、函数f (x)=在0, +g)上是增函数.请同学们回顾一下如何证明一个函数是增函数,然后请一个学生作答,师板书.证明：设0w x1< x2,则 f(x1) f( x2) =,因为x1 x2<0, + > 0,所以 f( x1 )< f( x2),即幕函数f(x)=在0, +g)上是增函数.以上是用作差法证明函数的单调性，还可以用作商法证明函数的单调性，作简要分析，提出注意点：在证得< 1后，要比较f ( Xi)与f ( X2)的大小，要注意分母的符号.合作探究：【例 3】 比较下列各组数的大小：(1) 1.5, 1.7, 1；(2) (),(), 1.1；(3)

10、3.8, 3.9,( 1.8)；( 4) 31.4, 51.5.方法指导：比较两个或多个数值的大小,一般情况下是将所要比较的两个或多个数值转化为比较某一 函数的不同函数值的大小问题, 进而根据所确定的函数的单调性, 比较自变量的大小即可 .若所给的数值不 能转化为比较同一函数的不同函数值的大小问题,可以找出中间量来作为桥梁间接地进行比较,确定出它 们的大小关系,一般情况下是根据具体情况选择常数“1”“ 1”或“ 0”这些数作为中间量来进行比较.解：(1)v所给的三个数之中 1.5和1.7的指数相同，且1的任何次幕都是1，因此，比较幕1.5、1.7、 1的大小就是比较1.5、1.7、1的大小，也

11、就是比较函数 y=x中，当自变量分别取 1.5、1.7和1时对应函数 值的大小关系，因为自变量的值的大小关系容易确定，只需确定函数y=x的单调性即可，又函数y=x在(0,+g)上单调递增，且 1.7> 1.5> 1，所以1.7 > 1.5> 1.(2)() =()，() =()， 1.1=(1.1) 2=1.21.幕函数y=x在(0, +)上单调递减，且<< 1.21 ,()>()> 1.21 ,即()>()>1.1.(3) 和学生一起分析：利用幂函数和指数函数的单调性可以发现0<3.8<1， 3.9>1，(1.8)

12、<0， 从而可以比较出它们的大小 .(4) 和学生一起分析：它们的底和指数也都不同，而且都大于1，我们插入一个中间数 31.5，利用幂函数和指数函数的单调性可以发现31.4<31.5<51.5.方法总结： (1)在第( 1)题中，底数相异，指数相同的数比较大小，可以转化为比较同一幂函数的 不同函数值的大小问题，根据函数的单调性，只要比较自变量的大小就可以了.( 2)在第( 2)题中，通过观察发现，这三个数指数可以统一，底数可以化为正数，故可利用幂函数 的单调性比较大小 .在比较幂值大小问题时，分析数据特征， 合理变换数据形式， 是比较数值大小的方法之(3)在第( 3)题中，若

13、所给的几个数底数和指数都不能化成相同的，可分组分别根据各自对应的函 数的单调性比较大小，再借助于中间量 1， 1 或 0这些中间桥梁来比较它们的大小 .( 4)在第( 4)题中，底和指数都不同，插入一个中间数，综合利用幂函数和指数函数的单调性来比较.4. 目标检测(1) 下列函数中，是幕函数的是2A. y= xB.y=3xC.y=(2) 下列结论正确的是A. 幕函数的图象一定过(0, 0)和(1 , 1)B. 当aV 0时，幕函数y=x"是减函数C. 当a >0时，幕函数y=x"是增函数D. 函数y=x2既是二次函数，也是幕函数(3) 函数y=x的图象大致是a和m.(4) 幕函数f (x) =ax (m Z )的图象与