第三章第六节正弦定理和余弦定理

1、第三章 第六节 正弦定理和余弦定理一、选择题1在ABC中，A60°，B75°，a10，则c()A5B10C. D5解析：由于ABC180°，所以C180°60°75°45°.由正弦定理，得ca10×.答案：C2已知ABC中，sin Asin Bsin C11，则此三角形的最大内角的度数是()A60° B90°C120° D135°解析：在ABC中，sin Asin Bsin Cabc，abc11，设abk，ck(k>0)，最大边为c，其所对的角C为最大角，则cos C，

2、C120°.答案：C3(2011·浙江高考)在ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若acos Absin B，则sin Acos Acos2B()A B.C1 D1解析：acos Absin B，sin Acos Asin2B，sin Acos Acos2Bsin2Bcos2B1.答案：D4若ABC的内角A、B、C所对的边a、b、c满足(ab)2c24，且C60°，则ab的值为()A. B84C1 D.解析：由(ab)2c24，得a2b2c22ab4.由余弦定理得a2b2c22abcos C2abcos 60°ab，将代入得ab2ab4，即a

3、b.答案：A5在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30° B60°C120° D150°解析：由sin C2sin B可得c2b，由余弦定理得cos A，于是A30°.答案：A6在ABC中，D为边BC的中点，AB2，AC1，BAD30°，则AD的长度为()A. B.C. D2解析：延长AD到M，使得DMAD，连接BM、MC，则四边形ABMC是平行四边形在ABM中，由余弦定理得BM2AB2AM22AB·AM·cosBAM，即1222AM22·2

4、·AM·cos 30°，解得AM，所以AD.答案：B二、填空题7(2011·北京高考)在ABC中，若b5，B，sin A，则a_.解析：根据正弦定理，得a.答案：8在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，S是ABC的面积，且4Sa2b2c2，则角C_.解析：由4Sa2b2c2，得2S.所以absin C，sin Ccos C，所以tan C1.C.答案：9(2011·安徽高考)已知ABC的一个内角为120°，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC的面积为_解析：不妨设角A120°，c<b，则ab4，cb4，

5、于是cos 120°，解得b10，所以Sbcsin 120°15.答案：15三、解答题10(2012·南京模拟)ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，asin Acsin Casin Cbsin B.(1)求B；(2)若A75°，b2，求a，c.解：(1)由正弦定理得a2c2acb2.由余弦定理得b2a2c22accos B.故cos B，因此B45°.(2)sin Asin(30°45°)sin 30°cos45°cos 30°sin 45°.故ab×1.cb

6、15;2×.11(2011·山东高考)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)若cos B，b2，求ABC的面积S.解：(1)由正弦定理得，设k，则，.即(cos A2cos C)sin B(2sin Csin A)cos B，化简可得sin(AB)2sin(BC)又ABC，所以sin C2sin A.因此2.(2)由2得c2a.由余弦定理b2a2c22accos B及cos B，b2，得4a24a24a2×.解得a1，从而c2.又因为cos B，且0<B<，所以sin B，因此Sacsin B×1×2×.12已知向量m(sin A，)与n(3，sin Acos A)共线，其中A是ABC的内角(1)求角A的大小；(2)若BC2，求ABC的面积S的最大值，并判断S取得最大值时ABC的形状解：(1)因为mn，所以sin A·(sin Acos A)0，所以sin 2A0，即sin 2Acos 2A1，即sin(2A)1.因为A(0，)，以2A(，)故2A，即A.(2)由余弦定理，得4