2019-2020年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课后练习北师大版选修

1、2019-2020年高中数学第二章几个重要的不等式2.2排序不等式课后练习北师大版选修、选择题P与Q间的大小关系是33221 .设 a, b R+, P= a + b , Q= a b+ ab ,则A. P>QB.P> QC. P<QD.P< Q答案： B2.1 + 61 3n的取值范围是（A.(21 ,+s)B. (61 ,+)C.(4 ,+s)D. (3n 2,+)答案:3.x,y, z F+ ,2 2 2 2 2 2z x x y y z“= 则 +的最小值为x+ yy+zz+ xA.B. 1C.D. 9答案:4.已知a, a2, a3为正整数，则a+扌+詈的最大

2、值为A.C.49答案:二、填空题5.设正实数a1, a2,，an的任一排列为 a',比a1an，则 0?a2an+ + a2an的最小值为答案： n6.某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4 件,5件和2件单位分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花元，最多要花.现在选择商店中元.答案： 19,25三、解答题7.设C1, C2，cn为正数a1, a2，an的某一排列,ai a2an求证：一-F 十>n.Ci C2Cn证明：不妨设0<aiW a2=w an,则1 11A 一.ai 82an1 1 1 1 1 _ _ _ -是_ C1，C2， ， 6疋 a1， a2， ，1

3、的一个排列，故由排序原理:an反序和w乱序和得111a1 + a2 + +an a1aaan11w a1 + a2 C1C2+1卄a1a2an+ an 即 +_ a nCnC1C26&设 a, b, c Q ,求证:1 1 11373； 713； 33； W -a + b + abc b + c + abc c + a + abc abc证明： 不妨设a a b> c>0,则a2 a b2,a3 + b3 = a2 a+ b2 b> a2 b+ b2 a. .3333同理 b + c a bc( b + c) , c + a a ac( c+ a),所以1 ,a +

4、b + abc1 , 1+ b + c + abc c + a + abc1wab a+ b+ abc+ bc b+ c + abc+ ca c+ a+ abc1a+ b+ cV右+丄二召ab bc ca abc9.设a1, a2，,an为1,2，,n的一个排列，求证:n 1a1a2an-12+3+w +na2a3an证明： 设b1, b2，bn-1为a1 , a2,，an-1的一个排列, 且 b1<b2<y bn- 1,C1, C2,cn-1 为 a2, a3,an 的一个排列，1 1>>>C1 C2且 C1<C2<V Cn-1,于是由排序不等式：乱

5、序和A反序和，得a1a2an-1bb2bn -1+ A + a2a3anC1C2Cn-1由于 bi> 1, b2>2,，bn1n 1,eV2, c3< 3,，cn-1< n,十 口 bb2bn 1于是一+ +C1C2Cn 1n 1n 1 nb1b2bn1w + + 一C1C2Cn1综合，得证.2019-2020年高中数学第二章几个重要的不等式2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法的应用课后练习北师大版选修一、选择题1. 用数学归纳法证明“2 n>n2+ 1对于n>no的正整数n都成立”时，第一步证明中的起 始值no应取（）A. 2B. 3C. 5D. 6解

6、析：使2n>n2+ 1,经过计算知应选 C.答案： C2. 用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn + yn能被x + y整除”的第二步是（）A. 假使n= 2k+ 1时正确，再推 n = 2k + 3正确B. 假使n= 2k 1时正确，再推 n = 2k + 1正确C. 假使n= k时正确，再推n= k + 1正确D. 假使nw k（ k> 1）时正确，再推 n= k+ 2时正确（以上k N+）解析：因为是奇数，所以排除 C、D,又当k N时，A中2k+ 1取不到1,所以选B.答案： B13. 在数列an中，a1 = 3,且S= n（2n 1） an,通过求a2, a3,a4,猜

7、想an的表达式为（）3A.1n n +12n n+C.2nn+D打+ 1n +111解析:经过a1 = 3可算出a23X5，a3訐，所以选C.答案:C1 114.用数学归纳法证明“ 1 +23+ 2<n(n N+，n>1)”时，由n k(k>1)时不等1 1式成立，推证n= k+ 1时，左边应增加的项数是(k 1A. 2B.)2k1C. 2kD.解析： 由k到k+ 1,则左边增加了1 1 12k+ 2T!+产，共2项.答案： C二、填空题5. 用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n,总有2 >n ”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值no应当是解析： 经过计算知n

8、o最小应为10.答案： 10111136. 用数学归纳法证明不等式+>的过程，由n= k推导n= k + 1n + 1 n + 2n + n24时，不等式的左边增加的式子是.1解析：应该比原来增加了 下+.答案：12k+12k+2三、解答题7. 求证：(n+ 1)( n+ 2) (+ n) = 2n 1 3 5 (2 n 1)( n N+).证明： (1)当n= 1时，等式左边=2，等式右边=2X 1 = 2, 等式成立.假设n= k( k N+)时等式成立，即(k +1)( k+ 2) ( k + k) = 2kx 1x3x5x-x (2 k 1)成立.那么 n= k+ 1 时，(k

9、+ 2)( k+ 3) ( k + k)(2 k + 1)(2 k+ 2)=2(k + 1)( k + 2)( k + 3) ( k + k)(2 k + 1) = 2 + x 1x3x5x-x (2 k 1)2( k + 1) 1.即n = k+ 1时等式成立.由(1)(2)可知，对任何n N+等式均成立.8 .用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数n ,不等式1 +1 +亦土 >f成立.证明： (1)当n= 2时，左边=1 + 3 = 3，右边=2，左边 >右边，不等式成立. 假设当n= k(k>2)时，不等式成立，即+5 1+1 l2k +1 2k + 1 >2.

10、那么当n= k + 1时,P1 + 2 k+1 -1：>2k + 1 2k + 22k+ 222k + 12k +1寸4k? + 8k+4 寸4k? + 8k+ 32 ；2k+ 12 .2k+ 12k + 3 .2k + 1k+12 2k+ 1当n= k+ 1时，不等式也成立.由(2)知，对一切大于1的自然数n,不等式都成立.2222 n n i I29.是否存在常数 a, b, c使得12 + 23 + 34+ n(n + 1) =( an +bn+ c)对一切n N+都成立？证明你的结论.解析： 此题可用归纳猜想证明来思考假设存在a, b, c使题设的等式成立令 n =1,得 4= 6(a+ b+ c)；当 n = 2 时，22 = *4a+ 2b+ c)；当 n= 3 时，70 = 9a+ 3b + c,联立a= 3, b= 11,c= 10.当 n= 1,2,3n n+ I2 2 2 2时，等式12 + 23 + 34 + n(n+ 1)3n2+ 11n+亠、12成立.猜想等式对nN+都成立，下面用数学归纳法来证明记2 2 2S= 12 + 23 + n(n+ 1)，设当n = k时，上面等式成立,：k2+ 11k + 1(】12 .即有$=则当 n= k+ 1 时，S+1 = S + (k + 1)( k+ 2)2k k + vTk+1122 2-(3k +