人口预测问题

1、人口预测问题摘要从20世纪70年代后期以来，这三十年的时间里，计划生育政策对建设中国特色社会主义，实现国家富强和民族复兴产生了巨大影响。但是，在经历了迅速从高生育率到低生育率的转变之后，我国的人口主要矛盾已经不再是增长过快，而是临近超低生育率水平、人口老龄化等问题。本文重点研究了计划生育政策的调整对人口数量、结构的影响。问题一：本文运用灰色预测理论和回归分析法，根据1990-2010年我国人口数量的相关数据，建立人口数量的灰色预测模型和回归模型，采用这两种方法分别对2015年的人口总数进行预测。预测的结果为：灰色预测得到的数据为140613万人，与2015年全国1%人口抽样调查的结果13734

2、9万相比，残差为-0.024，该预测值较合理；回归分析法得到的数据为140300万人，与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.021，该预测较合理。两种方法预测得到的数据相近，由于在后续的预测中灰色预测更接近真实值，所以本文采用灰色预测模型进行下面人口结构的分析。问题二：本文针对“二孩”政策对人口变化的影响，结合人口变化中存在的老龄化、性别比例失衡等问题，对中国人口总量及人口分布建立了人口模型进行预测。首先，在中国统计年鉴以及历次人口普查数据的基础上，分析了性别比例、死亡率以及生育率对人口增长的影响。使用Leslie人口模型对人口总量进行预测，Leslie模型可以

3、很好地用于预测人口比例结构。最后采用MATLAB编程对Leslie人口模型实现，对两种政策下人口总量及人口结构进行了预测。问题三：年满30周岁还未婚的男性或女性都称为“光棍”。利用2013年实际的各年龄段男性与女性人数通过Leslie模型预测得到2016年各年龄段的男性与女性人数。利用预测的2016年各年龄段的男性与女性人数作为基础数据用Leslie模型来预测将来50年内的各年龄段男性与女性人数，在30周岁以后的年龄段中观察男性人数比女性人数多于3000万的年限。由作图可知，在未来50年内并不会出现在30周岁以后男性人数比女性人数多于3000万的情况。因此 “中国适婚人口中将出现3000万-4

4、000万的光棍”这个说法并不正确。 关键词：灰色预测理论 回归模型 人口预测 Leslie模型 单独二孩 全面二孩一、 问题重述1.1问题背景我国于2010年和2000年分别进行了全国第六次和第五次全国人口普查，并于2015年进行了全国1%人口抽样调查。请收集相关数据，应用数学建模知识针对以下几个问题，进行建模。1.2问题提出1、应用2000年和2010年人口普查数据，预测2015年人口数量，讨论人口结构相关变化，应用相应数据进行模型验证和改进。 2、我国于2013年制订了“单独二孩”政策，并于2015年实行“全面二孩”政策，请应用数学建模知识，讨论相应政策对人口结构变化的影响。 3、 针对我

5、国人口性别比失衡的问题，有媒体报道“中国适婚人口中将会出现3000到4000万的光棍”，请针对这个报道，应用建模和相关数据，对此问题进行定量分析，是否会真正出现相应的问题。二、问题分析问题一的分析：我国是一个人口大国，人口问题始终是关系着我国发展的关键问题，已成为经济发展中的一个重要组成部分，对我国经济社会的发展有着越来越大的影响，人口问题也是我国的基本问题。合理的人口数量是区域经济发展的主要推动力之一，而过多或过少的人口数量，或者造成巨大的人口压力和生态环境问题，或者造成经济发展动力不足而限制经济发展。因此，准确合理的人口预测是制定区域经济社会发展规划、区域人口政策和进行社会决策的基础和科学

6、依据。人口预测的方法有很多，基于2000年和2010年人口普查数据，结合各种预测模型对原始数据序列的不同要求，可以采用一元线性回归模型、马尔萨斯模型、logistic 模型、灰色模型等 4方法。本文中我们只采用了一元线性回归模型和灰色预测模型来预测2015年人口数量。本文中我们搜集了从1990年至2010年每一年的总人口数，其中1990年、2000年和2010年的人口数是通过全国第四次、第五次和第六次人口普查而得到，其余年份的人口数是通过全国1%人口抽样调查得到。问题二的分析：人口问题一直是人类社会发展的核心，中国是一个人口数量大国，人口政策作为调控人口各项指标的直接手段，关系到中国人口数量、

7、人口规模以及经济、资源、环境的协调发展。题中主要要求对不同生育政策下人口数量和人口规模进行分析预测。近年来，发展较为成熟的人口预测模型主要有BP神经网络模型，Logistic模型，Leslie模型以及GM(1，1)模型等，选取哪种模型进行预测，是首要考虑的问题。BP神经网络模型需要大量的历史数据来进行预测，这些数据的获得比较困难，操作也比较繁琐，长期预测效果不是很好，因此不予考虑。可考虑用Logistic模型和Leslie模型对人口规模进行预测，由于Leslie模型在预测人口数量的同时，对人口结构也能进行很好的预测，可做重点考虑。其次，题中涉及的单独二孩政策，全面二孩政策，如何对这两个政策进行

8、定性及定量分析，怎样区别这两个政策，哪些因素决定着生育政策的不同，这是需要去考虑的。分析政策实施前后人口数量变化趋势，及人口结构的变化，尤其需要具体分析三种政策下人口老龄化程度、人口性别比、人口抚养比等等，从而给出合理化建议，故选用Leslie模型。问题三的分析：由上一问分析可知，不论是实施“单独二孩”政策还是“全面二孩”政策，我国人口性别比将会出现先升高后下降的趋势，最高可达106，会出现男性人口多于女性人口的现象。但是到2050年之后，男女性人口数接近于1:1.是否会出现3000万到4000万的光棍就要看将来在适婚年龄人群中会不会出现男性人口比女性人口多3000万到4000万。我们仍然采用

9、Leslie模型，以预测得到的2016年男女人口数作为基础数据，来得到以后每一年的男女人口数，统计30周岁以后的男女人口数，将两种人口数相减，看是否超过3000万。三、 模型假设假设1：所有数据均具有真实可靠，具有统计分析价值；假设2：本问题所研究的是一个封闭系统，即不考虑人口迁移问题；假设3：在预测期内，不发生战争及自然灾害等引起大规模的人口伤亡或人口迁移，即人口变化保持平稳，不出现骤减的现象；假设4：各地各民族的人口政策相同；假设5：假设2010年前城市夫妻双方都是独生子女只能生一胎，2011年政策开放后，允许生两胎；假设6：15周岁到49周岁的所有女性为育龄妇女，不考虑其是否已婚、丧偶，

10、是否具有生育能力；假设7：不考虑生育率、死亡率和男女性别比随着区域人口流动发生变化的情况；假设8：假设用多胞胎的数量来抵消那些不结婚的成年男女；假设9：各年段人口死亡率不出现突变现象； 假设10：中国所能容纳的人口有限。四、 符号说明符号符号说明第t年第i年龄组的女性人口数，i=0，1，290第t年第i年龄组的男性人口数，i=0，1，290第t年第i年龄组的女性死亡率第t年第i年龄组的男性死亡率第t年第i年龄组的女性存活率第t年第i年龄组的男性存活率第t年第i年龄组的女性生育率 第t年出生人口中女性新生儿比例五、 模型的建立和求解5.1问题一5.1.1模型一的准备5.1.1.1灰色预测模型人口

11、发展趋势并不呈现显著的规律性，人口发展表现为复杂多变、非平稳的随机过程。灰色预测将已知的数据序列按照某种规则“生成”动态或非动态的白色模块，从杂乱无章的原始数据中开拓或寻找其内在规律，再按照某种变化、 解法来建立灰色模型，从而预测未来数值，单一变量一阶微分方程称为GM（1，1）模型。GM(1，1)模型所需数据量少，思路简单，运算简便的特点对于改善数据的随机性、提高预测精度有着显著的优越性。灰色预测的主要特点是模型使用的不是原始数据序列。而是生成的数据序列，其核心体系是灰色模型，即对原始数据做累加生成得到近似的指数规律再进行建模的方法。5.1.1.2级比检验根据1990年至2010年的人口数据，

12、建立人口数时间序列如下： （单位：万人）（1） 求级比，有 （2） 级比判断经过比较可知，所有的级比都落在可容覆盖的内，则序列可以作为模型GM(1，1)的数据进行灰色预测。5.1.2模型一的建立（1）对原始数据做一次累加，得到单位：万人(2) 构造数据矩阵B及数据向量Y，有, (3) 计算记，由最小二乘法，求得达到最小值的u的估计值为 求得，（万）(4) 建立模型白化微分方程为 解方程得 即 （5）求生成序列预测值及模型还原值令 由上面的时间响应函数可算得预测累加值，其中，取由， 求得每年人口数预测值图1.1990-2010年人口预测值5.1.3模型一的检验预测值与原始值的比较（1） 残差检验

13、。令残差为，计算 这里，如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求。（2） 级比偏差值检验。首先由参考数据计算出级比，再用发展系数求出相应的级比偏差 如果，则可认为达到一般要求；如果，则认为达到较高的要求。模型的各种检验指标值计算结果见下表图2.1990-2010年人口数的预测值与真实值比较经检验，模型的精度很高 ，可进行2015年人口数的预测和预报。5.1.4 2015年人口预测根据上述模型，我们可以预测2015年人口数为140613万人；与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.024，该预测值较合理。5.1.5模型二的准备5.1.5.1回归分析法：

14、回归分析是一较为常见的分析方法，该方法从事物的因果关系出发，在大量原始观测数据的基础上，建立自变量与因变量的函数表达式，确定回归方程，预测事物今后的发展趋势。人口增长过程中，各时期人口发展速度比较接近时，即在人口发展曲线上任意点切线的斜率基本相等且近似为直线增长的时候，可以选用一元线性回归方法进行人口数量测算。受测算条件的限制，这种模型比较适用于短期内的人口预测，用于长期预测时会因人口变动引起的误差逐渐放大而影响预测结果的准确性。本文采用一元线性模型进行人口预测。5.1.6建立回归分析方法模型5.1.6.1模型一元线性回归模型为 其中为年份，为当年人口数，都是与无关的未知参数，称为回归系数。现

15、得到21个独立观测数据，为的观测值，为的观测值，则有 记式可表示为 其中为阶单位矩阵5.1.6.2参数估计参数用最小二乘法估计，选取估计值，使得当时，误差平方和 达到最小。为此，令得 整理化为以下正规方程组 正规方程组的矩阵形式为则 将上述值代入原模型得到的估计值 而这组数据的拟合值为 记,拟合误差称为残差，可作为随机误差的估计值，而 为残差平方和，求得下表为每年人口原始值和预测值数据图3.1990-2010年人口预测值图4. 1990-2010年人口数的预测值与真实值比较5.1.3.3回归模型的假设检验如果很小，y与x 的线性关系就不明显，所以可令原假设为当成立时，由分解式定义的U,Q满足

16、其中 求解得在显著性水平a下，拒绝该假设，模型整体上通过了检验。即y 与x的线性关系明显。5.1.7预测2015年人口数根据上述模型及其检验结果可知，该模型可以用来预测2015年人口数量140300万人，与2015年全国1%人口抽样调查的结果137349万相比，残差为-0.021，该预测值较合理。5.1.8两种模型的分析GM（1， 1）模型由于没有拼凑一堆数据不准确关系不清、变化不明的参数，而是从自身的时间序列中寻找有用信息建立模型，通过探测和识别样本数据内在规律进行预测，这样就排除了由于参数估计不准确而导致的模型整体精度的下降。灰色预测最大的特点在于不必追求大量历史数据，也不苛求数据的典型分

17、布，而是通过时序数据累加生成模块建立模型，滤去原始序列中可能混入的随机量，从上下波动的时间序列中寻找样本数据隐含的规律性。回归分析中由于各种曲线模型反应的趋势有所差异，如线性模型变化较为稳定， 指数模型发展趋势呈现先慢后快的状况，对数模型则恰好相反。所以，应在可预见的范围内，对人口发展趋势做出大致可靠的估计，选择拟合度较高的回归模型。 综合两种方法对模型趋势的影响，我们采用GM（1， 1）模型对后续的人口结构进行分析。5.1.9采用灰色预测对2015年人口结构进行分析由上述所建灰色预测模型对人口结构进行分析（1） 人口总数全国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口为140613万人。同第

18、六次全国人口普查2010年11月1日零时的133972万人相比，五年共增加6641万人，增长4.96%，年平均增长率为0.99%.用MATLAB软件将其预测值与实际值绘于坐标图上描点画图。图5.预测人口总数由图可知：预测值的趋势稍高于实际值。但人口数的还是增加的趋势。（2） 性别构成大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，男性人口为72660万人，占51.67%；女性人口为67955万人，占48.33%。用MATLAB软件将其预测值与实际值绘于坐标图上描点画图。图6.预测性别构成（3）年龄构成大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，0-14岁人口为21987万人，占15.62%

19、；15-64岁人口为104980万人，占74.59%；65岁及以上人口为13771万人，占9.79%。用MATLAB软件将其预测值与实际值绘于坐标图上描点画图。图7.预测年龄构成（4）城乡人口大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口中，居住在城镇的人口为83126万人，占55.71%；居住在乡村的人口为66088万人，占44.29%.用MATLAB软件将其预测值与实际值绘于坐标图上描点画图。图8.预测城乡人口数据来源见附件一。5.2问题二5.2.1模型的准备Leslie模型属于一种以年龄和性别为基础的离散矩阵模型，人口学家很早就利用这个原理进行人口预测方面的研究，模型构建原理：按性别分组，

20、以女性某一初始时期的分年龄别人口数作为一个列向量，通过年龄别生育率、年龄别死亡率构建Leslie矩阵，右乘分年龄别人口数的列向量，得到新的列向量作为新的女性人口，通过男女比例推算出总人口。所以Leslie模型是以离散的人口作的相关自变量、性别分组及某一初始时期的人口发展数据为机理，能对未来一个或多个区域进行人口规模和年龄结构以及性别比进行预测的综合模型。本文所建立的Leslie模型涉及到四个变量：年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比。（1）年龄别生育率年龄别生育率是指某个年龄组的女性所生育活产婴儿数与这个年龄分组的女性总数之比，计算公式为：年龄别生育率=(某年龄组女性活产婴儿

21、数/该年龄组女性总人数）*1000.通常以每千人为单位来表示,可以由原始统计资料直接获得。根据总和生育率与年龄别生育率的关系，妇女的年龄别生育率的数学表达式可设为 其中B为总和生育率； 为妇女年龄别生育率；x为生育年龄，这里x假设取值范围为15到49；为特定的生育模式，即标准化年龄别生育率。这个统计数据是已知的。所以可以利用MATLAB统计软件拟合出特定生育模式的参数，进而估计出具体的生育模式。用对数正态分布的数学形式表示生育模式为 其中初始生育年龄为，定为 ，参数决定了生育模式的形状。本题中根据标准化年龄别生育率与总和生育率的乘积来求得年龄别生育率。（2）总和生育率总和生育率是指正常情况下每

22、个育龄妇女一生中平均所生育的儿女总数。总和生育率与年龄别生育率的关系就是如果每个妇女在一生中都能遵从每年的年龄别生育率来进行孕育，那么一生所生育的儿女总数，就是总和生育率。在计划生育实施时，其总和生育率为B=1.18；从2013年开始实施“单独二孩”时，其总和生育率为B=1.8；从2015年开始实施“全面二孩”时，其总和生育率为B=2.1（3）年龄别死亡率年龄别死亡率是指在一定时期内的某年龄组死亡人数与该时期这个年龄组平均总人口数的比率，是衡量各年龄人口死亡速度的指标。计算公式为：年龄别死亡率=（某年龄组死亡人数/该这个年龄组平均总人口数）*1000通常以每千人为单位来表示，可以由原始统计资料

23、直接获得。（4）出生人口性别比出生人口性别比是指在某一时期内出生男性人口数与出生女性人口数的之比，通常用每百名女性人口数所对应的男性人口数来表示。该比值越高，说明这个时期出生的男性人口数越多。计算公式为：出生人口性别比=（某一时期活产男孩数/该时期活产女孩数）*100通常以每百人为单位来表示，可以由原始统计资料直接获得。联合国认定的出生人口性别比正常值域为102,107，符合人类生物学规律人口性别比是指某一时期一定规模的人口中，男性人口与女性人口的比值，通常以每百名女性总数所对应的男性总数来表示。我们以2006年2014年的出生人口性别比用GM（1,1）模型来预测将来50年的出生人口性别比。最

24、终得到的数学模型为 从2006年到2056年的预测人口性别比如下图图9. 2006年到2056年的预测人口性别比做成图表的形式可以直观的看出预测得到的出生人口性别比在逐年下降，即女性人口将会比男性人口多。但是考虑到性别比本身不能过多的偏离100这个平衡值，在50年内，人们的生育观念很难发生彻底的改变，而GM(1，1)模型是没有考虑到这些因素的，所以预计出生性别比在未来50年可能接近但不会低于110.综上分析，现行人口政策没有改变的情况下，即一直实施计划生育措施时，可以利用GM(1，1)进行未来10年预测，在长期预测中，将性别比控制为固定值110。在实行“单独二胎”和“全面二胎”政策时，由于这种

25、措施可以促使出生人口性别比回归正常值，但是不会太低，所以本文将2031年的出生性别比的预测值定为人口社会学规律正常值域的上限107。该预测结果为以下人口总量等的预测提供了数据基础。以上标准化年龄别生育率、2009、2013年年龄别死亡率、20062014年的出生人口性别比均通过中国统计年鉴获得。详细数据见附表二。5.2.2模型的建立本文基于Leslie模型对中国人口规模及结构进行预测分析，具体分析如下：首先，将我国的人口按年龄分为91组，以一年为间隔，90岁及90岁以上的全部划分到一个年龄组，第t年第i年龄组的女性人口数为 , i=0，1，290 第t+1年第0年龄组的新生女性人口数: 第t+

26、1年第i+1年龄组的女性人口数为第t年第i年龄组存活下来的女性人口数： 构造的Leslie矩阵得到Leslie人口预测模型 人口预测模型的矩阵简化式为 通过递推公式可得因此，可根据L矩阵及初始女性人口分布向量，得到第年女性人口的分布数量，通过男女比例推算出总人口的各项指标。5.2.3模型的求解运用Leslie模型的各参变量年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比例在三种不同策略下来预测未来50年人口总数、人口年龄系数、人口抚养比和人口性别比。（1） 计划生育在此策略下，总生育率为1.18；以2009年的男女年龄别死亡率为基础数据作为年龄别死亡率进行研究；将2021年以后的出生人口

27、性别比例设为固定值110进行研究。其年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比例对人口总数、人口年龄系数、人口抚养比和人口性别比的影响及变化趋势如图。图10.计划生育的影响分析此图可知，在计划生育实施的情况下，2010年之后我国未来人口总规模开始缓慢增长，到2022年人口总量出现峰值13.57亿，2022年后人口总量开始回落，直至2050年人口总量为10.65亿。少年人口系数与青壮年人口系数在未来的50年内整体呈下滑趋势，老年人口系数在2043年达到最高峰后逐渐趋于平缓。由于计划生育政策的实施，使得人口老龄化情况严峻，少年儿童人数减少，所以老年人口的抚养比逐年增加，少年人口的抚养比

28、减少，人口总抚养比持续升高。人口性别比逐年降低，到2045年降到最低0.99后又开始回升至稳定水平。（2） 单独二胎在此策略下，总生育率为1.8；仍以2009年的男女年龄别死亡率为基础数据作为年龄别死亡率进行研究；将2031年以后的出生人口性别比例设为固定值107进行研究。其年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比例对人口总数、人口年龄系数、人口抚养比和人口性别比的影响及变化趋势如图。图11.单独二孩的影响 分析此图可知，在单独二胎的政策实施下，到2028年人口总量出现峰值14.5亿，2028年后人口总量开始回落，直至2060年人口总量为12.18亿. 由于该政策的实施使得未来人

29、口的生育率升高，未来50年人口总量相比现行政策下的人口总量明显增多。此外，实施单独二孩政策后，人口总量峰值的出现晚于计划生育的人口总量峰值。相比于计划生育下的少年人口系数，单独二孩政策下的少年人口系数较大，在2040年后少年人口系数趋于稳定，至2045年后少年人口系数有上升趋势，相比计划生育下的青壮年人口系数，单独二孩政策下的青壮年人口系数较小，且两种政策下青壮年人口系数变动趋势基本相同；而老年人口系数呈持续增长趋势，相比计划生育下的老年人口系数，单独二孩政策实施后，老年人口系数比计划生育下的小。人口总抚养比在未来的50年整体持续增高，2050年人口总抚养比达到62.6%，而老年人口抚养比在未

30、来的40年也持续增高。人口性别总趋势为先降低再慢慢上升。（3） 全面二胎在此策略下，总生育率为2.1；以预测得到的2016年的男女年龄别死亡率为基础数据作为年龄别死亡率进行研究；将2031年以后的出生人口性别比例设为固定值107进行研究。其年龄别生育率、总和生育率、年龄别死亡率和出生人口性别比例对人口总数、人口年龄系数、人口抚养比和人口性别比的影响及变化趋势如图。图12.全面二孩的影响分析此图可知，在全面二胎政策的实施下，人口总数在2030年达到峰值14.84亿，到2060年，人口总量降到13.38亿.全面二孩政策的执行，在未来的50年里，我国少年儿童占总人口的比重虽然还是降低，但同计划生育和

31、单独二孩政策相比，少年儿童占总人口的比重已经明显提升，有了很大改善。未来50年里，人口老龄化程度依然加剧，但在2040年以后基本保持平稳。但劳动适龄人口比重降低，虽然同另外两个政策相比，老年人口系数有所减少，但减小幅度很小，而少年儿童人口数上升，导致总抚养比上升。人口性别总趋势先下降，到2052年达到最低为103，再缓慢升高。5.3问题三5.3.1模型的准备光棍的年龄标准：年满30周岁，无论男女，只要未婚或者离异，丧偶，而且没有子女（有子女但是归双方的不算）就是光棍。由第二问数据来预测2016年各年龄段女性人口数和男性人口数，根据灰色预测模型又可知2016年及以后的男女性别比，详细数据见附录二

32、。所以可知将来各年龄段女性人口数和男性人口数，比较适婚年龄段，即30周岁以后的的男女人数进行论证。5.3.2模型的建立第t+1年第0年龄组的新生女性人口数: 第t+1年第i+1年龄组的女性人口数为第t年第i年龄组存活下来的女性人口数： 构造的Leslie矩阵得到女性Leslie人口预测模型 则第t+1年的女性人口数量为 第t+1年30岁以上的女性人口数量为 第t+1年第0年龄组的新生男性人口数: 第t+1年第i+1年龄组的男性人口数为第t年第i年龄组存活下来的男性人口数： 则第t+1年的男性人口数量为 第t+1年30岁以上的男性人口数量为 定义Z为男性比女性多出来的人口数，有 5.3.3模型的求解根据MATLAB和Leslie模型的结合，得到每一年的Z，并将其绘制成图形，如下图13.预测未来的光棍数据图分析可知，在未来的50年里中国并不会出现男性人数比女性人数多3000万