导数综合应用复习题经典

1、导数综合应用复习题一、知识回顾：1 导数与函数单调性的关系设函数f(x)在某个区间内可导，则在此区间内：(1) f (x) Q= f(x)/, f (x) / 二 f (x)_O ;(2) f (x) =0 时，f (x)0 f (x) /(单调递减也类似的结论)2 单调区间的求解过程：已知y = f(x)(1) 分析y = f (x)的定义域；(2) 求导数 y = f (x)；(3) 解不等式f(x) .0，解集在定义域内的部分为增区间(4) 解不等式f (x) ：0，解集在定义域内的部分为减区间3 .函数极值的求解步骤：(1) 分析y = f (x)的定义域；(2) 求导数y f (x)

2、并解方程f (x) =0 ；(3) 判断出函数的单调性；(4) 在定义域内导数为零且由增变减的地方取极大值； 在定义域内导数为零且由减变增的地方取极小值。4.函数在区间内的最值的求解步骤： 利用单调性或者在求得极值的基础上再考虑端点值比较即可。二、例题解析：132例1、已知函数f(x) x ax ax 13(1) 若在R上单调，求a的取值范围。问是否存在a值，使得f (x)在丨-1,1 1上单调递减, 若存在，请求a的取值范围。解：先求导得f (x x2 2ax a(1) ； f (x)在R上单调且f (x)是开口向上的二次函数f (x) _0恒成立，即.: -024a 4a 乞0，解得 0

3、Ea El(2)； 要使得f (x)在-1, 1 上单调递减 且f(X)是开口向上的二次函数f (x)乞0对X-丨-1, 1 1恒成立，f -1 =1 -2a a 乞0f 1=1 2a a 乞 0解得a .不存在a值，使得f (x)在I -1, 1 1上单调递减。1例 2、已知函数 f (x) x3 - x2 _3x 1 , g(x) = -x2 2x a(1) 讨论方程f(x)二k ( k为常数)的实根的个数。(2) 若对x：= 0,2 ,恒有f(x)_a成立，求a的取值范围。(3) 若对x：= 0,2 ,恒有f(x) _ g x成立，求a的取值范围。(4) 若对为：=10, 2 1，0,2

4、 1,恒有 f (%) _ g X2 成立，求a的取值范围。解：(1)求导得：f (x) =x2 2x-3令f (x) 0解得x ： -3或x 1，此时f (x)递增， 令 f (x) :：: 0 解得 -3 ： x <1， 此时 f (x)递减，当x =-3时f(x)取极大值为f(-3)=102当x = 1时f (x)取极小值为f (1 )=3-方程f(x)=k( k为常数)的实根的个数就是函数y = f(x)与y = k的图象的交点个数. 2当k或k 10时方程有1个实根；32当k或k =10时方程有2个实根；32当k：10时方程有3个实根。3(2)0,2 1时，要使得f(x)_a恒

5、成立，则只需f(x)min-a2 由(1)可知 0,2 1 时 f(X)min 二 f 1a -233(2) x：=0,2 I时，要使得f(x)_g x恒成立，即 f (x) - g x _ 0，设 h x = f (x) - g x , 则只需 X 0,2 时 h(x)min _0132二 h (x )= f (x) _g (x ) = -x +2x _5x_a+13令 h x =x2 4x-5=0 得 x-5 或 x=1x 0,2比较 h 0 =1-a15h 12 -5 1-aa3385h 2810 1 - aa335得 h(x)mina3.55a_0 即 a_- 33(3) 要有对 x0,2 1, x2 ：= 0,2 1,恒有 f (xj _ g x2 成立, 则只需在 X 0,2 1中 f(X)min -g x max2由(1)可知1.0,2 1 时 f (X)min = f 1 ：32而g(x)二-x2x a的对称轴为x = 1且开口向下，当 X 0,2 1 时 g x max =g 1 -1a二一2兰1 +a即a兰一533、课堂练习:1 2已知函数f(x) =1 nxx2,41. 求f(x)在0,2上的最值。2. 若对-x三0,2 1, f(x) _m ln2恒成立，求 m的取值范围。3. 若对0,2 1， f(x)_x，m恒成立