导数在解决运动学学问题中的应用

1、浅谈物理教学中的几个数学问题王锟我们都知道，物理量的定义、物理规律、物理定律等通常都是通过数学式来描述的，求解物理问题也常常要运用数学知识，可以说，物理离不开数学，下面本人就如何运用数学原理巧解一些物理问题谈谈自己的粗浅体会。、运用二次函数极值公式求极值问题我们知道二次函数 y =ax2 bx c有如下知识:2若 a >0、x= 时，y有极小值 ymin =4ac _b2a4a若a v0、X =时，y有极大值 ymax =4ac _b 。2a4a【例1】一辆汽车在十字路口等待绿灯，当绿灯亮时，汽车以3m/s2的加速度开始行驶。恰在这时，一辆自行车以6m/s的速度同向匀速驶来，从后边超过汽

2、车，试求汽车从路口开动后，在追上自行车之前经过多长时间 两车相距最远？此时距离是多少？解：设自汽车开始运动时开始计时，t时刻汽车和自行车的位移分别为：s,二12 =3t22 2S2 =vt =6t汽车追上自行车之前，t时刻两车的距离为：L =s2 _可=6t-3t2 =_3t2 6t2 262由二次函数求极值的公式知：当t= ( 2s时，L有最大值Lmax二-6m332 ()4 (-)22二、通过三角函数变换求极值问题设三角函数y =cos，i.sin可作如下变换:令 tan B =卩，则有： sin 日= '，cosT =-； 1于是有：y = 1 .|2 COS（：. -T当G=8

3、时，y有极大值ymax =申+卩2【例2】一质量为m的木块放在水平面上，以一个大小为 F的拉力拉着它在水平地面上运动，木块与地面间的动摩擦因数为，拉力F沿什么方向拉物体时，物体的加速度最大，此最大值为多少?解：木块运动中受到如右图 1所示的四个力的作用设拉力F与水平方向成：.角。由牛顿第二定律有：F < mg。已知F cos - f =maF sin 亠 N =mg并且f =由式可解得a =F(cosa +Psin 0()内m第2页共3页一一令 tan 日=!,则有：sin 日= 卩 ,cosg =1Jl+疋Ji +疋加速度 a 便可写成：a =F Ji+卩2 (cosa，cos日+si

4、na sin 日)Mg =二 Ji+疋 cos(a 日)pgm im '显然当-r，即拉力与水平面夹角? -arctan"时，木块运动的加速度最大，加速度最大值为:amax =F J +M2 内 m ”三、导数在解决运动学问题中的应用在数学中，导数即函数 y=f(x)在某点xo附近，y对x的变化率的极限，即f(X。);而对于一个变速直线运动来说，某时刻的瞬时速度即在某时刻to附近的平均速度的极限值，即v=s(to) = lm二：,而加速度即某时刻速度随时间变化率的极限，即a =v (to)，因此，在某变速直线运动中只要找岀位移随时间的变化规律(函数关系式)，求其导数，即得速度

5、时间关系式；同理，对速度时间函数求导，即可求岀加速度时间关系，给定时刻t0,即可求出对应的瞬时速度 v和瞬时加速度a。1 2s =v0t ? at2，由 t 及2【例3】已知某物体的位移时间关系为：s =4t2 - 2t 3，求物体5s末的瞬时速度及加速度。过去学生遇到此类问题，一般采用公式对照法确定加速度和初速度，即对照位移公式t2的系数确定v0和a,再套用运动学公式求出对应值，但此题中增加了常数项，使学生理解其含义增加难度(其 实是时间和位移起点不同造成的)，但如果用导数知识，问题迎刃而解。即：v =s = & 2(m/s) a=v =8(m/s显然，当 t =5(s)时，v =4

6、2m/s)a为常数，即匀变速直线运动，恒为8m/s2。*评注：对照法只能解决匀变速直线运动，而对于非匀变速直线运动无能为力，而导数解法不受此影响，例如st3 2t照样可用求导的方法解决其某瞬时的速度和加速度。【例4】右图2中表示某上抛物体在上升过程中上升高度随时间 变化的关系图像，假设上升过程中阻力恒定。由图像确定物体的初速度？确定上升过程中阻力是重力的几倍？此题考查导数的几何意义，即某点曲线的斜率代表该点的导数值， 而st图象中，某点的斜率代表该点瞬时速度，由图可知t=0时，斜率为该点的瞬时速度即运动的初速度，v0 =40m/s ；而t =2处斜率为零即速度为零，物体上升到最高点，可用运动学

7、公式求解运动加速度，从而求出阻力和重力的关系，即vt -v0 a 二t_0 -40 -2-20(m/s);f =mg四、导数在电磁学中的应用当闭合电路中磁通量发生变化时，会在导体中产生感应电动势，法拉第电磁感应定律给岀，感应电动势的大小与闭合电路中磁通量随时间的变化率成正比，即E =n ， n为线圈匝数。当事随时间均匀变化时，二-为0心定值，感应电动势为定值，可由任意时间内的磁通量变化求岀;能计算平均值，无法计算瞬时值。若利用导数，找岀：随时间的变化规律，求导便可求岀E的瞬时值。【例5】某发电机有n匝线圈，单匝线圈为正方形， 边长为a,通过线框平面的磁场恒为B,如右图3所示，当线圈平面以角速度

8、.从垂直磁场位置匀速转动时，求 线框平面中E的表达式。过去学生遇到这些问题，一般利用圆周运动知识求 岀切割磁感线两边瞬时速度的表达式，利用E =BLv求解，即E =nBS .sin t =nBa® ,sin .t，此结论也可由导而当非均匀变化时，E随时改变，E=n上:只图3数得出，随着线圈的转动线圈平面内的磁通量：.：-BS=Ba2cost，求导得E。-：-.Ba2sin.t，(负号代表磁通量减小时E增大)，则线圈中总电动势为 E =nE° =nB a2sin t。*评注：求导的方法不仅可以找岀电动势随时间的变化情况，而且还可看岀在发电机中磁通量的变化和电动 势的关系，即磁通量减小时电动势增大，另外对自感现象中自感电动势E=L=l也可将I(t)求导得出，即E=|【后记】在数学高考试题中已岀现对导数知识的考查，可以预见，今后物