动能定理保守力功能原理能量守恒

1、P.0/67第2章 质点动力学 质点在运动中质点在运动中, 所受的合力冲所受的合力冲量等于质点动量的增量量等于质点动量的增量.000dvvmmpptFItt讨论讨论:(1) 冲量冲量 的方向与动量增量的方向与动量增量 的方向一致的方向一致;Ip(2) 以上所讲的动量和冲量都以上所讲的动量和冲量都是矢量是矢量, 符合矢量叠加原理符合矢量叠加原理. 计计算时应采用平行四边形法则算时应采用平行四边形法则, 或把动量和冲量投影在坐标轴或把动量和冲量投影在坐标轴上以分量形式进行计算上以分量形式进行计算;牛顿第二定律牛顿第二定律tptmFddd)(dv故故tFpdd2) 质点动量定理质点动量定理 质点所受

2、的合力等于质点的质点所受的合力等于质点的动量对时间的变化率动量对时间的变化率.pppptFpptt000dd则则ttzzzzttyyyyxxttxxmmtFImmtFImmtFI000000dddvvvvvv(3) 牛顿第二定律是质点动量牛顿第二定律是质点动量定理的微分形式定理的微分形式.P.1/67第2章 质点动力学根据牛顿第三定律根据牛顿第三定律 0内内iFniiiniiittniimmtF10101dvv外外合外力合外力的冲量的冲量系统末系统末动量动量系统初系统初动量动量质点系的动量定理质点系的动量定理:ppptFtti00d 合外力的冲量等于系统总动合外力的冲量等于系统总动量的增量量的

3、增量.内力的冲量起什么作用内力的冲量起什么作用?任意质点任意质点 i 的动量定理的动量定理:00diiiittiimmtfFvv内内外外niiiniiittniniiimmtFF101011dvv内内外外2. 质点系的动量定理质点系的动量定理1m2mimnm1r2rirnrxyzO由由 n 个质点组成的系统个质点组成的系统P.2/67第2章 质点动力学 质点系所受合外力为零时质点系所受合外力为零时, 系统的总动量保持不变系统的总动量保持不变.0iF常常矢矢量量iimpv 系统的总动量不变是指系统的总动量不变是指系统内各质点动量的矢量系统内各质点动量的矢量和不变和不变, 而不是指其中某个而不是指

4、其中某个质点的动量不变质点的动量不变. 系统动量系统动量守恒守恒, 但每个质点的动量都但每个质点的动量都有可能变化有可能变化.2. 说明说明:(2) 系统动量守恒的条件系统动量守恒的条件: 系统不受外力系统不受外力; 或或 合外力合外力=0. (1) 动量守恒定律只适用于惯性系动量守恒定律只适用于惯性系.2.2.2 动量守恒定律动量守恒定律1. 动量守恒定律动量守恒定律(5) 动量守恒定律是自然界最普遍动量守恒定律是自然界最普遍, 最基本的定律之一最基本的定律之一.(3) 若系统所受外力的矢量和若系统所受外力的矢量和 , 而合外力在某方向的而合外力在某方向的投影为零时投影为零时, 动量守恒在该

5、方向动量守恒在该方向上成立上成立.(4) 若若内力内力外力外力, 例如在碰撞例如在碰撞, 打击打击, 爆炸等相互作用时间极短爆炸等相互作用时间极短的过程中的过程中, 外力可略去外力可略去, 动量守恒动量守恒对整个系统适用对整个系统适用.0iFP.3/67第2章 质点动力学2-3 功、机械能和机械能守恒定律功、机械能和机械能守恒定律2.3.1 功功 功率功率功功: 功是能量转换的量度功是能量转换的量度, 描述力描述力对空间的积累作用对空间的积累作用.1. 恒力的功恒力的功2. 变力的功变力的功rFFrFrFWcos 物体在力的作用下发生了位物体在力的作用下发生了位移移, 力的功等于力在位移方向的

6、力的功等于力在位移方向的分量与位移的标积分量与位移的标积.ABOFrdsdrrsFrFrFWtdddcosd单位单位: 焦耳焦耳(J)元功元功直角坐标系中直角坐标系中zFyFxFrFWzyxdddddkFjFiFFzyxkzj yi xrddddP.4/67第2章 质点动力学2. 变力的功变力的功ABOFrdsdrr元功元功直角坐标系中直角坐标系中zFyFxFrFWzyxdddddkFjFiFFzyxkzj yi xrddddbabarFWWdcosdbazyxbazFyFxFrFdddd合力的功合力的功 = 各分力的功取和各分力的功取和21d)(21rrNrFFFWbanbabarFrFrF

7、ddd21nWWWW21结论结论: 合力对质点的功等于每个合力对质点的功等于每个分力对质点作功的代数和分力对质点作功的代数和.sFrFrFWtdddcosdP.5/67第2章 质点动力学 假设质点沿假设质点沿 x 轴运动轴运动, 在在力力 位移图位移图中中, 外力的功可用曲线外力的功可用曲线与横坐标围成的面积表示与横坐标围成的面积表示.OxFaxbxxFWd一质点做圆周运动一质点做圆周运动, 所所受外力受外力j yi xFF0求在质点由原点运动至求在质点由原点运动至P(0, 2R)点过程中点过程中, 力力 的功的功.FC .xyOPrRmF解解:j yFixFF00jyixrj yi xrdd

8、dP.6/67第2章 质点动力学rFWdRyyFxxF200000dd202RF一质点做圆周运动一质点做圆周运动, 所所受外力受外力j yi xFF0求在质点由原点运动至求在质点由原点运动至P(0, 2R)点过程中点过程中, 力力 的功的功.FC .xyOPrRmF解解:j yFixFF00jyixrj yi xrddd(1) 功是标量功是标量(代数量代数量)W 0 力对物体作功力对物体作功;W 0 力对物体作功力对物体作功;W 0 物体反抗阻力作功物体反抗阻力作功;W = 0 力的作用点无位移或力的作用点无位移或力与位移垂直力与位移垂直.(2) 功是过程量功是过程量与力作用点的与力作用点的位

9、移位移相关相关;与参考系的选择相关与参考系的选择相关.(3) 单位单位: 瓦特瓦特(W)11sJ1W1秒秒焦耳焦耳瓦特瓦特P.8/67第2章 质点动力学2.3.2 动能动能 质点的动能定理质点的动能定理1. 动能动能 量度质点因运动量度质点因运动(具有速度具有速度)而能够对外作功的能力的物而能够对外作功的能力的物理量理量.2k21vmE 单位单位: 焦耳焦耳(J)外力对质点作功外力对质点作功, 对对质点的运动状态有什么效果质点的运动状态有什么效果?2. 质点的动能定理质点的动能定理 合力对质点的功等于质点合力对质点的功等于质点动能的增量动能的增量.2v11v2vFrdnntteFeFFtesr

10、ddtnntteseFeFrFWdddvvvdddddmstmsFt21dd21tvvvvmsFW21222121vvmmP.9/67第2章 质点动力学(1) 动能是标量动能是标量, 是状态量是状态量v的单的单值函数值函数, 也是状态量也是状态量;2. 质点的动能定理质点的动能定理 合力对质点的功等于质点合力对质点的功等于质点动能的增量动能的增量.1k2k21222121EEmmWvv(2) 功与动能的本质区别功与动能的本质区别: 它们它们的单位和量纲相同的单位和量纲相同, 但功是过程但功是过程量量, 动能是状态量动能是状态量, 功是能量变功是能量变化的量度化的量度;(3) 动能定理由牛顿第二

11、定律得动能定理由牛顿第二定律得出出, 只适用于惯性参考系只适用于惯性参考系, 动能动能本身也与参考系有关本身也与参考系有关.2v11v2vFrdP.10/67第2章 质点动力学 已知小球质量为已知小球质量为m, 绳长绳长为为 l , 小球静止下落小球静止下落, 求下落求下落 角角时时, 小球的速率及绳中张力小球的速率及绳中张力.mgT解解: 小球小球受力如图所示受力如图所示rTd不作功不作功重力作功重力作功sinmglW 1k2kEEW22k1k21, 0vmEEsin2glvrdAROsin2RgvP.11/67第2章 质点动力学2.3.3 质点的系动能定理质点的系动能定理 将动能定理应用于

12、质点系内将动能定理应用于质点系内的所有质点并把所得方程全部的所有质点并把所得方程全部相加相加:iiiiiiiimmW21222121vviiiWWWiii内内外外1m1v2m2v3m3v4m4v1k2kEEWW内内外外 作用于质点系的所有外力作用于质点系的所有外力与内力作功的代数和等于质与内力作功的代数和等于质点系动能的增量点系动能的增量.内力的冲量能改变内力的冲量能改变质点系的动量质点系的动量? 内力的功能内力的功能改变质点系的动能改变质点系的动能?合外力的冲量合外力的冲量=外外力冲量的矢量和力冲量的矢量和? 外力作功外力作功的代数和的代数和=合外力的功合外力的功?P.12/67第2章 质点

13、动力学(1) 内力的和为零内力的和为零, 内力作功的内力作功的总和是否为零总和是否为零? 不一定不一定, 21ff0fLfW11sfW22)(1sLfWAB1f2fAB(2) 内力的功也能改变系统的内力的功也能改变系统的动能动能.Ls 例例: 炸弹爆炸过程内力的和炸弹爆炸过程内力的和为零为零, 但内力的功转化为弹片但内力的功转化为弹片的动能的动能.P.13/67第2章 质点动力学1. 几种常见力的功几种常见力的功1) 重力的功重力的功rGWddzmg d质点从质点从M1到到M2重力的总功重力的总功)ddd(dkzj yi xkmgW122121dmgzmgzzzmgymgWMM2z1zxyzO

14、1Mrgm2M2) 弹性力的功弹性力的功XOxfab1x2x弹性力弹性力ikxfx2121ddxxxxxi xikxxfW21222121kxkx2.3.4 势能势能 势能差势能差P.14/67第2章 质点动力学3) 万有引力的功万有引力的功OMmFr1r2r1P2Prdrrrrdd rrMmGF321d3rrrrrMmGW21d2rrrrMmG万有引力的功只与质点万有引力的功只与质点的末位置有关的末位置有关, 12rGMmrGMm 重力重力, 弹力弹力, 万有引力作功的万有引力作功的共同特点共同特点: (1) 与路径无关与路径无关, 只与初末位置只与初末位置有关有关;(2) 与相互作用物体的

15、相对位置与相互作用物体的相对位置有关有关, 分别对应某状态量在初末分别对应某状态量在初末位置之间的负增量位置之间的负增量.保守力和保守力场保守力和保守力场FrFWL, 0d 为保守力为保守力 受作用的物体沿闭合路径绕受作用的物体沿闭合路径绕行一周行一周, 力的功恒为零力的功恒为零, 具有这具有这种特性的力统称种特性的力统称保守力保守力.P.15/67第2章 质点动力学 重力重力, 弹性力弹性力, 万有引力万有引力, 静电静电力力(点电荷点电荷)都是都是保守力保守力, 它们对它们对应的力场都是应的力场都是保守场保守场.4) 摩擦力的功摩擦力的功mgfsmgsfWddcosd1M2MsmgWMMd

16、21mgs 结论结论: 摩擦力作功与质点摩擦力作功与质点的运动路径有关的运动路径有关, 摩擦力是摩擦力是非保守力非保守力.FrFWL, 0d 为保守力为保守力;若若FrFWL, 0d 为非保守力为非保守力. .若若保守力和保守力场保守力和保守力场FrFWL, 0d 为保守力为保守力 受作用的物体沿闭合路径绕受作用的物体沿闭合路径绕行一周行一周, 力的功恒为零力的功恒为零, 具有这具有这种特性的力统称种特性的力统称保守力保守力.P.16/67第2章 质点动力学2. 势能势能 由物体的相对位置所决定由物体的相对位置所决定的系统能量的系统能量(Ep). 保守力的功只与受作用物保守力的功只与受作用物体

17、的初末位置有关体的初末位置有关 功是能量变化的量度功是能量变化的量度122121dmgzmgzzzmgymgWMM2121ddxxxxxi xikxxfW21222121kxkx21d3rrrrrMmGW12rGMmrGMm 保守力的功对应系统的某保守力的功对应系统的某状态函数的负增量状态函数的负增量P.17/67第2章 质点动力学保守力的功与势能的关系保守力的功与势能的关系: 质点在保守力场中从某一质点在保守力场中从某一点移动到另一点的势能降落点移动到另一点的势能降落(提升提升), 等于质点在此过程中等于质点在此过程中受到的保守力的功受到的保守力的功(负功负功).abbabaWrFEEdpp

18、保 保守力的功等于势能增量的保守力的功等于势能增量的负值负值, 任意两点之间的势能差任意两点之间的势能差是确定值是确定值(绝对绝对), 质点位于某点质点位于某点时的势能只能相对取值时的势能只能相对取值.pppEEEWab）（保保(1) 势能是属于系统势能是属于系统, 不属于某不属于某个质点个质点;(2) 势能的大小只有相对的意势能的大小只有相对的意 义义, 相对于势能的零点而言相对于势能的零点而言;(3) 势能的零点可以任意选取势能的零点可以任意选取. 推断推断: 对于保守力场中的力对于保守力场中的力学系统学系统, 能用一个状态函数表能用一个状态函数表示其某种能量示其某种能量, 该能量由质点该

19、能量由质点的相对位置决定的相对位置决定, 与保守力作与保守力作功有关功有关, 称为势能称为势能(势能函数势能函数).bbaaErFEppd保P.18/67第2章 质点动力学xzy0),(zyxPmg0pdzzmgEmgzE p),(00, 00zyxp设地面为设地面为势能零点势能零点,P点的重力势能点的重力势能势能零点对应弹簧的原长状态势能零点对应弹簧的原长状态0pdxxkxEMOXkx2p21kxE(2) 弹性势能弹性势能(3) 万有引力势能万有引力势能rrMmGErd)(2pr为势能零点为势能零点rGMmEp3. 几种势能几种势能(1) 重力势能重力势能P.19/67第2章 质点动力学4.

20、 势能曲线势能曲线保守力保守力势能曲线势能曲线势能零点势能零点势能势能(Ep)221kxrmMG重力重力弹力弹力xEpO引力引力rx=0z=0mgzrEpOOzEp跳跳高高采采用用哪哪种种方方式式最最好好,为为什什么么?P.20/67第2章 质点动力学2.3.5 功能原理功能原理 机械能守恒定律机械能守恒定律1. 质点系的功能原理质点系的功能原理EEEWWpk非非保保内内外外质点系的质点系的功能原理功能原理:1k2kEE外外内内WW非非保保内内保保内内内内WWW其中其中1p2pEEW保内保内1k2kEEWWW非保内非保内保内保内外外1p1k2p2kEEEEWW非非保保内内外外机械能机械能pkE

21、EE 质点系所有外力与所有非质点系所有外力与所有非保守内力作功的代数和等于保守内力作功的代数和等于质点系机械能的增量质点系机械能的增量. 2. 机械能守恒定律机械能守恒定律如果如果0非非保保内内外外WWpkEEE恒恒量量 当作用于质点系的外力当作用于质点系的外力与非保守内力作功总和为与非保守内力作功总和为零时零时, 质点系的机械能保持质点系的机械能保持不变不变.P.21/67第2章 质点动力学 守恒条件守恒条件: 质点系的外力质点系的外力与非保守内力作功总和为与非保守内力作功总和为零零, 或只有保守内力对质点或只有保守内力对质点系作功系作功.注意注意:(1) 机械能守恒定律只适用于惯机械能守恒定律只适用于惯性系性系, 不适合于非惯性系不适合于非惯性系, 因为惯因为惯性力也可以作功性力也可以作功.(2) 在某一惯性系中机械能守恒在某一惯性系中机械能守恒, 但在另一惯性系中机械能不一但在另一惯性系中机械能不一定守恒定守恒. 因为