高三数学专题复习之：指数函数对数函数和幂函数

1、高三数学专题复习之：指数函数、对数函数和幕函数考点一：指数与指数幕的运算一【根底知识回忆】1. 方根的定义：如果一个数的n次方等于a ( n 1,且n N ),那么这个数叫做，即如果 xn a，那么x叫做a的n次方根.当n是奇数时，a的n次方根表示为，当n是偶数时，正 数的n次方根有个，这时正数a的正的n次方根表示为，负的n次方根表示为，0的方根都是 0;根式n a中n叫做，a叫做.2. 根式的性质：(na)n当n是奇数时，van =，当n是偶数时，Jan =，(3)负数没有偶次方根；0的任何次方根都是.3. 幕的有关概念：(1)正整数指数幕：an表示；(2) 零指数幕a0 =，( a 0);

2、(3) 负整数指数幕：a p ( a 0, p N );m 正分数指数幕：an ( a 0, m,n N，且n 1);m(5) 负分数指数幕：a n ( a 0, m, n N，且n 1);(6) 0的正分数指数幕等于；0的负分数指数幕.2 1注意：分数指数幕不能随便约分化简，如a4不能写成a2，必须认真考查a的取值才能确定.4. 幕的运算法那么：a 0,b 0,r,s R ；(1) ar as ；2) (ar)s ；3) (a b)r二【范例分析】例 1 化简：(1) 383 = (2) . a b 2 a b=变式：化简 1. . (e3 e 3)2 4 . (e3 e3)2 4例2化简:

3、6_3-42 9 d例 3 化简：( .8) 3 (3102)?105 =例4x x 13，求以下各式的值：1133(1) x2 x 2 ；( 2)x2 x 2.考点二：指数函数及其性质一【根底知识回忆】1. 指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的 定义域为.2.指数函数的图象和性质:图 象性 质定义域值域过定点单调性在R上是函数在R上是函数底数越大，图像在第一象限越 靠近轴底数越小，图像在第二象限 越靠近轴当 x (,0)时，y当 x (0,)时，y当 x (,0)时，y当 x (0,)时，y3.指数函数和指数方程、指数不等式之间的关系：af(x) ag(x)0 a

4、 1 时 af(x) ag(x) ； a 1 时 af(x) ag(x)；例1:说明以下函数的图象与y2x的图象的关系，并画出它们的示意图: y 2x1 y 2x-2例 3:比拟大小： 1.72.5 1.73 0.8-0.1 0.8-0.2 1.70.3 0.93.1 例4:求以下函数的定义域和值域：1277 y)2x2x 1a2例5：函数y 4例6：f (x)例7:对任意x2 2 1 y2x 1 (a 0，且 a ，那么1)101R，不等式1)的图象一定恒过定点f(Z)10-()2x22mx m 4恒成立，求实数m的取值范围10x 10 x10x 10 x(1)证明：f(x)在定义域内是增函

5、数；( 考点三：对数及其运算一【根底知识回忆】1. 对数的定义：如果a ( a 0且a 1 ) 对数，记作，其中a叫做，N叫做。2. 常用对数和自然对数：叫做常用对数， 叫做自然对数，N的自然对数记作。3. 对数的运算性质：假设a 0,a1，M log a MN : loga;Nlog a M n : loga vM4. 对数的根本性质：负数和零对数； 底数的对数等于1，即；对数恒等式;例8.函数f (x)2)求函数f(x)的值域。的b次幕等于N,就是，那么数b叫做以a为底N的N的常用对数记作;0, N 0,那么1的对数等于0,即;二【范例分析】1log 扎 loga,那么以下各式中正确的有

6、换底公式：log a b log b a log a b二【范例分析】例 1:假设 a 0 且 a 1 , x y 0 , n N(log ax)n nlogaX；(loga x)n log a Xn ； log a X log a 1 ； 10log a -；x loga y y n log a X变式训练：例2:计算以下各式：1© lg25 2log3 21loga X-loga X； 一 nn1. lg X2 2lg x 对吗?lg2 lg 10lg(0.01)(lg 5)2log a n X ； loga x2.假设 lg x4lg x21logaXn ； loganx y2

7、，那么 x 。loga-32log53log 3 log 3 8559lg 2 lg 502 1例3:设3X 4y 36，求的值。x y例 4:假设 lg x lg y 2lg( x 2y)，求 log 至-的值 y例5设f (x)log81 x x1,1'，那么满足f(x)考点四：对数函数一【根底知识回忆】1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是 注意：函数y logaX ( a o且a 1)与函数互为反函数。2. 对数函数y log a x ( a o且a 1 )的图像和性质：图 象性 质定义域值域过定点单调性在(0,)上是函数在(0,)

8、上是函数底数越大，图像在第一象限 越靠近轴底数越小，图像在第四象限 越靠近轴当时，y 0当时，y 0当时，y 0当时，y 0【范例分析】例1：求以下函数的定义域：(1) y log a X2 (2) y log1 x (3) y1V2log 5 X 1例2:607，0.76，log 0.7 6的由大到小顺序为(2) 假设 log a 2 logb20，那么()2OablObalablbal (3)假设 loga 1,那么 a(4) 0 a 1,0 b 1，且 alogb(x3)1，求 x 的范围。例3:求函数y log 1 ( x2 2x 8)的单调区间和值域。2例4:假设函数y lg(x2

9、2x a2)的值域为R，求实数a的取值范围。变式训练：假设函数y lg(x2 2x a2)的定义域为R，求实数a的取值范围。例5:方程log2(x 4)3x的实数根有个例 6:函数 f(x) loga(ax 1)( a o且a 1)(1)求函数f(x)的定义域；(2)当x为何值时，函数值大于1？考点五：幕函数一【根底知识回忆】1. 幕函数的定义：一般地，函数叫幕函数，其中为常数，x是自变量。2. 幕函数的性质：(1) 所有的幕函数在都有定义，并且图象都过点；(2) 当0时，幕函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数，特别地，当1时，幕函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴，当0

10、1时，幕函数的图象在第一象限为型；越大，图像在第一象限越靠近轴(3) 当0时，幕函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时， 图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于 时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴(4) 幕函数y=x ( R)的图像主要分以下几类： 当=0时，图像是过(1，1)点平行于x轴但除去(0，1)点的一条断直线。 当 为正偶数时，幕函数为偶函数，图像过第一、二象限及原点。 当 为正奇数时，幕函数为奇函数，图像过第一、三象限及原点。 当 为负偶数时，幕函数为偶函数，图像过第一、二象限但不过原点。 当 为负奇数时，幕函数为奇函数，图像过第一、三象限但不过

11、原点。 当 为正分数时，设为m (m n是互质的正整数)。如果m，n都为奇数，幕函数n为奇函数，图像过第一、三象限及原点；当 m是偶数、n是奇数时，幕函数是偶函 数，图像过第一、二象限及原点；如果 m为奇数、n为偶数，幕函数是非奇非偶函 数，图像过第一象限及原点。 当 为负分数时，设为-m (m n是互质的正整数)。如果 m，n都为奇数，幕函n数为奇函数，图像过第一、三象限；当 n是偶数、m是奇数时，幕函数为非奇非偶 函数，图像只在第一象限；如果 n为奇数、m为偶数，幕函数是偶函数，图像过第 一、二象限。二【范例分析】例1:以下函数是幕函数的是()y axn ( a， n为非零常数，且a 1y

12、 x3 x2 :y x :y (x 1)3A、B、C、D 变式训练：在函数y g、y 2x2、y=1、y=x2+x中，幕函数的个数是x例2:比拟以下两个代数式值的大小：2 2(1) (a 1)1.5, a1.5; (2) (2 a2) 3 , 2 空变式训练：假设四个幕函数y = X , y = X , y = X , y= X在同一坐标系中的图象如以下图，贝U a、b、c、d的大小关系是()A. d>c>b>a B . a>b>c>dC. d>c>a>bD. a>b>d>c2例3:讨论函数y=x3的定义域、奇偶性，作出它的图像，并根据图像说明函数的增减性。 考点六：函数的零点与二分法一. 【根底知识回忆】1. 零点定义：一般地，我们把称为函数y f(x)的零点；2. 零点的存在性定理：一般地，假设函数y f (x)在，且，贝U称函数y f (x)在区间(a,b)上 有零点；3. 二分法：对于在区间a,b上不间断，且f(a) f (b)0的函数y f (x)，通过不断把零点所 在的区间，使区间的两个端点，进而得到零点的方法。二. 【范例分析】例1根据表格中的数据，可以判断方程 ex-x 2= 0必有一