高三文科数学一轮复习之三角函数和解三角形

1、数学讲义之三角函数解三角形【主干内容】1. 弧长公式：I I |r.扇形面积公式：S扇形Ir | r22.三角函数的定义域:三角函数定义域f(x)sinxf (x) cosxf (x) tan xf (x) cot xf (x) secxf (x) cscx3.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:A、> 0)定义1RRR域值域R周期性奇偶性奇函数偶函数奇函数当0,非奇非偶当0,奇函数单调2k 1,kk2 2性2 2k，2k ；2ko厶/ A 2 2k 上为增函上为增函数(A),数k Z2k1上为增函2k ,2 ( A)(A)数；2k 1 上为减函上为增函数；【2 2k ,数2k3k

2、Z2( A)2k 2(A),2k3上为减函2( A)数k Z(A)上为减函数kZ )4. 同角三角函数的根本关系式：tan sin2cos21cos5. 诱导公式：把k的三角函数化为 的三角函数，概括为：2“奇变偶不变，符号看象限。重要公式：cos cos cos sin sin6. 三角函数图象的作法：描点法及其特例一一五点作图法正、余弦曲线，三点二线作图法正切曲线.【注意！ ！】本专题主要思想方法1. 等价变换。熟练运用公式对问题进行转化，化归为熟悉的根本问题；2. 数形结合。充分利用单位圆中的三角函数线及三角函数图象帮助解题；3. 分类讨论。【题型分类】题型一：三角运算，要求熟练使用各种

3、诱导公式、倍角公式等。例110全国卷I文cos300A.31丄3【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识2 2 2 21【解析】cos300 cos 36060 cos60 -22例210全国卷U文sin -，那么cosx 2 3【解析】B:此题考查了二倍角公式及诱导公式SINA=2/3,3 9 9 32 1cos 2 cos 21 2sin 9例310福建文计算1 2sin 22.5o的结果等于1 2乜3【答案】B2 232【解析】原式=cos45o=,应选B. 2例410浙江文函数fx sin22x -的最小正周期是。4解析：对解析式进行降幕扩角，转化为f x co

4、s 4x-，可知其最小正周期为，2 2 2 2此题主要考察了二倍角余弦公式的灵活运用，属容易题。题型二：三角函数的图象：三角函数图象从“形上反响了三角函数的性质。例1(10重庆文)以下函数中，周期为 ，且在,上为减函数的是4 2y sin(2x ). y cos(2 x )y sin(x ). y cos(x )【答案】A例2(09浙江文)a是实数，那么函数f (x)1 asin ax的图象不可能是()Dya例3为得到函数yjt.I1H1011I11|li .ll>»11dboJT2兀丫y cos 2x 的图3象，只需将函数y sin 2x的图象A向左平移个长 12度单位B.向

5、右平D.向右平移5/个长度单位6c向左平移冬个长度单位6分析：先统一函数名称，在根据平移的法那么解决._n解析：函数 y cos 2x sin 2xsin3322x5sin2 x 12故要将函数y sin2x的图象向左平移 乂个长度单位，选择答案A.12各自作出三个例4(10江西文)四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间,y sin(x ), y sin(x )函数y sin2x ,63的图像如下，结果发现恰有一位同学作出的图像有错误，那么有错误的图像是【答案】C【命题意图】考查三角函数的图像与性质.【解析】作出三个函数图像比照分析即可选择Co2例5(09重庆文)设函数f (x) (

6、sin x cos x)2 2cos2 x( 0)的最小正周期为 (I)求的最小正周期.(U)假设函数y g(x)的图像是由y f (x)的图像向右平移一个单位长度得到，求y g(x)的2单调增区间. 解：(I)223依题意得，故的最小正周期为-.232(U)依题意得：-5由 2k -< 3x < 2k - (k Z)2422 27解得k-<x<-k一(k Z)3 4312故y g(x)的单调增区间为：|k-,|k缶(k Z)例6(11浙江文)函数f(x) As in ( x) , x R, A 0, 0-. y f(x)的32局部图像，如下图，P、Q分别为该图像的最高

7、点和最低点，点 P的坐标为(1,A).(I)求f (x)的最小正周期及的值；2(H)假设点R的坐标为(1,0) , PRQ ，求A的值.3题型三：三角函数的最值：最值是三角函数最为重要的内容之一，其主要方法是利用正余弦 函数的有界性，通过三角换元或者是其它的三角恒等变换转化问题。例1假设x是三角形的最小内角，那么函数 y sinx cosx sinxcosx的最大值是()A.1B.C.-.2 D. 1222解析：由Ox，令tsin x cosx,2sin(x-),而一x 7，得1 t.又344412t2 12sin xcosx，得 sirt21 x cos x1，得yt t2 1-(t1)21

8、，有2221 0y .2(2)2 1,2 1 .D.22点评：涉及到sinx cosx与sinxcosx的问题时，通常用换元解决. 例2(09上海文)函数f(x) 2cos2 x sin 2x的最小值是。解析：2cos2x sin2x 1 cos2x sin2x 1 迈 sin(2x )，二 ymin1 J2例3(10江西文)函数y sin2x sinx 1的值域为5 55A.1,1 B., 1 C._ ,1 D.1, ,4 44例 4函数 f(x) 2asinxcosx 2bcox，且 f(0)8, f() 12 . 6(1) 求实数a，b的值；(2) 求函数f(x)的最大值及取得最大值时x

9、的值.分析：待定系数求a，b ;然后用倍角公式和降幕公式转化问题.解析：函数 f(x)可化为 f (x) a si n 2x bcos2x b .(1) 由 f(0) 8 , f( ) 12可得6f (0) 2b 8 , fa b 12，所以 b 4 , a 4/3 .(2) f (x) 4 3sin2x 4cos2x 4 8sin(2 x) 4，故当62x 2k 即x k (k Z)时，函数f x取得最大值12.6 2 6 点评： asin bcos, a2 b2 sin题型四：正余弦定理的应用例1(11浙江文)在 ABC中，角A, B, C所对的边分a,b,c.假设acosA bs in

10、B ,那么2sin AcosA cos B11A. B. C. -1D. 122-例2(10上海文)假设厶ABC的三个内角满足sin A:sinB:sinC 5:11:13那么厶ABCA. 定是锐角三角形.B 一定是直角三角形.C一定是钝角三角形.D .可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形.解析：由 sin A:si n B:si nC 5:11:13 及正弦定理得 a:b:c=5:11:132 2 2由余弦定理得cosc 511130，所以角C为钝角2 5 11A 2/5例3(2021浙江文)在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且满足cos- 25uuu uuurAB AC 3

11、 .(I )求 ABC的面积；(II )假设c 1,求a的值.Ar； cQ A解析：(I) cos A 2 cos2 12 (-)21-又 A (0, )， si nA . 1 cos2A 一，2555而 AB.ACAB.AC.cos3A 3bc 3，所以bc 5，所以 ABC的面积为:51bcsin A1 5纟22-5(U)由(I)知bc 5，而c 1，所以b 5所以 a b2 c2 2bccosA , 25 1 2 32 5例4(2021届稽阳联考)如右图，在 ABC中，D为BC边上一点,解:(1)由，sin1 cosBD BC 2- 14 分(2) ACBC sin 2si n 2 5

12、2 2 10(1) AD sin( ) BD sin( )55例5(2021山东文)在VABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c,假设a 2,b 2 , sinB cosB 2,那么角A的大小为.【解析】由 sinB cosB ,2 得 1 2si n BcosB 2，即 sin2B 1，因为 0<B< ，所以 B=45o,又因为a 2 , b 2，所以在 ABC中，由正弦定理得：二解得sin A -，又 si nA si n45o2a<b，所以 A<B=45，所以 |A=30o。【好题速递】1. (2021年高考宁夏卷文科16)在VABC中，D为BC边上一点，BC 3BD , AD 运，ADB 135 .假设 AC 2AB ,贝U BD=【答案】255sin12 cos102分¥10cosBACcos()cos cos sinsinBADCAD(1)求 BAC的大小;(2)当D为BC中点时,求竺的值.AD2寸5,cos,cos52、5 3.10-.551051010 BAC (0, ) BAC - . 7分4(2) ABD中，-BD 匹(1) 9 分sinsin BABC中,BCAC (2) 11分sin() sin B2. 2021年高考全国I卷文科14 为第二象限的角，sina -,那么tan2524【命题意图】本小题主要