电路ch15电路方程矩阵式

1、1学时：学时： 4215.1 15.1 割集割集15.2 15.2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵15.315.3* * 矩阵矩阵a a、b b、q q之间的关系之间的关系15.4 15.4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式15.5 15.5 结点电压方程的矩阵形式结点电压方程的矩阵形式15.6 15.6 割集电压方程的矩阵形式割集电压方程的矩阵形式15.715.7* * 列表法列表法15.8 15.8 状态方程状态方程3q 理解关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；理解关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵概念；q掌握结点电压方程的矩阵形式；掌握结点电压方程的矩阵形式

2、；q了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式；了解回路电流方程和割集电压方程的矩阵形式； q了解状态变量、状态方程的概念，了解状态变量、状态方程的概念， 会建立简单状态方程。会建立简单状态方程。41 1 割集割集1. 线图：线图：若将电路的每一元件用一线段来代替，线段的若将电路的每一元件用一线段来代替，线段的端点称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，端点称为节点，这样就得到由线段与节点组成的图形，这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。这种图形称为网络拓朴图或线图，简称为图。2. 有向图、无向图有向图、无向图abcdef若对图中的每条支路规定方向，所得到若对图中的每条支路规定方向，所得到

3、的图称为有向图；反之称为无向图。的图称为有向图；反之称为无向图。3. 平面图、非平面图平面图、非平面图一个图画在平面上，各支路除了所连一个图画在平面上，各支路除了所连接的节点外不再交叉，这样的图称为接的节点外不再交叉，这样的图称为平面图，反之称为非平面图。平面图，反之称为非平面图。一一. .有关图的基本定义与概念有关图的基本定义与概念54. 子图：子图：若图若图g1的每一个节点和支路都是图的每一个节点和支路都是图g的节点与支路，的节点与支路，则称则称g1为为g的子图。的子图。5. 树、树支、连支：树、树支、连支：不包含回路但包含图的所有节点的连不包含回路但包含图的所有节点的连通的子图称为树。组

4、成树的支路称为树支，其余支路称为通的子图称为树。组成树的支路称为树支，其余支路称为连支。一个有连支。一个有n个节点、个节点、b条支路的连通图，将有条支路的连通图，将有(n-1)条树条树支，支，(b-n+1)条连支。条连支。6. 回路与基本回路回路与基本回路由支路和节点构成的闭合路径，称为由支路和节点构成的闭合路径，称为回路。只含一个连支的回路称为基本回路。只含一个连支的回路称为基本回路或单连支回路。回路或单连支回路。abcdef67. 割集割集8. 独立割集独立割集一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去一个割集是连通图的一个支路集合；这些支路全部移去时连通图分为两部分；仅留一条支路时

5、图仍是连通的。时连通图分为两部分；仅留一条支路时图仍是连通的。由于由于kcl适用于任何一个闭合面，适用于任何一个闭合面，因此属于同一割集的所有支路电流因此属于同一割集的所有支路电流应满足应满足kcl。对于一个连通图，可。对于一个连通图，可列出与割集数相等的列出与割集数相等的kcl方程，但方程，但并非都是独立的。对应于一组独立并非都是独立的。对应于一组独立的的kcl方程的割集称为独立割集。方程的割集称为独立割集。abcdef下图中，下图中， adf， aeb， bcf，cde，bdef，aecf，abcd等等7种种割集，割集， adef、 abcde不是割集。不是割集。79. 基本割集基本割集只

6、含一个树支的割集称为基本割集，也称为单树支割集。只含一个树支的割集称为基本割集，也称为单树支割集。对于一个具有对于一个具有n个结点个结点b条支路的连通图，条支路的连通图，其树支数为其树支数为(n-1)，因此将有，因此将有(n-1)个单树个单树支割集，即支割集，即(n-1)个基本割集。个基本割集。例如：选定树例如：选定树(cde) 连支连支(abf) 三个基本割集：三个基本割集：adf，aeb，bcf 为一个基本割集组，可以作为一个基本割集组，可以作为一组独立割集。为一组独立割集。abcdef基本割集组是独立割集组，对于基本割集组是独立割集组，对于n个结点个结点的连通图，独立割集数为的连通图，独

7、立割集数为(n-1)。但独立。但独立割集不一定是单树支割集。割集不一定是单树支割集。810. 割集的方向割集的方向移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其移取一个割集的所有支路时，连通图分为两部分，从其中一部分指向另一部分的方向。每一个割集只有两个可中一部分指向另一部分的方向。每一个割集只有两个可能的方向。能的方向。abcdef92 2 关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵关联矩阵、回路矩阵、割集矩阵对任一具有对任一具有n个结点、个结点、b条支路的有向图，节点与支路的条支路的有向图，节点与支路的关联性质可用一个关联性质可用一个(n b)阶的矩阵阶的矩阵aa表示。即表示。即一一. .关联矩阵关联

8、矩阵a aaa=aijn b节点数节点数支路数支路数它的行对应于节点，它的行对应于节点，列对应于支路。列对应于支路。aijaij = 1 有向支路有向支路 j与节点与节点 i关联且关联且背离背离 i 节点节点aij= -1 有向支路有向支路 j与节点与节点 i关联且关联且指向指向 i 节点节点aij =0 j 支路与支路与i节点节点无关无关1.1.关联矩阵关联矩阵aaaa的含义及列写的含义及列写10645321aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0aa的每一列对应于一条支路。由于

9、一条支路连接于两个节的每一列对应于一条支路。由于一条支路连接于两个节点，若离开一个节点，则必须指向另一个节点，因此每一点，若离开一个节点，则必须指向另一个节点，因此每一列中只有两个非零元素，即列中只有两个非零元素，即+1和和-1。把所有行的元素相加。把所有行的元素相加就得一行全为零的元素，所以就得一行全为零的元素，所以aa的行不是彼此独立的，即的行不是彼此独立的，即aa中的任一行都能从其他中的任一行都能从其他(n-1)行导出。因此，若由矩阵行导出。因此，若由矩阵aa中划出任一行，剩下中划出任一行，剩下(n-1) b阶矩阵称为阶矩阵称为降阶关联矩阵降阶关联矩阵，简，简称为关联矩阵，用称为关联矩阵

10、，用a表示。被划去的一行所对应的节点可表示。被划去的一行所对应的节点可当作参考节点。当作参考节点。 2.2.降阶关联矩阵降阶关联矩阵a a11645321aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1-1 -1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 -1 0 0 -1 1 -1 0aa=1234 1 2 3 4 5 6 支支节节 1-1 0 0 0-1 1 0 0 0 1-1-1 0 0 1 0 1 0-1 1 0-1 0设设为参考节点为参考节点-1 -1 0 0 1 0a=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1称

11、称a为降阶关联矩阵为降阶关联矩阵 (n-1) b ，表征独立节点与支路的关联性质表征独立节点与支路的关联性质12设设:645321-1 -1 0 0 1 0a=123 1 2 3 4 5 6 支支节节 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1 654321uuuuuuu支路电压支路电压 654321iiiiiii支路电流支路电流 321nnnnuuuu节点电压节点电压3. 3. 矩阵形式的矩阵形式的kclkcl13故有故有ai =0632521641 iiiiiiiii-1 -1 0 0 1 0 1 0 0 -1 0 1 0 1 1 0 0 -1654321iiiiii645321a

12、 i = 0-矩阵形式的矩阵形式的kcl14 312133221nnnnnnnnnuuuuuuuuu uuuuuu654321 321101010001100110011nnnuuuuun ta6453214. 4. 支路电压与结点电压的关系支路电压与结点电压的关系( (矩阵形式的矩阵形式的kvl)kvl)15二二. 基本回路矩阵基本回路矩阵b2. 支路排列顺序为先连支路排列顺序为先连(树树)支后树支后树(连连)支。支。1 支路支路j在回路在回路i中且与回路中且与回路i关联，方向一致关联，方向一致-1 支路支路j在回路在回路i中且与回路中且与回路i关联，方向相反关联，方向相反0 支路支路j 不

13、在回路不在回路i中中bij=1 1约定约定： 1. 回路电流的参考方向取连支电流方向。回路电流的参考方向取连支电流方向。用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本回路基本回路和和支路支路的的关联关联性质性质b = b i j l b基本回路数基本回路数支路数支路数1.1.回路矩阵回路矩阵b b的含义及列写的含义及列写161 1选选 4、5、6为树，连支顺序为为树，连支顺序为1、2、3。123b =4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0= bt 1l 0 1 -1 0 0 1btbl231123b =1 2 3 4 5 6 支支回回1 0 0 1 -1 0 0

14、1 0 1 -1 1 0 0 1 0 1 -1blbt= 1l bt 171 1设设 2312.2.回路矩阵形式的回路矩阵形式的kvlkvl123b =4 5 6 1 2 3 支支回回1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1btbl 654321uuuuuuu支路电压支路电压u4u5u6u1u2u3 654321iiiiiii支路电流支路电流i4i5i6i1i2i3181 12312.2.回路矩阵形式的回路矩阵形式的kvlkvlb u =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1b =1 -1 0 1 0 0 1 -1 1

15、0 1 0 0 1 -1 0 0 1u4u5u6u1u2u3=回路回路1中的中的 u 回路回路2中的中的 u 回路回路3中的中的 u故有：故有：b u =0-kvl-kvl的回路矩阵形式的回路矩阵形式191 12313. 3. 支路电流与独立回路电流的关系支路电流与独立回路电流的关系( (回路矩阵形式的回路矩阵形式的kcl)kcl)i =btil1 -1 0 1 0 0 1 -1 1 0 1 0 0 1 -1 0 0 1b =i4i5i6i1i2i3由于矩阵由于矩阵b b的每一列，也就是的每一列，也就是b bt t的每一行，表的每一行，表示每一对应支路与回路的关联情况，所以有：示每一对应支路与

16、回路的关联情况，所以有：1 1 0 -1 -1 1 0 1 -1 1 0 0 0 1 0 0 0 1=il1il2il3=il1+il2-il1-il2 +il3il2 il3il1il2il320三三. 基本割集矩阵基本割集矩阵q约定约定 (1) 割集方向与树支方向相同。割集方向与树支方向相同。 (2)支路排列顺序先树支路排列顺序先树(连连)支支, 后连后连(树树)支。支。qij=1 j支路在割集支路在割集i中且与割集中且与割集i方向一致方向一致-1 j支路在割集支路在割集i中且与割集中且与割集i方向相反方向相反 0 j 支路不在割集支路不在割集i中中 1 1用矩阵形式描述用矩阵形式描述基本

17、割集基本割集和和支路支路的关联性质的关联性质q = q i j n-1 b基本割集数基本割集数支路数支路数1. 1. 基本割集矩阵的含义与列写基本割集矩阵的含义与列写21q=4 5 6 1 2 3 支支割集割集c1c2c31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1图示连通图的基本割集为：图示连通图的基本割集为：1 1 0 0 1 0 -1 1qlqtc1:1,2,4 c2:1,2,3,5 c3:2,3,6基本割集的方向与与树支方向一致基本割集的方向与与树支方向一致.基本割集矩阵为：基本割集矩阵为：= 1l ql22设设 支路电流支路电流 qi=0矩阵形式的矩阵形式的kcl。1 1qi

18、 =2. 2. 割集矩阵形式的割集矩阵形式的kclkclq=1 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1 654321iiiiiiii4i5i6i1i2i31 0 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 -1 0 0 1 0 -1 1i4i5i6i1i2i3=i4-i1 i2i5+i1 +i2 i3i6-i2 +i3=0231 1树支电压用列向量表示：树支电压用列向量表示：qtut=u3. 3. 支路电压与树支电压的关系支路电压与树支电压的关系( (割集矩阵形式的割集矩阵形式的kvl)kvl)-矩阵形式的矩阵形式的kvl。u4u5u6ut=由于由于q的每一列，

19、也就是的每一列，也就是qt的每一行，表示一条支路与割的每一行，表示一条支路与割集关联情况，则矩阵相乘的规则可得：集关联情况，则矩阵相乘的规则可得：由于通常选单树支割集由于通常选单树支割集(基本割集基本割集)为独为独立割集，因此树支电压又立割集，因此树支电压又 可视为割集可视为割集电压，故电压，故ut也可称为割集电压列向量。也可称为割集电压列向量。24 3216546565454654654110100111010011001uuuuuuuuuuuuuuuuuuu1 1qtut=u3. 3. 支路电压与树支电压的关系支路电压与树支电压的关系( (割集矩阵形式的割集矩阵形式的kvl)kvl)矩阵形

20、式的矩阵形式的kvl：对图示的有向图，有对图示的有向图，有25qqi=0qtut=u小结：小结：abai=0btil=ikclkvlatun=ubu=0261.1.方程的两种约束方程的两种约束1) 1) 支路约束支路约束-支路方程支路方程2) 2) 支路间约束支路间约束-支路间支路间kcl、kvl约束（用回路矩阵表示）约束（用回路矩阵表示）4 4 回路电流方程的矩阵形式回路电流方程的矩阵形式272.2.支路模式支路模式由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支由于支路的复杂多样性，为了列矩阵方程方便，需要定义支路的模式。路的模式。设标准支路为：设标准支路为： kuskiskukiek

21、i kz条支路电压条支路电压第第条支路电流条支路电流第第kukikk独立电流源独立电流源独立电压源独立电压源skskiu规定每个支路必须有一个阻抗规定每个支路必须有一个阻抗k支路抽象为：支路抽象为：kkkzy1 283.3.矩阵形式的支路约束矩阵形式的支路约束k支路电压、电流关系：支路电压、电流关系：skkskkkuiizu )(设设 t21biiii z=diagz1 z2 zb y=diagy1 y2 yb skkskkkiuuyi )( t21buuuu t21sbsssuuuu t21sbsssiiii z=y -1 kuskiskukieki kz29 ssuiizu 即即对整个电路

22、有：对整个电路有： buuu21 bzzz0021 sbbssiiiiii2211 sbssuuu21z为支路的阻抗矩阵，是一个对角阵。为支路的阻抗矩阵，是一个对角阵。 kuskiskukieki kz304.4.矩阵形式的回路电流方程矩阵形式的回路电流方程 kuskiskukieki kz0b uliitb 0bbzbzb ssuiiussliuibzbbzb t zlzl-回路阻抗矩阵，是一个回路阻抗矩阵，是一个l 阶方阵，阶方阵，主对角元素为自阻抗，非主对角为互主对角元素为自阻抗，非主对角为互阻抗。阻抗。 ssuiizu 设回路电流为未知量设回路电流为未知量支路方程：支路方程：kvl：k

23、cl：将支路方程代入将支路方程代入kvl：将将kcl代入上式得：代入上式得：回路方程矩回路方程矩阵形式阵形式311.1.支路约束支路约束 kuskiskukieki ky sbskssbbskksbkbkiiiuuuuuuyyyiii1111100000000000000000000skkskkkiuuyi )(5 5 节点电压方程的矩阵形式节点电压方程的矩阵形式k支路电压、电流关系：支路电压、电流关系：skkskkkuiizu )(32ssiuyuyi 支路方程的矩阵方程支路方程的矩阵方程 sbskssbbskksbkbkiiiuuuuuuyyyiii11111000000000000000

24、00000y称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。称为支路导纳矩阵，它是一个对角阵。332.2.矩阵形式的节点电压方程矩阵形式的节点电压方程设节点电压为未知量设节点电压为未知量支路方程：支路方程： kuskiskukieki kyssiuyuyi 由由kcl a i =0由由kvl u=atun0aaaa ssiuyuyi0aaaat ssniuyuy节点导纳阵节点导纳阵tnyyaa 令令ssnnuyiuya-a 则则由此求得支路电压和电流由此求得支路电压和电流nuunutaissiuyuyi 节点电压方节点电压方程矩阵形式程矩阵形式34例例5v5v0.5w0.5w2w2w1w1w0.5w0.5w

25、5w5w1w1w3a3a1a1a1 12 23 34 45 56 61. 画有向图画有向图2. 110100001110100011a3. 110.220.52diagy kuskiskukieki ky123456355v5v0.5w0.5w2w2w1w1w0.5w0.5w5w5w1w1w3a3a1a1a1 12 23 34 45 56 64. t000005 su5. t031000 sissnnuiuya-ay 6. 311042127 . 25 . 015 . 05 . 3321nnnuuu得得 kusiskukieki ky36 kuskiskukieki ky6 6 割集电压方程的

26、矩阵形式割集电压方程的矩阵形式ssiuyuyi 支路方程的矩阵方程支路方程的矩阵方程取割集（树支）电压为未知量取割集（树支）电压为未知量0q ituutq 0qqyqyq ssiuuisstuiuqyqqyq t yt割集导纳阵割集导纳阵kclkvl割集方程矩割集方程矩阵形式阵形式378 8 状态方程状态方程1.1.状态：状态：在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必在电路理论中，状态是指在某给定时刻电路必须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入须具备的最少量的信息，它们和从该时刻开始的任意输入一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的状态。一起就足以完全确定今后该电路在任何时刻的状态

27、。2.2.状态变量：状态变量：是电路的一组独立的动态变量，它们在是电路的一组独立的动态变量，它们在任何时刻的值组成该时刻的状态。例如，动态电路中电任何时刻的值组成该时刻的状态。例如，动态电路中电容电压容电压u uc c和电感电流和电感电流i il l就是电路的状态变量。就是电路的状态变量。3.3.状态方程：状态方程：对状态变量列出的一阶微分方程。对状态变量列出的一阶微分方程。一一. .基本概念基本概念38以电容电压以电容电压u uc c和电感电流和电感电流i il l作为变量列上述电路的方程，则：作为变量列上述电路的方程，则：二二.rlc.rlc串联电路的状态方程串联电路的状态方程lcidtduc clsluriudtdil 010 lcicdtduslclulilruldtdi11 用矩阵形式表示：用矩阵形式表示： slclculiulrlcdtdidtdu 10110经调整有：经调整有：+_srl ilus39若令若令dtdix,dtdux,ix,uxlclc 2121 slclculiulrlcdtdidtdu 10110则有：则有：