高中数学排列组合知识点

1、复习稳固1. 分类计数原理加法原理完成一件事，有 n类方法，在第1类方法中有 m种不同的方法，在第 2类方法中有 m2种不同的方法，在第 n类方法中 有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nmi m2 Lmn种不同的方法.2. 分步计数原理乘法原理完成一件事，需要分成 n个步骤，做第1步有mj种不同的方法，做第 2步有m2种不同的方法，做第 n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有：Nmim2 Lmn种不同的方法.3. 分类计数原理分步计数原理区别分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事。分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件.一.

2、特殊元素和特殊位置优先策略例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.,以免不合要求的元素占了这两个位置解：由于末位和首位有特殊要求，应该优先安排 先排末位共有C3然后排首位共有C：最后排其它位置共有a113由分步计数原理得 c4c3a4"288练习题:7种不同的花种在排成一列的花盆里，假设两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的种法?二. 相邻元素捆绑策略例2. 7人站成一排，其中甲乙相邻且丙丁相邻，共有多少种不同的排法.解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元 素内部进行

3、自排。由分步计数原理可得共有a5a|a； 480种不同的排法三. 不相邻问题插空策略例3. 一个晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱，舞蹈节目不能连续岀场，那么节目的岀场顺序有多少种？ 解:分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有 a5种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种a6不同的方法，由分步计数原理，节目的不同顺序共有 A：A：种四. 定序问题倍缩空位插入策略例4. 7 人排队，其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法 解:倍缩法对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把这几个元素与其他元素一起进行排列，然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数，那么共有不

4、同排法种数是：a7/a3空位法设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A；种方法，其余的三个位置甲乙丙共有丄种坐法，那么共有 A；种方法。五. 重排问题求幂策略例5.把6名实习生分配到7个车间实习，共有多少种不同的分法解:完成此事共分六步：把第一名实习生分配到车间有7_种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推，由分步计数原6理共有7种不同的排法六. 环排问题线排策略例6. 8人围桌而坐，共有多少种坐法？ 解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人A：并从此位置把圆形展成直线其余7人共有8-1 !种排法即7 !CABCDEFGHA七. 多排问题直排策略例7

5、.8人排成前后两排，每排4人，其中甲乙在前排，丙在后排，共有多少排法解：8人排前后两排，相当于8人坐8把椅子，可以把椅子排成一排.个特殊元素有 A2种，再排后4个位置上的特殊元素丙有 a4种,其余的5人在5个位置上任意排列有 a5种,那么共有a4a4a5种八. 排列组合混合问题先选后排策略例8.有5个不同的小球，装入4个不同的盒内，每盒至少装一个球，共有多少不同的装法.解：第一步从5个球中选出2个组成复合元共有 C；种方法.再把4个元素(包含一个复合元素)装入4个不同的盒内有 A4种 方法，根据分步计数原理装球的方法共有C；A：九. 小集团问题先整体后局部策略例9.用1,2,3,4,5 组成没

6、有重复数字的五位数其中恰有两个偶数夹1, 5在两个奇数之间，这样的五位数有多少个？解：把1 , 5, 2 , 4当作一个小集团与3排队共有A2种排法，再排小集团内部共有A；A；种排法，由分步计数原理共有2 2 2A2A2A2种排法十.元素相同问题隔板策略例10.有10个运发动名额，分给 7个班，每班至少一个，有多少种分配方案？解：因为10个名额没有差异，把它们排成一排。相邻名额之间形成9个空隙。在9个空档中选6个位置插个隔板，可把名额 分成7份，对应地分给7个班级，每一种插板方法对应一种分法共有C6种分法。十一.正难那么反总体淘汰策略例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中

7、取出三个数，使其和为不小于10的偶数，不同的取法有多少种？解：这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难，可用总体淘汰法。这十个数字中有5个偶数5个奇数，所取的三个数含有3个偶数的取法有 d,只含有1个偶数的取法有c5c|,和为偶数的取法共有c；c； c；。再淘汰和小于10的偶数共9 种，符合条件的取法共有C；C； C；9十二.平均分组问题除法策略 例12. 6本不同的书平均分成 3堆，每堆2本共有多少分法？2 2 2解：分三步取书得C6C4C2种方法，但这里出现重复计数的现象，不妨记6本书为ABCDEF假设第一步取 AB,第二步取CD,第三2 2 2步取 EF 该分法记为(AB,CD,EF),

8、那么 C6C4C2 中还有(AB,EF,CD),(CD,AB,EF),(CD,EF,AB)(EF,CD,AB),(EF,AB,CD) 共有32223A3种取法，而这些分法仅是(AB,CD,EF) 一种分法，故共有C6C4C2 / A3种分法。十三.合理分类与分步策略例13.在一次演唱会上共10名演员，其中8人能能唱歌,5人会跳舞，现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目，有多少选派方法解：10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员。选上唱歌人员为标准进行研究只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有 C32C； 种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员 c5c3c： 种，只会唱的5人中只有2人选上

9、唱歌人员有2 2 2 2 1 1 2 2 2C5 C5种，由分类计数原理共有C3 C3C5C3C4 C5C5种。十四.构造模型策略例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯，现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏，求满足条件的关灯方法有多少种？3解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有 C5种十五.实际操作穷举策略例15.设有编号1,2,3,4,5 的五个球和编号1,2,3,4,5 的五个盒子，现将5个球投入这五个盒子内，要求每个盒子放一个球，并且 恰好有两个球的编号与盒子的编号相同，有多少投法2解：从5个球中取

10、出2个与盒子对号有 C5种还剩下3球3盒序号不能对应，利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球,3,4,5号盒3号球装4号盒时，那么4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法，由分步计数原 理有2C；种 十六.分解与合成策略 例16. 30030能被多少个不同的偶数整除分析：先把30030分解成质因数的乘积形式 30030=2X 3 X 5 X 7 X 11X 13,依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取假设干个组成乘积，所有的偶因数为：c； c；c3 c：cf练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线4解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体共

11、 C8 12 58,每个四面体有3对异面直线，正方体中的8个顶点可连成3 58 174对异面直线十七.化归策略例17. 25人排成5 X 5方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，不同的选法有多少种？解:将这个问题退化成9人排成3 X 3方阵,现从中选3人，要求3人不在同一行也不在同一列，有多少选法.这样每行必有1人从其 中的一行中选取1人后，把这人所在的行列都划掉，如此继续下去 .从3X 3方队中选3人的方法有CfCfC；种。再从5X 5方阵选出3X 3方阵便可解决问题.从5 X 5方队中选取3行3列有 c；c； 选法所以从5 X 5方阵选不在同一行也不在同一列的3人有c|cfc3c2ci1 选法。十八.数字排序问题查字典策略例18 .由0, 1, 2, 3, 4, 5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？解：N 2A； 2A： A； A A1297十九.树图策略例19. 3人相互传球，由甲开始发球，并作为第一次传球，经过5次传求后，球仍回到甲的手中，那么不同的传球方式有 N 10二十.复杂分类问题表格策略例20.有红、黄、兰色的球各 5只，分别标有A、B、C、D E五个字母，现从中取5只，要求各字母均有且三色齐备，那么共有多少种 不同的取法红111223黄123121321211取法c；c：c5c：c；c：c；c；c；cfC；c2二十一：住店法