高中数学平面向量知识点总结及常见题型

1、向量一.向量的根本概念与根本运算1向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 向量一般用a,b,c 来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB几何表示法 AB， a ;坐标表示法uuua xi yj x,y.向量的大小即向量的模长度，记作| AB |即向量的大小， 记作I a | 向量不能比拟大小，但向量的模可以比拟大小. 零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行 零向 量a = 0 I a |= 0由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，注 意与0的区别 单位向量：模为1个单位长度的向量 向量a0为单位向量 I a0 |= 1 平行向量共线向量：方向

2、相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以 移到同一直线上 方向相同或相反的向量，称为平行向量记作a / b 由于向量可 以进行任意的平移即自由向量，平行向量总可以平移到同一直线上， 故平行向 量也称为共线向量+ 相等向量：长度相等且方向相同的向量 相等向量经过平移后总可以重合，记 为a b大小相等，方向相同xi,yi X2,y2yi y2 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.a的相反向量记作a.2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuu r uuu rr uuu unr uuu设 AB a,BC b，贝U a + b =AB BC=AC1 0 a a 0 a ; 2向量加法满

3、足交换律与结合律;“三角形法那么与“平行四边形法那么(1) 用平行四边形法那么时，两个向量是要 共始点的，和向量是始点与 向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向 被减向量(2) 三角形法那么的特点是“首尾相接由第一个向量的起点指向最后一个向 量的终点的有向线段就表示这些向量的和； 差向量是从减向量的终点指向被减向 量的终点3向量的减法 相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量 记作a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：(i) ( a) =a ； (ii) a+( a)=( a)+ a = 0 ；(iii) 假设a、b是互为相反向量，那么

4、a= b,b= a, a+b =0 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作：a b a ( b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法 作图法：a b可以表示为从b的终点指向a的终点的向量(a、b有共同起点)4实数与向量的积：实数入与向量a的积是一个向量，记作入a，它的长度与方向规定如下：(I) a a ；(U)当0时，入a的方向与a的方向相同；当0时，入a的方向与a的方向相反；当 0时，a 0，方向是任意的数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量b与非零向量a共线 有且只有一个实数 ，使得b = a6平面向量的根本定理：如果ei,是一个平面内的两个不共线向量，那么

5、对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数1, 2使：a iei 2e?，其中不共线的向量 巴(2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同2平面向量的坐标运算：r by1X1,y2X2>%X2,X1y2mu(2)假设 A xi, yi ,B x2,y2，那么 AB x：为,y yray1X1,a=( x, y)r rx?, y2，那么 a/ bx1y2 x2y1 0r a假设5)X1,y2y2%为I br a那么假设 a b，那么 Xi X2 yi y2 0三.平面向量的数量积1两个向量的数量

6、积：两个非零向量a与b，它们的夹角为 ，那么a b = | a丨| b | cosrr两个向量 a (x1,y1),b (x2,y2)，那么 a b =皿2 yy2向量的夹角:r r urn r uuu r两个非零向量 a与b，作OA = a , OB = b ,贝U/AOB=(00180°)a?b=X1X2y1 y2r a?I b/ 2 2 : 2 2¥人y1讣2y2叫做向量a与b的夹角cos = cos a, b当且仅当两个非零向量a与b同方向时，9 =00,当且仅当a与b反方向时B=180°.4向量的模：a a a21 a 122 ' 2 2a va

7、 x y5.向量平行：假设ar b%X1>x2, y2 ，贝U ab b a x2x?yi 0r ro r rr r6. 向量垂直：如果a与b的夹角为900那么称a与b垂直，记作a丄ba 丄 b a b = Ox1x2y1 y20.平面向量常见题型题型1.根本概念判断正误：1. 给出以下命题：rr 假设 I a| = I b|，那么 a = b ；uju uult 假设A，B, C, D是不共线的四点，贝U AB DC是四边形ABCD平行四边形的充要条件；假设a=b,rc- ra 贝 rc- r brrr a=b的充要条件是| ai=i b |且a b ； 假设a b, b c，贝u a

8、 c,其中正确的序号是题型2.向量的加减运算1 以下命题中正确的选项是(uuu uur muA. OA OB AB Br uuu rC. 0 AB 0 D2. 设a表示“向东走8kmuuu uun.AB BA 0 uuu uur uuu LOT.AB BC CD ADb表示“向北走6km ,那么| auuu uuituuu uuu uuuu3. 化简(AB MB) (BO BC) OMuur uuu uur4 .假设菱形ABCD的边长为2，贝U AB CB CDuuu uuu uuuuuur r uuur r uuuuuur5. AC为AB与 AD的和向量，且AC a,BD b，那么AB ,

9、AD _uuu3 uuu uuu uuuuuu uuu6. 点C在线段AB上，且AC3 AB,那么AC_ BC，AB_ BC .5题型3.向量的数乘运算1. 计算：(1) 3(a b) 2(； b)r r rr rr(2)2(2a5b3c)3( 2a3b2c)rrr 1 r2. a (1, 4),b ( 3,8)，那么 3a 丄 b.题型4.作图法球向量的和r rr 1 r r 3 r向量a,b，如以下图，请做出向量3a b和2a -b .2 2题型5.根据图形由向量求未知向量uuu uuur畑1. 在ABC中，d是BC的中点，请用向量AB,AC表示ADuuur r uuu r uuu lot

10、2. 在平行四边形 ABCD中，AC a,BD b，求AB和AD .-.向量 a (1,2)，b ( 2,3)，c (4,1)，假设用 a 和 b 表示 c,那么 c=<4. a (5,10)，b ( 3,4)，c (5,0)，请将用向量a,b表示向量c.题型6.向量的坐标运算uuu1. AB (4,5)，A(2,3)，那么点B的坐标是UULT2. PQ ( 3, 5)，P(3,7)，那么点Q的坐标是r b2 ra3 r b ra r b3. 假设物体受三个力fF1(1,2) , F2 ( 2,3), F3( 1, 4),那么合力的坐标为 4. 舌(3,4)，b (5,2)，求 aruj

11、ui5. A(1,2), B(3,2),向量 a (x 2,x 3y 2)与 AB 相等，求 x, y 的值.uuuuuuUUIUuuu6. AB (2,3)，BC(m, n)，CD ( 1,4)，那么 DA .uuu uuu r uuu7. 0是坐标原点，A(2, 1),B( 4,8)，且AB 3BC 0,求OC的坐标.题型7.结合三角函数求向量坐标1.O是坐标原点，点A在第二象限，|OA| 2，uurxOA 150o，求OA的坐标uuu -ULU2.O是原点，点A在第一象限，|OA| 4、3， xOA 60o，求OA的坐标.题型8.求数量积rrrr1. |a| 3,|b|4，且 a 与 b

12、 的夹角为60o，求(1)a b，( 2)a (a b)，r 1 r rrrrr(3)(a b) b，(4)(2a b) (a 3b).2rr2. a (2, 6),b( 8,10)，求(1) |a|,|b| , (2)rr(4) (2a b) (a 3b).r bra3)ra(2ra题型9.求向量的夹角rrr1. |a | 8,| b| 3 , a b 12，求a与b的夹角.2. a C、3,1),b ( 2,3,2)，求 a与 b 的夹角.3. A(1,0) , B(0,1) , C(2,5)，求 cos BAC .4. 舌(m,3)，b (2, 1)，(1)假设a与b的夹角为钝角，求m的

13、范围；(2)假设a与b的夹角为锐角，求m的范围.5. 两单位向量a与b的夹角为1200，假设c 2a b,d 3b a，试求c与d的夹角6假设|a| 1,|b| 2,c a b，且c a，那么向量a与b的夹角为.题型10.求向量的模rrrr1. |a| 3,| b | 4，且 a 与 b 的夹角为 60。，求1|a b|， 2|2a 3b |.rrr rrr12. a 2, 6,b 8,10，求1|a|,|b|， 5|a b|， 6靑-b|.2r rr rr r3. |a | 1,|b| 2，|3a 2b | 3，求 |3a b |.r题型11.求单位向量【与a平行的单位向量：e 皐】|a|1

14、. 与a 12,5平行的单位向量是2. 与mm 1,1平行的单位向量是2题型12.向量的平行与垂直1. 向量 a 1,2, b x,1,u a 2b， v 2a b，且 u/v，求实数 x 的值rrr2. a 6,2，b 3,m，当 m为何值时，1ab ？ 2a b ？3. a (1,2)，brr(3,2)，( 1) k为何值时，向量ka b与a 3b垂直?(2) k为何值时，向量ka b与a 3b平行?6.a(i)mmrarmrm3/V rnrm2z(rnrnrrb, n 2a b，按以下条件求实数的值.4.a是非零向量，a b a c，且b c，求证：r a| r (b c).rifnrr

15、r r5假设2为a 1 , t)2，a与b的夹角为600，假设(3a5b)(ma b)，贝U m的值题型13.三点共线问题1. A(0, 2) , B(2, 2) , C(3,4)，求证:A,B,C 三点共线.uuuJo r r uuu rr uuur rr2. 设 AB (a5b), BC2a8b,CD3(ab)，求证：A B D 三点共线.2uuur r uuur r uur r r3. ABa2b,BC5a 6b,CD7a2b，那么一定共线的三点是.4. A(1, 3)，B(8, 1)，假设点C(2a 1,a 2)在直线AB上，求a的值.5. 四个点的坐标O(0,0) ， A(3,4)，

16、B( 1,2)，C(1,1)，是否存在常数t，使uu uuu uurOA tOB OC 成立？题型14.判断多边形的形状uuu rmuruuiruuu1. 假设AB 3e, CD 5e,且|AD|BC|,那么四边形的形状是.2. A(1,0) , B(4,3) , C(2,4) , D(0, 2)，证明四边形 ABCD 是梯形.3. A( 2,1) , B(6, 3) , C(0,5)，求证：ABC是直角三角形.uuuuuuuur4. 在平面直角坐标系内，OA ( 1,8),OB( 4,1),OC(1,3),求证：ABC是等腰直角三角形平面向量的根底训练1、化简:(1) ( ABCD) ( A

17、CBD)=CB ED DC FE AF2.a(1,3),b( 2,1)，那么(3a 2b) (2 a5b)3.a(1,2) , b (3,1), c(5,4)，那么 C4.向量a和向量b的夹角为30o , |a| 2,|b| 3,那么向量a和向量b的数量积5. 向量a(1,1),b(1, 1),c(1, 2),那么 cb.丄a2-b C. -a23ra21b26向量 a (2,3) , b (1,2),假设ma2b平行,那么m等于1A.2 B . 2 C .-27假设a,b是非零向量且满足a2b) a , (b 2a),那么a与b的夹角是 A.8 .设a-B63(,sin2C . D .336r1r),b (cos ,-)，且 a/ b，那么锐角3为(A. 30° B . 60° C . 75° D . 45°r9.a (1,0) , b (2,1)，当k为何值时，向量kara10.两向量a(3,4),b (2, 1)，求当a xb与a b垂直时的x的值.11.两向量a (1,3),b(2, )，a与b的夹角 为锐