高中数学必修5新教学案：3.4基本不等式(1)

1、3.4根本不等式(学案)(第 1课时)【知识要点】1 根本不等式及其成立的条件；2 利用根本不等式求最值. 【学习要求】1. 了解根本不等式的证明过程;2. 掌握根本不等式成立的条件;3. 会应用根本不等式求最值.5.正数a,b的算术平均数是；正数a,b的几何平均数是正数a,b的算术平均数不小于它们的几何平均数【根底练习】1.以下不等式成立的是2. x 0,当x为时，Xa b21-的值最小，且最小值为x2 13.函数y 3x2 -2 ,x时，y 3x4有最小值为x【预习提纲】(根据以下提纲，预习教材第97 页第 99 页)1. 在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为 ，四个直角三角形的面

2、积为;由这两个面积的大小关系可得根本不等式 ，其中等号成立的条件为 2. 如果 a 0,b 0,用代替, a2 b2 2ab可得根本不等式 (当且仅当，等号成立).3. 分析法证明 a b 2 . ab，要证a b 2 . ab，只要证a b 2 . ab 0 ,即证 0,当且仅当时，等号成立.4. a b 2j0b可化为ab ( a 0,b 0)；使用该不等式求最值时，要注意的前提条件为：(1) a 0,b0 ； (2)积或和为定值；(3)当且仅当a b时，等号成立,记为“一正，二定，三相等4.:且'1，那么：的最小值为【典型例题】 例1 x,y都是正数，求证：如果积xy是定值，那么

3、当x y时，和x y有最小值2 p.【变式练习】4(1)求函数y x (x 0)的最小值xy-Z4-(X <Q)(2 )求函数H的最大值1y= a +(3 )二；-，求函数-的最小值x +(4)二：；'-，不等式 上-恒成立，那么实数X的范围例2 x,y都是正数，求证：1如果和x y是定值，那么当x y时，积xy有最大值-s2.2b e ab beae;(2)设a,b,e都是正数，求证:beea aba b e证明：(1) Q a2 b2 2ab,b22be, a22ae,2 2 22(a b e ) 2ab2be2ae即 a2 b2 e2 ab beae在式两边同时加上 a2b

4、2 e2 得 3(a2 b2e2)4【变式练习】1.x 0, y 0且x y 2，那么xy的最大值为2.0 x 2,那么y x(2 x)的最大值23.0 x，求y x(23x)的最大值.例3( 1)a,b,e都是实数，求证：a2 b21 即- a b2 cab bc ac .322a b21c2a b cab bc ac.3在式两边同时加上2ab2bc2ac 得 a(2) Q a,b, c都是正数，bc,ac,ab都是正数.a b cbc acabbe abac 小2c,2b,-2aabcacbbccaab相加得2(2(a b c).abcbccaab故a bc.abc3 ab bc ac .

5、1. 以下推理过程正确的选项是B假设x0,那么 cc12Jeosx?12)s xcosxVcosxC假设x0,那么x42x?44xxD假设a,bR, ab0,那么-aababbaA 假设 a,b R,那么b a 2,：b?a 2 a b V a b22.以下函数中最小值为4的是A y x X (B)ysin xsin x (0C y 3X 4 3 x D yIg x 4 log x 10.3.0x 1,求 yx(3 3x)的最大值时x的值A 3 B 2 C 4 D ?4. a,b R,a b 3,那么2a 2b的最小值是A 6 B 4.2 C 2 3 D 2.6.x2 2x 25. 设x 1

6、,函数y的图象最低点的坐标为'x 1A (1,2) B (1, 2) C (1,1) D (0,2).6. (1)假设",12阿VW最值为假设“二，7. (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取 (2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取_时，它们的和最小. 时，它们的积最大.8.假设 x1,y1，那么log x y logy x的取值范围9.设xx 5 x 21,求函数yx 1的最小值10.3 lgx 的值域.lgx11.a,b都是正数,求证:aba2 b2212.a,b都是正数,求证:ab bc ac72 2一22b c a cJ2 21 x.1. (2007年山东

7、)函数y a (a 0,a 1)的图象恒过定点 A,假设点A在直线mx ny 1 0上,那么1 1的最小值是m n2. (2007年北京)如果正数满足，那么A ab c d,且等号成立时a,b,cd的取值唯一 B ab c d，且等号成立时abc,d的取值唯一abc,d的取值不C ab c d，且等号成立时 a,bGd的取值不唯一 D ab c d，且等号成立时 唯一 .必修53.4 根本不等式学案第1课时【教学目标】1了解根本不等式的证明过程；2. 掌握根本不等式成立的条件；3. 会应用根本不等式求最值.【重点】1. 掌握根本不等式成立的条件；2. 会应用根本不等式求最值.【难点】1. 抓住

8、定值进行变形应用根本不等式求最值.【预习提纲】根据以下提纲，预习教材第97 页第 99 页2 21.在如右图赵爽的弦图中，正方形ABCD的面积为a b，四个直角三角形的面积为 2ab;由这两个面积的大小关系可得根本不等式a2 b2 2ab.其中等号成立的条件为 a b.2.如果 a 0,b0,用,a, :b 代替 a,b , a2 b2 2ab可得根本不等式a b 2. ab 当且仅当，等号成立3 分析法证明ab 2 . ab ,要证 a b 2 . ab ,只要证 a b 2 . ab0，即证、a 、b 0,当且仅当a b时，等号成立.4. a b 2后可化为ab 2a 0,b 0 ；使用该

9、不等式求最值时，2要注意的前提条件为：1 a 0,b 0 ； 2积或和为定值；3当且仅当a b时，等号成立，即记为“一正，二定，三相等5. 正数a,b的算术平均数是 红卫；正数a,b的几何平均数是.Ob ；正数a,b的算术平均 数不小于它们的几何平均数【根底练习】1以下不等式成立的是DAa2bab2. x 0,当 x 为 B .五 Cxl2Dx242 .2xx21时，x的值最小，且最小值为 _2.x2 13.函数v 3x2，当x =x时，v 3x2 A有最小值为x4.1 且'1，那么的最小值为_2【典型例题】例1x,y都是正数，求证:如果积xy是定值，那么当x y时，和x y有最小值2

10、. p.【审题要津】从根本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到.证明：Qx 0,y 0, 2 , xy.当且仅当x y时，等号成立.因此当x y时，和x y有最小值2p.【方法总结】当两正数的积为定值时，和有最小值；应用该结论时注意前提条件：正数、定值、等号成立；其中定值是解题的关键，注意变形及应用.【变式练习】4(1)求函数y x (x 0)的最小值4.xy = x + (j CO)(2 )求函数"尢的最大值 -2.1y= x +(3) 巴；-，求函数.-二的最小值_4.x + -(4) 二：；'-，不等式 上1 恒成立，那么实数x的范围a 4.例2 x, y都是正数

11、，求证：1 2如果和x y是定值，那么当x y时，积xy有最大值s2.4【审题要津】从根本不等式中不等号的方向去思考、变形、求解得到.证明:0，y 0，宁兮.当且仅当x y时，等号成立正数、【变式练习】1.xo,y0 且 x y 2 ,2.0x2,那么yx(2x的最大值 13.0x2隶,求y3x(23x的最大值.解:Q yx(23x)1 3x(23x) , 3x(213x)【方法总结】当两正数的和为定值时，积有最大值; 定值、等号成立；那么xy的最大值为1 .3x 1 3x(1)a,b,c都是实数，求证:a2 b2c abbc ac;ab设a,b,c都是正数，求证：匹乞a b【审题要津】从要证

12、明的不等式入手，分析是将和转化为积，还是将积转化为和；从而 利用根本不等式中去思考、变形、化简得到.(2)c.1 2因此当x y时，积xy有最大值4s 应用该结论时注意前提条件: 其中定值是解题的关键，注意变形及应用.故y x(23x)的最大值1.1232(a2 b2 c2)2ab2bc2ac即 a2 b2 c2 abbcac在式两边同时加上2 a.2 2b c得 3(a222、b c )a b c 2.即 a2 b2c2-a b2 c .3在式两边冋时加上2ab2bc2ac得2a b c3 ab bc ac证明：(1) Q a2 b2 2ab, b2 c2 2bc, a2 c22ac,1 2

13、 即一 a b c ab bc ac .32 ab2 c21 a b32 cab bc ac.(2)Q a,b, c都是正数，bcacJ 5ab都是正数abcbc acabbe abac 小2c,2b,-2aabcacbbccaab相加得2(2(a b c).abcbccaab故一a bc.abc【方法总结】证明不等式时，要学会分析、探索条件与结论的关系，正确利用根本不等 式进行积与和的转化.1以下推理过程正确的选项是A 假设 a,b R,那么-2.'b?a 2 a b V a bB 假设 x 0,那么 cosx 12cosx?-2cosxcosxC 假设 x 0,那么 x 4 z/x

14、?44X V XD 假设 a,b R,ab 0,那么 b -a b2. 以下函数中最小值为4的是C4A y x(B) y sinxa ba,a bba24x(0x)sin xC y 3x 4 3 x D ylg x 4 log x 10.3.0x 1,求 yx(33x的最大值时x的值4.a,bR, a b3,那么 2a2b的最小值是 B5.设x1 函数yx2 2x 2x 1的图象最低点的坐标为A (1,2) B (1, 2) C (1,1) D (0,2).12心严的最_小值为_, 此 =_2f(x) = -b3x时，它们的和最小. 时，它们的积最大.'工 的最大值为-12,此时x =

15、-27. (1)把36写成两个正数的积，当这两个正数取(2)把18写成两个正数的和，当这两个正数取8.假设 x1,y1，那么log x y log y x的取值范围2,9.设x1,求函数y解：Q x1,x 10.x2 7x 10x 1x 145.x 1x 5 x 2的最小值1y2.4 59.故函数x 5 x 2 厶亠的最小值为9.x 110.求 y3 Igx 的值域. lg x解：当x1时,lg x 0, y 32.47.x 1 时，lg x 0, y2 ( lg x)4 1. lgx3 lgx 的值域为lgxy 7, y11.a,b都是正数，求证:aba2 b22证明：由'、ab号)2.2 2a bQ2a2 b2 2ab40,a2 b22aba2 b22由( 1) 知a2 b2222a be ba c22-,r22a c.2ab ,bc ac a b c12.a,b都是正数，求证： ab bc ac