高中数学必修5常考题型：不等关系与不等式

1、不等关系与不等式【知识梳理】1. 不等式的概念我们用数学符号“连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系含有这些不等号的式子叫做不等式.2.比拟两个实数a、b大小的依据文字语言付号表示如果a> b,那么a-b是正数； 如果av b,那么a-b是负数； 如果a= b,那么a-b等于0, 反之亦然a>b? a b>0a<b? a b<0a= b? a b= 03.不等式的性质对称性：a>b? b<a;传递性：a>b, b>c? a>c;可加性：a>b? a + c>b + c.推论同向可加性：？ a+ c>b + d;

2、c>da>ba>b可乘性：？ ac>bc;? ac<bc;'c>0c<0推论同向同正可乘性：? ac>bd;c>d>0正数乘方性：a>b>0? an>bnn N*, n> 1;6正数开方性：a>b>0?需皈(n N*, n>2).【常考题型】题型一、用不等式组表示不等关系【例1】 某矿山车队有4辆载重为10 t的甲型卡车和7辆载重为6 t的乙型卡车，有9名 驾驶员.此车队每天至少要运 360 t矿石至冶炼厂.甲型卡车每辆每天可往返 6次，乙型卡 车每辆每天可往返 8次，写出满足上述所有

3、不等关系的不等式.x+ yw 9, 10X6x+ 6X 8y>360,解设每天派出甲型卡车x辆，乙型卡车y辆由题意得0w xw 4,0w yw 7,x乐I, yN ,xyw 9 ，5x+ 4y> 30,即0w xw 4， 0w yw 7，xN, yN【类题通法】用不等式表示不等关系的方法(1) 认真审题，设出所求量，并确认所求量满足的不等关系(2) 找出表达不等关系的关键词：“至少“至多“不少于 “ 不多于“超过 “不超过等用代数式表示相应各量，并用关键词连接.特别需要考虑的是中的能否取到【对点训练】1 用不等式(组)表示以下问题中的不等关系：(1) 限速 80 km/h 的路标；

4、(2) 桥头上限重 10 吨的标志；(3) 某酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应不多于 2.5%，蛋白质的含量 p 不少于2.3%.解： (1)设汽车行驶的速度为 v km/h，那么 vw 80.(2) 设汽车的重量为3吨，贝y 3W 10.fw 2.5%，(3)p > 2.3%.题型二、比拟两数(式)的大小【例 2】 比拟以下各组中两个代数式的大小：(I)x2 + 3 与 2x;a, b为正数，且a丰b,比拟a3+ b3与a2b+ ab2的大小. 解(1)( x2+ 3) 2x= x2 2x+ 3=(x 1)2+ 2>2>0,.'x2+ 3 > 2x.

5、(2) ( a3 + b3) (a2b + ab2) = a3 + b3 a2b ab22 2 2 2=a (a b) b (a b) = (a b)(a b )=(a b)2(a + b),-a>0, b>0，且 b,'(a b)2> 0, a+ b > 0. (a3 b3) (a2bab2)> 0,即 a3+ b3> a2b+ ab2.【类题通法】 比拟两个代数式大小的步骤(1) 作差：对要比拟大小的两个数(或式子 )作差；(2) 变形：对差进行变形；(3) 判断差的符号：结合变形的结果及题设条件判断差的符号；(4) 作出结论这种比拟大小的方法通

6、常称为作差比拟法其思维过程：作差t变形t判断符号t结论,其中变形是判断符号的前提【对点训练】2 .比拟x3 + 6x与x2 + 6的大小.解： (x3+ 6x) (x2+ 6)=x3 x2 + 6x 6=x2(x 1) + 6(x 1)=(x 1)(/+ 6)X2+ 6 > 0.当x> 1 时，(x 1)(/+ 6)>0,即 x3 + 6x>x2 + 6.当 x= 1 时，(x 1)(x2+ 6) = 0,即 x3 + 6x = x2 + 6.当 XV 1 时，(x 1)(x2+ 6) v 0,即 x3 + 6xv x2 + 6.题型三、不等式的性质ee【例3】 a&g

7、t; b> 0, cv d v 0, ev 0,求证： >a c b d证明'.cv dv 0, _c > d > 0,又Ta >b> 0, a + ( c) > b + ( d) > 0,即 a c> b d > 0,0 va c又 Tev 0,e e> - a c b d【类题通法】利用不等式的性质证明不等式考前须知(1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式解决此类问题一定要在理解的根底上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用(2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，

8、且不可省略条件 或跳步推导，更不能随意构造性质与法那么 .【对点训练】3. a>b, m>n, p> 0,求证： n ap v m bp.证明：.a>b，又 p>0, /ap>bp./apv bp,又 m> n,即 n v m./n apv m bp.【练习反应】1.完成一项装修工程，请木工共需付工资每人 500 无， 请瓦工共需付工资每人400 元，现有工人工资预算 20 000 元，设木工 x 人，瓦工 y 人，那么工人满足的关系式是 ( )A . 5x+ 4yv 200B . 5x+ 4y> 200C. 5x+ 4y= 200D . 5x+

9、 4yW 200解析：选 D 据题意知，500x+ 400yw 20 000,即 5x+ 4y< 200,应选 D.2. 假设xm 2且yz 1，贝U M = x2 + y2 + 4x 2y的值与一5的大小关系是()AM> 5BMv 5C. M> 5D . Mw 5解析：选 A M ( 5) = x2 + y2 + 4x 2y+ 5=(x+ 2)2+ (y 1)2,.xm 2, yz 1,(x+ 2)2> 0, (y 1)2>0,因此(x+ 2)2+ (y 1)2>0.故 M> 5.3. 如果a> b，那么c 2a与c 2b中较大的是 .解析： c 2a (c 2b)= 2b 2a= 2(b a)v 0.答案： c 2b4. 假设一10 v avbv 8,那么|a|+ b的取值范围是 . q eT品 qe qe 0 VH q VH e.L Lovq ve. OAZq 佥 oAq Ae ovq ve VL.& L+XZXC wexe. olL+xe)(Lx).OAL +zxep<OWL.>< =?>< (L +zxe)( L X) H (L X) + (L x)zxg H ( l X)