高中数学立体几何讲义(一)

1、平面与空间直线I、平面的根本性质及其推论1空间图形是由点、线、面组成的。点、线、面的根本位置关系如下表所示:图形付号语言文字语言读法AaA a点A在直线a上。A aA a点A不在直线a上。A点A在平面 内。A / /A点A不在平面内。bal b A直线a、b交于A点。a?直线a在平面 内。a/ /a I直线a与平面 无公共点。a/'4alA直线a与平面交于点A。Il平面、相交于直线1。a 平面外的直线a表示al或al A。2、平面的根本性质公理内+1:如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面推理模式：AAB?。 如图示：A B应用：是判定直线是否在平面内的依据

2、，也是检验平面的方法。公理2:如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且所有这些公共点的集 合是一条过这个公共点的直线。A推理模式：I |且A I且I唯一.如图示：A应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上。例1 如图，在四边形ABCD中,a相交于点E, G, H F.求证:AB/ CD,直线AB, BC, AD, DC分别与平面 E , F , G, H四点必定共线.AB解： AB/ CDAB, CD确定一个平面B.又I AB a = E , AB B, . Ea ,即E为平面a与B的一个公共点.同理可证F , G, H均为平面a与B的公共点.两个平面有公共点，它们有且只有一

3、条通过公共点的公共直线, .E, F , G, H四点必定共线.说明：在立体几何的问题中，证明假设干点共线时，常运用公理 2,即先证明这些 点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论.例2.如图,平面a, B,且a B= I .设梯形ABCD中 , AD/ BC,且ABa , CD B,求证：AB CD I共点相交于一点 证明 梯形 ABCD中 , AD/ BC,.AB, CD是梯形ABCD勺两条腰.AB, CD必定相交于一点,设 AB CD= M又 I AB a , CD B, . Ma,且 MB. Ma又Ta B = I , . M I ,即AB, CD I共点.说明：

4、证明多条直线共点时，一般要应用公理 2,这与证明多点共线是一样的.公理3： 经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面。推理模式：代B,C不共线 存在唯一的平面，使得A,B,C 。应用：确定平面；证明两个平面重合。例3.：a , b , c , d是不共点且两两相交的四条直线，求证： a , b , c,d 共面.证明1 0假设当四条直线中有三条相交于一点，不妨设 a , b , c相交于一点A,但A d,如图1.图1 直线d和A确定一个平面a.又设直线d与a, b, c分别相交于E, F, G, 那么 A, E, F, Ga.T A, Ea, A, E a , a a.同理可证b a, C

5、 a. a, b, c, d在同一平面a内.2°当四条直线中任何三条都不共点时，如图 2.这四条直线两两相交，那么设相交直线 a, b确定 一个平面a.设直线C与a, b分别交于点H, K,那么H, Ka.又 H, K C, C a.同理可证d a. a, b, c, d四条直线在同一平面a内.说明：证明假设干条线或假设干个点共面的一般步骤是：首先根据公理 3或推论, 由题给条件中的局部线或点确定一个平面，然后再根据公理 1证明其余的线 或点均在这个平面内.此题最容易无视“三线共点这一种情况.因此，在分 析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义.“有且只有一个的含义分两局部理解，“有

6、说明图形存在，但不唯一，“只有一个说明图形如果有顶多只有一个，但不保证符合条件的图形存在，“有且只有一个既保证了图形的存在性，又保证了图形的唯一性.在数学语言的表达中，“确定一个，“可以作且只能作一个与“有且只有一个 是同义词，因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性和“唯一性两方面来论证。推论1：经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面。推理模式：A a 存在唯一的平面，使得A , l推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面。推理模式：a b P存在唯一的平面，使得a,b推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面。推理模式：a/b存在唯一的平面，使得a,b练习：1.如图，在平行六面体

7、ABCD ABCD的中，AG BD = O, B1D 平面A1BC= P. 求证：P BQ.证明 在平行六面体 ABCD ABCD中， BD 平面 ABG= P,.P 平面 ABC, P BiD./ BD 平面BBDD.二P平面AiBG,且P平面BBDD.GAB P平面 ABG 平面 BBDD,AGBiD = O,AG 平面 ABG, BD 平BBDD, O 平面AiBG,且O 平面BBDD.又B平面AiBG，且B平面BBDD,.平面 ABG 平面 BBDD= BO. P BO说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个 平面上。n、空间两条直线1、 空间两直线的位置

8、关系：1相交一一有且只有一个公共点；2平行一一在同一平面内，没有公共点；3异面一一不在任何.一个平面内，没有公共点；2、 公理4 ：平行于同一条直线的两条直线互相平行。推理模式：a/b,b/c a/c。3、等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。4、 等角定理的推论：如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两条直线所成的 锐角或直角相等。5、异面直线判定定理：连结平面内一点与平面外一点的直线， 和这个平面内不经过此点的直线 是异面直线。推理模式： A , B ,l , B l AB与I是异面直线。异面直线的判 定方法：判定定理；定义法；反证法是

9、证明两直线异面的有效方法。a例1 不共面的三条直线a、b、c相交于点P , A a , B a , G b , D c , 求证：AD与BG是异面直线.证一：反证法假设AD和BC共面，所确定的平面为a,那么点 P、A、B、C、 D都在平面a内，.直线a、b、c都在平面a内，与条件a、b、c不共面矛 盾，假设不成立， AD和 BC是异面直线。证二：直接证法V a n C=P,.它们确定一个平面，设为a,由C平面a, B平面a, AD 平面a, B AD，二AD和BC是异面直线。6、异面直线所成的角：两条异面直线 a, b，经过空间任一点 0作直线a a,b b ,a,b所成的角的大小与点 0的选

10、择无关，把a ,b所成的锐角或直角叫异面直线a,b所成的角或夹角为了简便，点 0通常取在异面直线的一条上。异面直线所成的角的范围：oR。7、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，那么叫两条异面直线垂直两条异面直线a, b垂直，记作a b。8、 求异面直线所成的角的方法：几何法：1 通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；2找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。例2在正方体ABCD a'b'c'd'中，M、N分别是棱AA'和AB的中点，P为 上底面ABCD的中心，那么直

11、线PB与MN所成的角为A A 300B45°C600DaB例3.条长为2cm的线段AB夹在互相垂直的两个平面、 之间，AB与 所成角为45°，与 所成角为 30°，且丨,AC l , BD l , C、D 是垂足，求1 CD的长；2 AB与CD所成的角解：1连 BC AD 可证 AC丄 B, BDLa,A ABC=3°,/ BAD=45 , Rt ACB中, BC=AB cos30°=£3在 Rt ADB中, BD=AB sin45 °=V2在 Rt BCD中，可求出 CD=1c也可由 AB=aC+bD+C2AC BD- c

12、os900求得2 作 BE/I , CE/BD, BEn CE 贝U/ ABE就是 AB与 CD所成的角，连 AE 由 三垂线定理可证 BE!AE,先求出AE= 3，再在Rt ABE中，求得/ ABE=6b 说明：在3中也可作CH!AB于H, DF丄AB于F, HF即为异面直线 CH DF的 公垂线，利用公式 CD=CH+DF+HF-2 - CH- DFcosa，求出 cos a =仝。39、两条异面直线的公垂线、距离：和两条异面直线都垂直相交.的直线，我们称之为异面直 线的公垂线。理解：因为两条异面直线互相垂直时，它们不一定相交，所以公垂线的定义要注意“相交的含义。两条异面直线的公垂线在这两

13、条异面直线间的线段公垂线段的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何 法；向量法。2例4.在棱长为a的正四面体中，相对两条棱间的距离为.答案：一a2例5.两条异面直线a、b间的距离是1cm它们所成的角为60°, a、b上各有 一点A、B,距公垂线的垂足都是10cm,那么A、B两点间的距离为 .答案：101cm 或301cm练习：1.如图，在正方体 ABC® ABCD的中，求证: 段.证明：如图1,在正方体ABC® ABCD中， 连结 BD, AC, BD, AC.设 BD= M BD AC= N. M N分别是B1D, AC

14、的中点.连结BM DN.BB/ DD，且 BB = DD,四边形BDDB是平行四边形.在平面 BDEB1 中，设 B1D BM= 0, BD DN= O , 在平行四边形BDDB中,DM/ NB 且 DIV= NB, 四边形BNDM是平行四边形.BM/ ND ,即 OM/ OD , O是BO的中点,即 00= OB. 同理，OO= OD.OO= OB = OD.综上,OB : OD = 1 : 2.BD被平面ABC分成1 : 2的两D1BC1C图12.如图,平面a、B交于直线I, AB CD分别在平面a, B内,且与丨分别 交于B , D两点.假设/ AB亠/ CDB试问AB, CD能否平行？

15、并说明理由.证明：直线AB, CD不能平行.否那么,假设 AB/ CD那么AB/ CD共面，记这个平面根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个平面，a与丫重合.为Y.AB, CDAB a , 由题知，AB a ,Y.Dy.Da,且 D AB,同理，B与丫重合.a与B重合，这与题设矛盾. AB, CD不能平行.3平行六面体ABCD-ABCD中，求证：CD所在的直线与BC所在的直线是异面 直线.证明：假设CD所在的直线与BC所在的直线不是 异面直线.设直线CD与BG共面a.C, D CD, B, C BG,： C, D, B, Ci a.CC/ BB,. CC, BB确定平BBCC, C, B

16、, C 平面 BBCC.不共线的三点C, B, C只有一个平面，平面a与平面BBGC重合.: D 平面BBCiC,矛盾.因此，假设错误，即CD所在的直线与BC所在的直线是异面直线.根底稳固训练CAB1、A. A卜列推断中，错误的选项是。l, A, B l, BlB. A, A,B,BC.丨,A lAD. A, B,C,a,b,c，且A、B、C不共线,重合2、判断以下命题的真假，真的打“V ，假的打“x 。1空间三点可以确定一个平面。2两条直线可以确定一个平面。3两条相交直线可以确定一个平面 。4 一条直线和一个点可以确定一个平面。5三条平行直线可以确定三个平面。6两两相交的三条直线确定一个平面

17、。7两个平面假设有不同的三个公共点，那么两个平面重合。8假设四点不共面,那么每三个点一定不共线。xx“xxxx“。3、如以下图，正四面体S ABC中,D为SC的中点，贝UBD与SA所成角的余弦值是32、.3Su/TXA 3B 3C 6D 6 d解析：取AC的中点E,连结DEBE,贝U DE/ SA/ 1 /$ A E CL、/Z/ BDE就是BD与SA所成的角设SA=a,那么BD=BE=2 a12 2BDDEBE 23DE=2 a, COS / BDE=2 BD DE= 6。答案：C异面直线题型：异面直线的判定或求异面直线所成的角及距离例4、A是厶BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中

18、点,(1) 求证：直线 EF与BD是异面直线；(2) 假设AC丄BD , AC=BD，求EF与BD所成的角。(1)证明：用反证法。假设EF与BD不是异面直线，那么 EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内， 这与A是厶BCD 平面外的一点相矛盾 故直线EF与BD是异面直线。(2)解：取CD的中点G,连结EG、FG,那么EG/ BD，所以相交直线 EF与EG所成的锐 角或直角即为异面直线 EF与BD所成的角 在Rt EGF中，求得/ FEG=45 °，即异面直线EF与BD所成的角为45°。反思归纳证明两条直线是异面直线常用反证法；求

19、两条异面直线所成的角，首先要 判断两条异面直线是否垂直，假设垂直，那么它们所成的角为90°假设不垂直，那么利用平移法求角，一般的步骤是“作(找)一证一算注意，异面直线所成角的范围是(0，上。2例 5、长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=a, BC=b AA =c，且 a>b,求：(1) 以下异面直线之间的距离：AB与CC1 ； AB与A1C1 ； AB与B1C。(2) 异面直线D1B与AC所成角的余弦值。(1)解：BC为异面直线AB与CC1的公垂线段，故 AB与CC1的距离为boAA1为异面直线AB与A1C1的公垂线段，故 AB与A1C1的距离为c oBB1 BCb

20、c过B作BE丄B1C，垂足为E,那么BE为异面直线AB与B1C的公垂线，BE=B1CCC1bc22即AB与B,C的距离为 b c(2)解法一：连结BD交AC于点0,取DD1的中点F,连结OF AF,那么OF/ D1B ,二/ AOF就是异面直线 D1B与AC所成的角。、a2 b21a2 b2 c2 A0=2, 0F=2 d1b=24b2 c2AF= 2,在 AOF 中,2 2 2b2)(a2b2 c2)AO2 OF2 AF2-cos / AOF=2 AO OF = (a解法二：建立空间直角坐标系，写出坐标，用向量的夹角公式计算。反思归纳1、两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段(公垂线段

21、)的长度，叫做两条异面直线间的距离。两条异面直线的公垂线有且只有一条。计算方法：几何法；向量法。2、求异面直线所成的角的方法：几何法：(1)通过平移，在一条直线上找一点，过该点做另一直线的平行线；(2)找出与一条直线平行且与另一条相交的直线，那么这两条相交直线所成的角即为所求。向量法：用向量的夹角公式。空间中的平行关系(I)、直线与平面平行1. 直线和平面的位置关系：(1)直线在平面内(无数个公共点)；符号表示为：a? , (2) 直线和平面相交(有且只有一个公共点)；符号表示为：a I A , (3)直线和平面平行(没有公共点)一一用两分法进行两次分类.符号表示为：a/ .2. 线面平行的判

22、定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.推理模式：丨 ，m? ,l/m l / .3. 直线与平面平行证明方法： 证明直线和这个平面内的一条直线相互平行； 证明这条直线的方向量和这个平面内的一个向量相互平行; 证明这条直线的方向量和这个平面的法向量相互垂直。4线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行推理模式：丨，丨？ ， I m l/m .(n)、平面与平面平行1平行平面：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行.2图形表示：画两个平面平行时，通常把表示这两个平面的平行四边形的

23、相邻两边分别画 成平行的.3平行平面的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面互相平行. 推理模式：a , b , aI b P, a/, b/.平行平面的判定定理推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的 两条相交直线，那么这两个平面互相平行.推理模式：aI b P,a刎，b ,a I b P ,a 刎V ,b ,a/a ,b/b/.4. 证明两平面平行的方法：(1) 利用定义证明。利用反证法，假设两平面不平行，那么它们必相交，再导出矛盾。(2) 判定定理：一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行，这个定理可简记为线面平

24、行那么面面平行。用符号表示是：a n b, a a, b a, a /3, b/B,那么 a/B。(3 )垂直于同一直线的两个平面平行。用符号表示是：4 平行于同一个平面的两个平面平行。1 。5 两个平面平行的性质有五条：1 两个平面平行，其中一个平面内的任一直线必平行于另一个平面，这个定理可简记为： "面面平行，那么线面平行。用符号表示是：aB, aU a,贝U a /3°2 如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行， 这个定理可简记为： "面面平行，那么线线平行。用符号表示是：/，仏门丫 =a,3Y =b，贝U a / b°3 一条直

25、线垂直于两平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。 这个定理可用于证线面垂直。用符号表示是：aB,a丄a，贝V a丄B。4夹在两个平行平面间的平行线段相等。5过平面外一点只有一个平面与平面平行。両面平行的判定*1缆面平行的判定*百面平务的削定，t厳幾平行线面平行*町面而3行tt幽面呼行的性睑面面平行的性曲面面平荷的性质*川、线线平行、线面平行、面面平行间的相互转换三、根底稳固训练1、假设两条直线 m, n分别在平面a、B内，且a / 那么m, n的关系一定是。DA平行B相交C异面D平行或异面2、一条直线假设同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这 两个平面的交线的位置关系是 .CA异面B相

26、交C平行D不能确定3、 a、b是两条异面直线，A是不在a、b上的点，那么以下结论成立的是。如图DA过A有且只有一个平面平行于 a、bC过A有无数个平面平行于 a、bB过A至少有一个平面平行于a、bD 过A且平行a、b的平面可能不存5、a、b、c为三条不重合的直线，a、B、丫为三个不重合的平面，直线均不在平面内,给出六个命题:Sb/c/a f/ c亠8甘EA=> a "3；p/ca.其中正确的命题是将正确的序号都填上。考点：线面平行的判定与性质题型：证明线面平行与线面平行性质的运用例1、如以下图，两个全等的正方形 ABCD和ABEF所在平面相交于 AB, M AC, N FB且A

27、M=FN求证：MN/平面BCE证法一：过 M作MPL BC,NQL BE,P、Q为垂足，连结PQT MP/AB,NQ/ AB,.MP/ NQNMQBPE_2_2又 NQ= 2 BN= 2 CM=MP / MPQN!平行四边形 MN/ PQ PQ?平面 BCE 而 MN 平面 BCE 二 MIN/ 平面 BCE证法二：过 M作MG BC,交AB于点G 如以下图，连结 NG/ MG/ BC, BC?平面 BCE MG 平面 BCE MG/平面 BCEBG CM BN 又 GA = MA = NF , GN/ AF/ BE,同样可证明 GIN/平面BCE又面 MG NG=G二平面 MNG平面 BCE

28、又mN?平面 MNG. MN/平面 BCE反思归纳证明直线和平面的平行通常米用如下两种方法：利用直线和平面平行的判定定理，通过“线线平行，证得“线面平行；利用两平面平行的性质定理，通过“面面平行，证得“线面平行 例2、如以下图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过 AB的中点0作平面a与a、 b分别平行，M N分别是a、b上的任意两点，MN与a交于点P,求证：P是MN的中点证明：连结AN,交平面a于点 Q连结PQ/ b /a, b 平面 ABN 平面 ABNHa =0Q b / OQ又 0 为 AB 的中点, Q为AN的中点/ a/a, a ?平面 AMN且平面 AMNTa =PQ a

29、 / PQ. P为MN的中点反思归纳此题重点考查直线与平面平行的性质考点：面面平行的判定与性质题型：证明面面平行与面面平行性质的运用例3、如图，在四棱锥 P - ABCD中，M,N分别是侧棱PA和底面BC边的中点，O是底面平 行四边形ABCD勺对角线AC的中点.求证：过 O M N三点的平面与侧面 PCD平行.证明：/ O M分别是AC PA的中点，连接 OM那么OM/PG/ OM 平面 PCD PC 平面 PCD OM/平面 PCB 连结 ON 贝U ON/AB,由 AB/CD, 知 ON/CD./ ON伉平面PCD CD U 平面PCD ON/平面PCD又 OMT 0N=O OM ON确定

30、一个平面 OMN由两个平面平行的判定定理，知平面OMN平面PCD平行，即过 D M N三点的平面与侧面PCD平 行。(二八强化稳固训练1如以下图，正方体 ABCABCD中，侧面对角线 AB、BG上分别有两点 求证：EF/平面 ABCD。证法一：分别过 E、F作EML AB于点M，FN丄BC于点N,连结MN/ BB 丄平面 ABCD 二 BB 丄 AB, BB 丄 BC EM/ BB, FN/ BB a EM/ FN又 BE=CF,. EM=FN故四边形 MNFE是平行四边形 EF/ MN又 MN在平面 ABCD中, EF/平面 ABCDB1E B1GE、F,且 BiE=CF-BiE=CF, BiA=GB,Ci F Bi G Ci B = Bi B FG/ BiC / BC又 EGA FG=G ABA BC=B证法二：过E作EG/ AB交BB于点G,连结GF,贝U B1A= BB平面 EFG/平面 ABCD而 EF在平面 EFG中， EF/平面 ABCD【点评】证明线面平行的常用方法是：证明直线平行于平面内的一条直线；