高中生数学建模

1、关于水车上任意一点距离水面的高度与水流速的关系的研究1问题的提出水车又称孔明车，是我国最古老的农业灌溉工具，是先人们在征服 世界的过程中创造出来的高超劳动技艺， 是珍贵的历史文化遗产。相 传为汉灵帝时华岚造出雏形，经三国时孔明改造完善后在 蜀国推广使 用，隋唐时广泛用于农业灌溉，至今已有 1700余年历史。现代，水车作为一种古老而独具智慧的艺术品出现在我们的生活 中，人们在惊异古老智慧的同时，是否想过它身上所蕴含的数学问 题？比方：水车上一点距离水面的高度与水流速有何关系?由图1可知，水车的高度具有一定的周期性，故，此模型应为研 究周期现象的模型。在研究过程中，不考虑其他影响水车转速或水流 速

2、的因素。为了更好地学习数学知识，并将它充分运用到实际生活中，我对此 问题想做进一步的研究。2. 问题的分析问题的条件有两点：1.题目中要求建立数学模型来研究水车上一点距离水面的高度与 水流速的关系，属于周期现象。2.研究过程中不需要考虑其他因素对水流速与转速的影响。3. 模型的假设与符号说明假设水流速为恒定值符号说明h水车上一点距离水面的咼度v水流速w水车的角速度r水车的半径t时间b水车圆心与水面的距离a水车上一点转过的角度4. 模型建立向图2如图2,水车半径为r，其中心0距离水面距离为b,规定水流速 为v，向左为正方向，任意一点 P点距离水面的高度为h。求h与v的函数解析式。5. 模型求解水

3、流速即可看为水车的线速度，那么由可得水车的角速度w=v/r.为了方便，不妨从当0P与水面平行时开始计时，即从ON处开始计时， 在t时刻水车转动的角度a =wt=vt/r 如图2所示，过点P向水面作垂线，交ON于点Q,交水面于点A,PA即为点P距离水面的高度。h=PA=PQ+QA=PQ+OMPQ=OP- sin a把式，式代入式得：h=r sin (t v/r ) +b这就是水车上任意一点距离水面高度 h与水流速v的函数解析式。6. 结果分析研究函数h= r sin (t v/r ) +b的性质(1) ：确定周期T=2 n /w=2 n / (t/r ) =2 n r/t(2) :确定频率f=1

4、/T=t/2 n r(3) :讨论性质当 vt/r 【2k n - n /2,2k n +n /2 】(k Z),即 v 【2k n r/t- n r/2t , 2k n r/t+ n r/2t (k Z)时，函数递增。当 vt/r 【2k n +n /2 , 2k n +3n/2 ( k Z),即 v 【2k n r/t+ n r/2t , 2k n r/t+3 n r/2t ( k Z)时，函数递 减。7. 研究拓展如果雨季河水上涨或旱季河流水量减少，将造成水车中心0与水面距离的改变，而使函数解析式中所加参数b发生变化。水面上涨时 参数b减小，水面回落时参数b增大。如果水流速度加快，将使周期 T减小，转速减慢时那么使周期 T增大。8. 方案评价(1) .本文把所解决的实际问题转化为函数周期问题，建立模型思 路清晰合理。(2) .简化了水车模型，计算起来更加简便。(3) .将研究结果进行拓展，增强了实用价值(4) 但在实际运用中还应考虑自然因素对水流速的影响，根据实 际情况进行灵活改变(