信号与系统连续系统的时域分析

1、2.1 LTI连续系统的响应连续系统的响应 表表2-2 激励函数及所对应的解激励函数及所对应的解 te2te2ttheCeCty3221)(ttttePePePe26)(5将其代入微分方程得解得 P=1于是特解为 tpety)(tpPety)(tetttpheeCeCtytyty3221)()()(全解为：全解为：23( )(32),0ttty teeet齐次解yh(t)（自由响应） 特解yp(t) （强迫响应） 23(32) ( )ttteeet最后得全解：te2所以 P1= 1 但P0不能求得全解为te22322120232102( )() t0ttttttty tC eC etePeCP

2、 eC ete22211110100(4106 )( 445106)tttPPP tePPPPP ee 0 2)(232tteeetyttt电容电路电容电路S+uCUSRCi (t = 0)+- - (t )+uCUSRCi+- -i = 0 , uC= US前一个稳定状态前一个稳定状态过渡状态过渡状态新的稳定状态新的稳定状态t1USuCtOiRUS 从从 0 0 状态到状态到 0 0 状态的跃变状态的跃变 各种响应用初始值确定积分常数各种响应用初始值确定积分常数 在经典法求全响应的积分常数时，用的是 0 状态初始值 在求系统零输入响应时，用的是 0 状态初始值 在求系统零状态响应时，用的是

3、0 状态初始值解： 将输入f(t)= (t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t)列式得：( )( )y tatb代入原方程得 a=2，b=0( )0y t ( )(t)y ta只需写出只需写出与与(t) 相相关的项关的项 由上可见，当微分方程等号右端含有冲激函数（及其各阶导数）时，响应y(t)及其各阶导数中，有些在t=0处将发生跃变。但如果右端不含时，则不会跃变。20)0()0(22)0()0(yyyy00_( )(0 )(0 )2y t dtyy 从0-到0+积分得：0)(2)(0)(2)( tytytty得：00_( )(0 )(0 )

4、0y tyy 三、零输入响应和零状态响应1、定义：（1）零输入响应：没有外加激励信号的作用，只有起始状态所产生的响应。（2）零状态响应：不考虑起始时刻系统储能的作用，由系统外加激励信号所产生的响应。 LTILTI的全响应：的全响应：y(t) = yy(t) = yzizi(t) + y(t) + yzszs(t)(t)2、零输入响应 （2）求yzi(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出yzi(t)的通解表达式。 由于激励为零，所以零输入的初始值： 确定积分常数C1，C2， ，Cn 将确定出的积分常数C1，C2， ，Cn代入通解表达式，即得yzi(t)。 )0()0()()(iziiziyy（1

5、）即求解对应即求解对应齐次微分方程的解齐次微分方程的解)(4)(2)(4)(5)( tftftytyty例例2.1.42.1.4：若描述系统的微分方程和初始状态为：若描述系统的微分方程和初始状态为：, 5)0(, 1)0(yy解：解：0)(4)(5)( tytytyzizizi求系统的零输入响应。求系统的零输入响应。零输入响应及其导数为：零输入响应及其导数为：tzitzizieCeCty421)(tzitzizieCeCty4214)(所求为零输入响应，所求为零输入响应，f(t)f(t)及其各阶导数为及其各阶导数为0 0代入初始条件代入初始条件1)0()0(21ziziziCCyy54)0()

6、0(21ziziziCCyy解得：解得：, 31ziC22ziC得系统的零输入响应为：得系统的零输入响应为：)()23()(4teetyttzi3、零状态响应（1）即求解对应非齐次微分方程的解（2）求yzs(t)的基本步骤 求系统的特征根，写出的通解表达式yh(t)。 根据f(t)的形式，确定特解形式，代入方程解得特解yp(t) 求全解，若方程右边有冲激函数（及其各阶导数）时，根据冲激函数匹配法求得 ，确定积分常数C1，C2，Cn 将确定出的积分常数C1，C2， ，Cn代入全解表达式，即得。)0()(izsynjptzsjzstyeCtyj1)()(若特征根均为单根，则：若特征根均为单根，则：

7、)()()(00)(tfbtyainjmiijzsj初始状态为零，指的是：初始状态为零，指的是：0)0()(jzsy 几种典型自由项函数相应的特解 一般设系统输入一般设系统输入f f（t t）是在）是在t t = 0= 0时接入的，则方程的解也适时接入的，则方程的解也适用于用于t t00。 因此为确定解的待定系数所需的一组初始值是因此为确定解的待定系数所需的一组初始值是 由于由于t t=0-=0-时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻时，激励尚未接入，因而响应及其各阶导数在该时刻的值的值 反映了系统的历史情况而与激励无关。反映了系统的历史情况而与激励无关。 为系统的初始状态，初始状态常

8、容易求得或是已知的。为系统的初始状态，初始状态常容易求得或是已知的。 为求解为求解LTILTI系统的微分方程，就要从初始状态系统的微分方程，就要从初始状态 求初始值求初始值(1)00,0,0,0nYyyyy0Y0Y0Y0Y冲激激励下的初始状态和初始条件冲激激励下的初始状态和初始条件 若系统微分方程的右端具有冲激激励，由于理想冲若系统微分方程的右端具有冲激激励，由于理想冲激信号所具有的特点，它可以在瞬时将系统从一个激信号所具有的特点，它可以在瞬时将系统从一个状态转入另一个状态。状态转入另一个状态。 此时有可能此时有可能 因此需求解出因此需求解出 为系统的初始值。为系统的初始值。00YY0Y基本步

9、骤小结：基本步骤小结：1. ( )( )( )ty tt根据微分方程两端的最高导数阶次应该相等的原理， 确定最高阶导数所含的的最高导数阶次；3. ( )y t将的各阶导数表达式代入原微分方程，解出待定系数；4. ( )00y t把解出的待定系数依次代入的各阶导数，并对等式两端 从到积分，从而求得各初始值。2. ( )y t引入待定系数，从的最高阶导数开始依次确定各阶导 数可能具有的表达式形式；零输入响应的求解零输入响应的求解 求齐次解求齐次解零状态响应的求解零状态响应的求解 求通解求通解再根据微分方程右边是否包含冲激函数确定初始值再根据微分方程右边是否包含冲激函数确定初始值( )(0 )0,1

10、,2,1jfyjn，( )( )( )(0 )(0 )(0 )0,1,2,1jjjxxyyyjn，( )(0 )00,1,2,1jfyjn，零输入和零状态响应的分别求解零输入和零状态响应的分别求解初始状态初始状态初始值初始值=初始状态初始状态)(4)(2)(4)(5)( tftftytyty例例2.1.52.1.5：若描述系统的微分方程和初始状态为：若描述系统的微分方程和初始状态为：),()(ttf求系统的零状态响应。求系统的零状态响应。解：解：)(4)(2)(4)(5)( tttytytyzszszs初始状态：初始状态：0)0()0(zszsyy由冲击函数匹配法：由冲击函数匹配法：0)()(

11、)()( tyatybtatyzszszs得：得：a=2,b=-14a=2,b=-14 2zsyta0)0(zsy由初始值：由初始值：22)0()0(zszsyy 00 (0 )(0 )0zszszszsytyt dtyy0)0(zsy由初始值：由初始值：0)0(zsy 00(0 )(0 )zszszsyt dtyy)(4)(2)(4)(5)( tttytytyzszszs当当t0t0时，时，可改写为：可改写为：4)(4)(5)( tytytyzszszs齐次解为：齐次解为：412( )tthy tC eC e特解为：特解为：1)(typ412( )1ttzsytC eC e由由t=0t=0+

12、 +的条件：的条件：2)0(, 0)0(zszsyy0121zszsCC2421zszsCC412( )1ttzszszsytC eCe21zsC12zsC)() 12()(4teetyttzs得系统的零状态响应为：得系统的零状态响应为： ( )zizsy tytyt自由响应强迫响应自由响应强迫响应(Natural+forced)(Natural+forced)零输入响应零状态响应零输入响应零状态响应(Zero-input+Zero-state)(Zero-input+Zero-state)暂态响应暂态响应+ +稳态响应稳态响应(Transient+Steady-state)(Transien

13、t+Steady-state)系统响应划分系统响应划分相互关系 零输入响应是自由响应的一部分，零状态响应由自由响应的一部分和强迫响应构成 。H t th1定义 系统在单位冲激信号系统在单位冲激信号(t)(t) 作用下产生的作用下产生的零状态响零状态响应应，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用，称为单位冲激响应，简称冲激响应，一般用h h( (t t) )表表示。示。2.2 冲激响应和阶跃响应 一一. 冲激响应冲激响应方程右端仅含冲激激励时响应的求解方程右端仅含冲激激励时响应的求解1.根据零初始状态求初始值；根据零初始状态求初始值；2.t0时，激励为时，激励为0，故此时对应于求，故此时对应于求

14、零输入响应零输入响应。即冲激响应对应于由冲激产生的初始条件作用下即冲激响应对应于由冲激产生的初始条件作用下的系统响应的系统响应例2.2.1 描述某系统的微分方程为y”(t)+5y(t)+6y(t)=f(t)求其冲激响应h(t)。解：根据h(t)的定义有h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = (t) h(0-) = h(0-) = 0， 利用冲激函数匹配法，设： h”(t) =a (t)+b h(t) =a h(t) =0 解得：a=1, b=-5 h(0+)=h(0-)=0 h(0+) =1 + h(0-) = 1 微分方程的特征根为故系统的冲激响应为代入初始条件求得C1=1,C2=-

15、1, 所以3221)()()(3221teCeCthtt)()()(32teethtt对t0时，h”(t) + 5h(t) + 6h(t) = 0故系统的冲激响应为齐次解一般一般LTI系统冲激响应的求解系统冲激响应的求解直接法求解直接法求解利用线性特性和微分特性求解利用线性特性和微分特性求解1( )(1)111011( )( ) ( )( )( )( )nnny tf tytayta y tf t（）引入新变量，构建右端只含的系统微分方程( )(1)()(1)1010( )( )( )( )( )( )nnmmnmmytayta y tb ftbftb f t()(1)11 10 12 ( )

16、( )( )( )mmmmh tb htbhtb h t（ ）根据线性性质和微分性质1( )h t求解出该新系统的单位冲激响应，则则其冲激响应为满足下列方程的解则其冲激响应为满足下列方程的解( )(1)10( )( )( )( )nnnytayta y tf t(1)(2)(0 )1(0 )(0 )(0 )(0 )0nnhhhhh，一般地，如果系统微分方程为一般地，如果系统微分方程为( )(1)10( )( )( )( )( )(0 )00,1,1nnnjhtahta h tthjn，其中初始值可以直接用以下方式确定其中初始值可以直接用以下方式确定例2.2.2 描述某系统的微分方程为y”(t)

17、+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)，求其冲激响应h(t)。解：设外加激励仅为f(t)时的冲激响应为h1(t)()()(321teethtt根据零状态响应的线性性质和微分特性，有：)(3)(2)()(11 1thththth)()()94()()()()()32()(32 132321tteethteeteethtttttt从而：)()63()()(32teetthtt设特征根为单根设特征根为单根 由于由于 及其导数在及其导数在 时都为零，因而微分方程时都为零，因而微分方程式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲激响应形式与式右端的自由项恒等于零，这样原系统的冲

18、激响应形式与齐次解的形式相同。齐次解的形式相同。 t 0t nmh ttnmh ttnmh tt当时，不含及其各阶导数；当时，中应包含；当时，应包含及其各阶导数。与与n, m相对大小有关相对大小有关 与特征根有关与特征根有关0( )10( )e( )( )inm ntjijijh tAtCt 满足满足 的系统（冲激在的系统（冲激在t=0时激励）是时激励）是因果因果LTI系统。即因果系统的冲激响应只可能出现在系统。即因果系统的冲激响应只可能出现在冲激作用时刻之后：冲激作用时刻之后：( )( ) ( )h th tt( )0,0h tt关于冲激响应的一些说明关于冲激响应的一些说明冲激响应直接反映了

19、冲激响应直接反映了LTI系统的固有特性系统的固有特性 系统的输入 f(t)=(t) ，其响应为 y(t)=g(t) 。系统方程的右端将包含阶跃函数(t) ，所以除了齐次解外，还有特解项。 也可以根据线性时不变系统特性，利用冲激响应与阶跃响应关系求阶跃响应。 二阶跃响应1定义 系统在单位阶跃信号作用下的零状态响应，称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，一般用g(t)表示。H(t) tg0,tt阶跃响应是冲激响应的积分，注意积分限：对因果系统：( )( )dtg th tt线性时不变系统满足微、积分特性线性时不变系统满足微、积分特性( )( )dtttt求解阶跃响应的微分方程中，可能会含有冲激函数及其导

20、数：求解阶跃响应的微分方程中，可能会含有冲激函数及其导数：y”(t)+5y(t)+6y(t)= f”(t) + 2f(t) + 3f(t)(t)5y(t)6y(t)(t)2 (t)3 (t)y(t)(t)f为求冲激响应求冲激响应(t)(t)f为求阶跃响应求阶跃响应若若(t)(t)f例例2.2.32.2.3：如图所示的LTI系统，求其阶跃响应g(t)g(t) y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)解：系统的微分方程解：系统的微分方程 左端加法器的输出为: x(t)-3 x(t)-2 x(t)+f(t)即 x(t) +3 x(t)+2 x(t) f(t)右端加法器的输

21、出:y(t)=- x(t)+2 x(t)系统的微分方程)(2)()(2)(3)( tftftytyty y(t)+ f(t)- 2 3 1 2 x(t) x(t) x(t)设外加激励仅为f(t)时的阶跃响应为g1(t)构造新的的微分方程111( )3( )2( )( )yty ty tt特征根：121,2 齐次解：2112(t),0tthgC eC et特解：11(t)2pg通解：21121(t),02ttgC eC et由式2.2-20：(j)(j)(0 )(0 )0, j0,1,2,n 1gg11(0 )(0 )0gg111( )3( )2( )( )yty ty tt21121(t),0

22、2ttgC eC et121(0 )02gCC12(0 )20gCC 解得：11C 212C 2111(t),022ttgeet 212(t)21,0ttgeet 根据零状态响应的线性性质和微分特性，有：根据零状态响应的线性性质和微分特性，有：21(t),0ttgeet )(2)()(2)(3)( tftftytyty阶跃响应为：阶跃响应为：211(t)2(t)(t)321,0ttgggeet 2.3 卷积积分卷积积分信号分解为冲激信号序列信号分解为冲激信号序列 在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分在信号分析与系统分析时，常常需要将信号分解为基本信号的形式。这样，对信号与系统的分析解为基本

23、信号的形式。这样，对信号与系统的分析就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，就变为对基本信号的分析，从而将复杂问题简单化，且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信且可以使信号与系统分析的物理过程更加清晰。信号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。号分解为冲激信号序列就是其中的一个实例。 一、信号的时域分解与卷积积分1 .信号的时域分解(1) 预备知识 问f1(t) = ? p(t)“0”号脉冲高度f(0) ,宽度为，用p(t)表示为：f(0) p(t)“1”号脉冲高度f() ,宽度为，用p(t - )表示为：f() p(t - )“-1”号脉冲高度f(-) 、宽度为，用p(t +)表

24、示为： f ( - ) p(t + )(2) 任意信号分解任意信号分解nntpnftf)()()(dtftftf)()()()(lim0根据根据 的定义：的定义：由时不变性：由时不变性：由齐次性：由齐次性：由叠加性：由叠加性：)()(thtL LT TI I系系统统零零状状态态)()(tht)()()()(thftf)(tf)(ty)(thdthfdtf)()()()()(tf任意任意信号作用下的零状态响应信号作用下的零状态响应dthftyzs)()()( )zsyt卷积积分卷积积分一般而言，如有两个函数一般而言，如有两个函数 ，积分，积分称为称为 的卷积积分，简称卷积。的卷积积分，简称卷积。

25、)()(21tftf和dtfftf)()()(21)()()(21tftftf)()(21tftf和dtfftftftf)()()()()(2121注意注意：积分是在虚设的变量：积分是在虚设的变量下进行的，下进行的，为积分为积分变量，变量，t为参变量，为参变量，结果仍为结果仍为t 的函数。的函数。常记作常记作二卷积的定义二卷积的定义三利用图解法计算卷积三利用图解法计算卷积卷积积分的常用计算方法卷积积分的常用计算方法解析法（用定义直接计算）解析法（用定义直接计算） 适用于持续时间无限的连续可导函数适用于持续时间无限的连续可导函数图解法图解法 直观，便于确定积分限，适用于分段函数直观，便于确定积分

26、限，适用于分段函数利用卷积的性质利用卷积的性质 例：计算下列卷积积分例：计算下列卷积积分 )5()3(1tt）（)5()3( 22ttet）（22 (3)(5)(3) (5)tettetd (3)(5) (3) (5)-tt td531td2(5)61 (2)2teet 523ted(2) (2)tt(2) ( )tt62(2)11 (2)2teet图解法计算卷积的基本步骤图解法计算卷积的基本步骤 12df tfft111. ( )( ), f tf积分变量改为22222.( )( )()()f tfff t 反转时延)()(. 321tff相乘：124.( ).()dff t乘积的积分： 再

27、移动反转为的图形不动，2221, ffff例例2112( )11,03( )( )2010, ( ) *tttf tf ttfttf t 求其它Ot tf1111 Ot tf2323O 2f3 23O tf223O 1f111 3 tt t tt浮动坐标浮动坐标O 231 1浮动坐标：浮动坐标：下限下限 上限上限t- -3t 1f tf2t ：移动的距离移动的距离t =0 f2(- ) 未移动未移动t 0 f2(- ) 右移右移t 0 f2(- ) 左左移移2,tft从到对应从左向右移动 1f-113 tt tf2O 1f111 3 tt tf2两波形没有公共处，二者乘积为两波形没有公共处，二

28、者乘积为0，即积分为，即积分为0 210fft 210g tftft1 t-1 t 1O 1f111 3 tt tf2 向向右右移移 tf2 时两波形有公共部分，积分开始不为时两波形有公共部分，积分开始不为0，积分下限积分下限-1，上限，上限t ，t 为移动时间为移动时间;1 t121( )( )()dtg tff t d211 tt2124tt41242 ttO 1f111 3 tt tf2 113tt即即1 t 2111( )d2g tttO 1f111 3 tt tf2即即2 t 4 1313tt2131( )()d2242tttg tt O 1f111 t 43 tt tf2即即t 4

29、t- -3 1 0g t 卷积结果221 11424 12( )2 24420tttttg ttttt ， 其它Ot tf1111 Ot tf2323)(tgtO2421 1O 1f111 3tt tf2全部图解Ot tf1111 tOt tf2323 ttO 2f3 23O 1f111 3tt tf2O 1f111 3tt tf2O 1f111 3tt tf2O 1f111 O 1f3tt tf2四对卷积积分的几点认识四对卷积积分的几点认识(1) t ：观察响应的时刻，是积分结果的参变量；：观察响应的时刻，是积分结果的参变量； (2) : 信号作用的时刻，积分变量信号作用的时刻，积分变量 对

30、于因果系统，必定有对于因果系统，必定有t dthfty( )0, 0h tt(3)卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应卷积是系统分析中的重要方法，通过冲激响应 h(t)建立了响应建立了响应y(t)与激励与激励f(t)之间的关系。之间的关系。 ( )( ) ()dy tfh t(4) 积分限由积分限由 存在的区间决定，即由存在的区间决定，即由 的范围决定。的范围决定。 )(),(21tftf0)()(21 tff求解响应方法总结求解响应方法总结时域经典法：时域经典法：双零法：双零法：零输入响应：零输入响应：零状态响应：零状态响应：完全解完全解=齐次解齐次解 + 特解特解解齐次方程，用初始值求

31、系数；解齐次方程，用初始值求系数； thtf 代数性质代数性质 微分积分性质微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积与冲激函数或阶跃函数的卷积一代数性质一代数性质交换律交换律分配律分配律结合律结合律)()()()(1221tftftftf )()()()()()()(3121321tftftftftftftf )()()()()()(2121tftftftftftf 系统并联运算系统并联运算系统级联运算系统级联运算证明交换律证明交换律 tftf21 d)()(21 tff d)()(12 tff，令令 t dd: ，则则卷积结果与交换两函数的次序无关，即倒置平移卷积结果与交换两函数的次序无关，

32、即倒置平移或或 其结果是一样的（激励和系统互换）其结果是一样的（激励和系统互换） 1f 2f一般选简单函数为移动函数，如矩形脉冲或一般选简单函数为移动函数，如矩形脉冲或 (t) tftf21 21ftft系统并联系统并联 12h th tht)()()()()()()(3121321tftftftftftftf 系统并联，框图表示：系统并联，框图表示： )(tg)(tf)(th)(tg)(tf)(tf)(tf)(th)(1th)(2th)()(1thtf )()(2thtf 12( )( )( )( )( )( )f th tf th tf th t结论：结论：子系统并联时，总系子系统并联时，

33、总系统的冲激响应等于统的冲激响应等于各各子系统子系统冲激响应之和冲激响应之和系统级联系统级联)()()()()()(2121ththtfththtf )()(thtf 12( )( )h th th t系统级联，框图表示：系统级联，框图表示： )(tf)(1th)(2th)(tg)()(1thtf )()()(21ththtf )(tg)(tf)(th结论：结论：子系统级联时，总的冲激响应等于子系统级联时，总的冲激响应等于子系统冲激响应的卷积子系统冲激响应的卷积 二微分积分性质二微分积分性质tdefdefdxxftfdttdftf)()( )()()1()1()()()()()(1221tftftftftf)()()()()()1(212)1(1)1(tftftftftf)()()()()()1(212)1(1)1(tftftftftf若若则其导数则其导数其积分其积分证明卷积微分性质：证明卷积微分性质： tdxdxfftf)()()(21)1(证明卷积积分性质：证明卷积积分性质：)()()()()()()(2)1(1)1(1212)1(tftftftfdxdxfftft )()()()()(